[PDF] A2020 – PHYSIQUE II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE

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A2023-PHYS IQU EIIMP

ÉCOLEDESPONTSPAR ISTECH,

ISAE-SUPAERO,ENSTAPARIS,

TÉLÉCOMPARIS,MINESPA RIS,

MINESSAINT-ÉTIENNE ,MINESNANCY,

IMTATLANTIQU E,ENSAEPARIS,

CHIMIEPARISTECH-P SL.

ConcoursMines-Télécom ,

ConcoursCentrale-Supé lec(CycleInternational).

CONCOURS2023

DEUXIÈMEÉPREUVEDEPHYSIQU E

Duréedel 'épreuve :3heures

L'usagedelacalculat riceoud etoutd ispositifélectroniqueestinterdit . Lescandi datssontpriésdementionn erdefaçonapp arente surlapre mièrep agedelacopie:

PHYSIQUEII-MP

L'énoncédecetteépreu vecomp orte5pagesdetexte. Si,aucoursd el' épreuve,unc andidatr epèrecequiluisembleêtreuneerr eurd'é noncé,ille signalesursacopiee tpoursuit sacompos itionenexpliq uantle sraisonsdesinitiativesqu 'iles t amenéàprendr e. Lessujet ssontlapropriété duGIPCCMP.Il ssontp ubliéssouslestermesdelalic ence CreativeCommonsAttribution- Pasd'U tilisationCommerciale-Pas deM odification3.0France. Toutautreu sageestsoumisà uneautorisation préalable duConcourscommunM ine sPonts.

PhysiqueII,année2023 - filièr eMP

Déformationsélastiques

Cesu jetestconsacré àl'étuded ecertainespropriétésdes ys tèmesélastiquementdéf ormab les.

Lesparties I,IIetIIIsonttrèslargement indépendantes sousréservederevenir auxdéfinitions delaco nstante deraideurkd'unressort etdumoduled'élasticité Ed'unmatéria uprésentées danslapartie I.

Lapa rtieIétudielesressorts élastiqueslinéaireset leursassociations àpartirde laloideHo oke.

Lapartie IIenpropose unegénéralisationenabordant ladescriptiondu modu led'élasticitédes solidesdéformables.En fin,lapartieIIIdécrituneexpérienc edemouve mentbrownienreliant lesoscilla tionsd'unressortetl'agitationthermique duga zdanslequelle dispo sitifexpérimental estplongé.

IRessortsetloideHooke

Lephysicien anglaisRobertHookeestlepremier àav oirénoncé(en ￿￿￿￿￿￿￿￿)laloiassociéeà

ladéforma tionélastiqued'unressort,établissantso nallongemen tcomme unefonctionlinéaire

delafo rceexercée sursesextrémités.Ilnes 'agiten général quedupremier ordr ed'undév e-

loppementensériedeTayloret laloi linéaire deHo okepeutdoncdevenirinexacte pour les grandesdéformations.

I.AMouvements d'unressort

O M ~u

Figure1-LoideHooke

Onnot eraklaraideur d'unressortélastique,

demasse négligeable,delo ngueuraurepos` 0

Sil'unede sesextrémitésest fixeenO,l'exer-

ciced'uneforce detensi on

T=T~u(où~uest

unv ecteurunitaire)surl'extrémitémobileM duressort induitunedéformationde celui-cide sorteque(cf. figure1)

OM=`~usoitcolinéaire

TavecT=k[``

0 C'estlaloideHo oke.Onnoteaussi=1/klasouplesseduressort. o-1.Montrerquelaforced etensiona insie xercéesurMestconservativ eetdéterminerl'énergie potentielleE p (T,)associéeenfonctiond eTet. Lesdeuxextrémités PetMd'untel ressortso ntmaintenant astreintesàsedéplacerlelo ng del'axe fixeethorizontal (Ox)duréféren tielgaliléen(R).Deuxpointsmatérielsdemasse m M =m 1 etm P =m 2 sontattaché sauxextrémitésduressortetleuractionsurl'axe(Ox)est notammentdécriteparlesforcesde frottement f !M 1 ~v M et f !P 2 ~v P oùon anot é ~v M et~v P lesvitessesde MetPdansceréférentiel (cf.figure 2);onno teraaussi OM=x 1 (t)~e x et OP=x 2 (t)~e x P x 2 M x 1 x

Figure2-Deuxmassesreliéesparunressort

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PhysiqueII,année2023 - filièr eMP

o-2.Établirleséquations différentiellesvérifiéesparx 1 (t)etx 2 (t). o-3.Onenc herc hedessolutionsdelaformex i (t)=x 0i +a i e µt oùx 01 ,x 02 ,a 1 ,a 2 etµsont desconsta ntes.Détermineretcommenterlarela tionliantx 01 etx 02 o-4.Montrerquelacondit iona i

6=0imposeuneéquationalg ébriqueduqua trièmedegré

1 ,m 2 1 2 etk. o-5.Onsup poseenfiniciquem 1 =m 2 =m, 1 2 =0.Mon trerqu'iln'existe alorsquedeux solutionsphysiquementdi ff érentesdecetteéquati on,pou rchacuned'elles onexprimera

µainsiqueler apporta

2 /a 1 etonprécisera lanaturedu mouvemen tdesmasses.

