[PDF] A2022 – PHYSIQUE II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE

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A2022 - PHYSIQUE II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,

ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,

TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,

MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,

IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,

CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,

Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l"épreuve : 3 heures

L"usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP

L"énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d"Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

PhysiqueII,année2022 - filièr eMP

Àproposdesaraignées

Lesara ignéesouAranéidessontdespréda teursinvertébrésarthro podes.Àcejo ur,plusde

47000espècessubdiviséesen117famillesson trepertoriéeset1700d'entreellesviven ten

France.Lesaraignée sproduise ntdesfilsdesoieconstituésd' unentrelacementdenombreuses

fibrillesélémenta ires.Lediamètredecesfilsva rientt ypiquement de1jusqu'à70µm.Àdia mètre

équivalent,cesfilssontplusrésistan tsquel'acier etpossèden tdenom breusesautrespropriétés

quilesrenden tintéressa ntspourl'industrie, pourlaconfectionparexempl edenouveauxtex- tiles,de giletspa re-ballesouenco redecordesd'instrumentsdemusique.Dans lanature,l'usage

quelesa raignées enfontestmultipleetdépenddesesp ècesco nsidérées:fildesécuritépendant

unsa utpourfuiro upoursedéplacer(fild'Aria ne),tissag edetoilepo urpiègerdesproies, moyendes'éleverdanslesa irsetde voyager augrédesco uran tsaérienspour lesara ignées montgolfières(fildelaVierge),confectiondeca tapultesp our lacha sse,créationdedô mespour lestoc kaged'airsousl'eaudoucepourlesespèces subaquatiques.. . Nousproposo nsd'aborderquelquesproblèmesdephysique relatifsauxaraignéesetplusp ar-

ticulièrementauxtrois espècesreprésentéesda nslafigureci-desso us(Fig.1).Lesa pplications

numériquesserontdonnéesavecun chi ff resig nificatif.Lesvecteurssontindiquéspar desflèches x k=1).Lesno mbres complexessont soulignésàl'exceptiondejtelquej 2 =1.Unformulaireestfournienfin d'énoncé. Les3pa rtiesdece problèmesont indépendan tes. Figure1-Xysticussp.estunearaignée-crab evolan te.Hyptioteca vatusestunearaignée catapulte,tisseusede toilestriangulaires. LesaraignéesNephilapilipes fabriquentdesfilsdont

lespropriétés mécaniquesrivalisen taveclesmeilleures fibresartificielles:ilspeuventêtreas-

sembléspourformerdes cordesdeviolonproduisan tunson autim breexceptionnel. Sourcedes images:Wikipédia.

IDesaraignéesvolantes

Certainesaraignéesvolant esdontlatailleestcomprisee ntre2et7mmparviennen t,entirant

profitdesforcesélectro statiques,à décolleretàs'env oler.Ellesarrivent ainsià parcourir,au

grédesvent s,des distancesconsidérables (plusi eurscentainesdekilomèt res)commel'aobservé

pourlapremiè refois ,CharlesDarwin,lorsdesong randvoyageàbor dduBeaglede1831à1836. Danscette partieduproblème,nous nousintéres sons àlaphysiquepermettantd'e xpliquerun telphénomène. o-1.Enu til isantuneschématisationsphé riquerudi mentairepourmodélisercesaraignées, estimerunordre degrandeurm g pourleurm asse.

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PhysiqueII,année2022 - filièr eMP

Partem psclair,lechampé lectrique,entoutp ointdel asurfacedel aTerreestradialuniforme, dirigéverslecen tredelaTerreet sava leurmoyennev autE 0 =120V·m 1 .Enp rem ière approximationonassimilelocalementl'atmosphèr eter restreàuncondensateurplan dontles deuxarma turessontlesolterrestreetla couchedel'iono sphèresituée àl'altitudez 0 =60km decelui-ci. o-2.Éva luerlavaleurdelade nsité surfaciquemoyenned echar geauni veaudusol,notée.

Desmesur esontpermisdemontrerq u'ilexis teunedi

ff

érencede360kVentrel'ionosphère

etlesol. Quepo uv ezvous conclurequantàlavaliditédumodèleélectriqueatmosphérique proposé? Lesara ignéesvolantespositionnent leurscorpsdemanièreàprendrelevent,enéjecta ntvers lecield esfilsde soie,quigrâce auxco urants d'airetau champ électriqueleurpermettentde

s'élever.Darwinnotaquecesar aignéesdécollen tenprésence auniveaud usoldelég erscourants

d'airascendants ayantdesvitessesUdel'ordre de0,1m·s 1 etque lenombre defilsfa briqués parcelles-cipeut atteindrequelqu esdizaines. Onpeu tmontrerque lesforceshydrodynamiq uessontinsu ffi santespourper mettreàelles seules defaire s'éleverlesara ignées.

Darwinremarquaq uelesdi

ff érentsfilstisséspa runemêmea raignées'écartent enéventa ildu faitd'une répulsionélectrostatique.Pour corroborer cettehypothèse,onmodélisec haquefilde soiecommeun filrigideisolan t,delongueur Lquel'on supposerainextensibleda nsunpremier temps,p ossédantensonextrémitélibre,unechargeq.Ces charge splacéesdanslechamp électriqueterrestrein teragissenten treelles.Onsupposequ'ilya 2nfilset quelesc harges

correspondantesserépartissentrégulièrement surlecercle formantlabased'uncône d'angle↵

ensonsommet S(lequelcorresp ondàl'extrémitécommunedessoies)av eclav erticale (Fig.2).

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PhysiqueII,année2022 - filièr eMP

o-3.Mon trerquelepotentie lélectriq uecréé surunechargeparles2n1autrescharges s'exprimecomme : V= q p 0

Lsin↵

G(n)avecG(n)1=

n1 X k=1 1 cos k 2n 1 sin k 2n n1 X k=1 2 sin k 2n Onpr éciseralavaleurdel'ent ierp.Onpourraéventuellementconsidérerlespointsdia- métralementopposésA k etA k+n avec1kn. Endé duirel'énergied'inte ractionélectrostatiquedusy stèmetotalconstituédes2ncharges enl'absencede champ électriqueextérieur. S'iln'est soumisqu'à cepotentiel,quelle estalo rslafo rmedel'éventailàl'équilibre? Onétu dielemouvementdecetév entailaut ourdesapositiond'équili breensup posant qu'à l'instantttouslesfilsformen tlemême angle ↵(t)aveclavert icale .Onsimplifielesystème encon sidérant,d'unepart,quelamassemdecha quefilestponctuelle,situéeenleur milieu

et,d'autre part,onnéglige l'énergie potentielle depesan teuretcellededéformationélastique

devantl'électrostatique.Onsuppo sefinalementqueSestfixe.

o-4.Dé terminerl'équationdifférentiellerégissantcemouvemen t.Discuterlastabilitédel'é qui-

libreetéta blirl'expression delapériodeT,dumouvementauvoisinagedelaposition 0 ,m,L,qetG(n). tenantimmergédanslec hampélectriqueterrestre E 0 existantauniveau dusolainsi que l'équationpermettantdedéterminerla valeurdel'angle↵àl' équilibre.Expliquerquali- tativementcommentvari el'ouvertured'équilibredel'éventa ilenfonctionrespectivement deq,n,LetE 0 .Onobserveunangle↵=30 pourunéven tailco nstituéde2n=6soies longuesde1mètre.Que vaut alors lacha rgeq?OndonneG(3)'38/(3 p 3). o-6.Cal culerlemoduledelafor ceélec triques'exercants url'ar aigné eauniveaudusolp our unecha rgedontlemoduleestdel'ordre dunanocoulomb.P artemps clairetuniquement parlaforce électrique,com biendefilssont- ilsnéce ssairespoursoulev erles plusp etites araignées?Commentercerésultat.

Figure3-Mod èledecoin.

Enré alité,lorsqu'ellesdécol lent,lesaraignéessontsituéessur deszones oùlechamp électriqueestbienplus importa ntque danslesconditio nsnorma lesdufaitd'unphénomèneconn u souslenomd'e ff etdep ointe. Onretrouvecesconditi onsau sommetdesarbres oudumât duBeaglecomme dansl'expé- riencedeDarwin.

Pourappréhen deruntele

ff et,oncons idèreu nconducteurplan infinidans lequelunendroitpo ssèdelafo rmed'unco inobtus ouaigu (Fig.3)d ontlesommetOformel'origined' unrep ère decoo rdonnéespolaires.Larégiondel'espa cepourlaquelle

0<✓<'estl'airassimilé auvidene contenant aucunecharge

libre.Lesco nditions auxlimitessontV(r,0)= V(r,')=V 0 Onnot eV(M),lepotentielélectriqueenunpointMdel'espace. o-7.D éterminerl'équationdifférentiellesatisfaiteparV(r,✓)danscetterégion.

Onc hercheunesolutionauxvari ablespolairessép arées:V(r,✓)=f(r)⇥g(✓).Écr ireles

équationsv érifiéesparfetgeten déduireque V(r,✓)= V+ 1 X n=1 a n r !n sin(! n ✓).Dans cetterelation, Vet(a n n2N

Onpr éciseraparcontrel'expr essionde!

n enfonctionde 'etdel'en tierpositif n.

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o-8.Enn eco nsidér antqueletermen=1quis'a vèreprépondérant,déterminerl'expressio n ducha mpélectrique E(M).

Endé duireuneconditionsur 'pourlaquel le

E(M)peutdeven irtrèsimportantsiM!

O. IIPr opriétésmécaniquesdesfilsd'ara ignée L'élongationrelatived'unfildesoiede longueurinitiale` 0 desection Squotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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