I.BAssoci ationderessorts

Onassoci emaintenant deuxressortsélastiquesensérie;onnotera 1 =1/k 1 et 2 =1/k 2 leurssouplesses, ` 01 et` 02 leurslong ueursaureposeton supposequ'ilsrestent alignéslelong

deladro ite(Ox)liantleursextrémitéslesplusélo ignées(cf. figure3 ).On négligelama ssedu

pointd'attach eA. P A Mx 1 01 2 02

Figure3-Associationderessortsensérie

o-6.Exprimer,enfonctionnotamm entde sabscissesx P ,x A etx M lesforces detensionexercées parlesdeuxresso rts. Endé duirequ'ilssontéquiv alentsàununiqueres sortdoncond étermineralasouplesse ainsiquelal ongueuràvide ` 0 o-7.Représentersurunschémal 'association dedeuxr essortsenparallèleetdonnerl'expression delara ideuréquiva lenteàcettea ssociation. Dece sétudes,onpe utdéduirecequisuit:laraid eurkd'unfil métalliqueéla stiquedelongueur

Letdesection (constante)ss'exprimesousla forme:

k=E s L (1) oùEestunegrandeur caractéristiquedumatériau appeléemoduled'élasticité;cettenotiona

notammentétéprésentéeparl'ang laisThomasYoungen￿￿￿￿￿￿￿￿.

o-8.Rappelerlesanalogiesde cetterelat ionaveccellesexpri mantlesr ésistanceet/oucondu c- tanceélectriqued'unélément conducteur métallique. Endé duireladimensiondumo duled' élasticité.

I.CTensionsda nsunetigeélastique

Danscettepa rtieI.Connégl igeleseffetsdelape santeu r.Une tigemétalliquehomogène,de sections,demasseMetdelongueur aurepos L,caractériséeparlemoduled'élasticitéE, estétiréele longdeson axehorizon talparla rotationentreten ueàvitesse angulaireconstante 0 ~e z deson pointd'a ttacheOautourdel'axev ertical(Oz).Du faitd eseffetscentri fuges dusà larota tion,la tiges'allongeenrégimepermanen t;l'élémen tdetigequi setrouveaurepos àladistancerpasseàladistance r+⇠(r)(cf.figure 4). Onétu dielesystèmematériel ⌃qui,au repos,estcompris entrelesdistancesretr+drde l'axe(Oz).

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PhysiqueII,année2023 - filièr eMP

enmouvemen t r r+⇠(r) r 0 z aurep os Figure4-Élo ngationlorsd'unentraînemen tcentrifuge o-9.ExprimerlamassedMde⌃enfonctionnotammen tde dr.Justifierquecesystèmese comportecommeunressort desouplessed= dr Es o-10.Exprimerlaforcedetens ionT(r)exercéepar⌃surlapartie intérieuredelatig e(celle compriseen tre0etr)enfonctiondeE,set@⇠/@r.

o-11.Endé duirelaconditiond'éq uilibr erelatifde⌃dansleréférentielen traînéa veclatigeen

rotationsouslaforme 2 r 2 =roùestuneconstan tequel'on exprimeraenfonction deE,! 0 ,L,Mets. o-12.Préciserlaconditionaux limit esauxextrémités(r=0etr=L)delatigepourla fonction⇠;endéduire⇠(r).Exp rimeraussiT(0)enfonctionde M,! 2 0 etL;commenter l'expressionobtenue. IIMo duled'élasticitéde ssolidesdéformables

II.AEstimat ionenordredegrandeur

Lemodule d'élasticité,reliéàla raideurkd'unetige élastiquedelong ueurLetdesection sparlarelation (1),est liéauxvariationsd'énerg iedelatige lorsd 'unedilata tionoud'une

compression.L'énergi econcernéeest,danslecasd'unmatériaumétallique, celledes électrons,

demasse m e =9,1·10 31
kgausein desmaill esducrist almétallique;onnoter aaladimension caractéristiquedece smailles.

Dansunepremière approc heheuristique,onfa itl'hypothèsequelemodule d'élasticiténedépend

quedem e ,aetdela constantede Plan ckh=6,6·10 34

J·ssouslaforme E=Cm

e h a oùl a constanteadimensionnéeCestdel'ordre degrandeurde l'unité. o-13.Paranal ysedimensionnelle,dé terminerlesentiers↵,et. o-14.Rappelerl'ordrede grandeurusueldea;endéduireceluideE.

II.BModèlequant iquedupuitsinfini 3D

avecl'ext érieurestdécriteparlepotentield' interacti onU(~r): 2 2m (~r,t)+U(~r) (~r,t)=j~ t (~r,t)(2) oùj 2 =1, (~r,t)estlafonction d'ondeet ~=h/2⇡.Danscequisuit,onétudieuneparticule dansunpuitsdep otentielinfinidéfinià troisdimensio nsparU=cte=U 0 pour0Page3/5

PhysiqueII,année2023 - filièr eMP

o-15.Quellessontl'int erprétati onphysiqueetladimensiondelafonctiond'onde (~r,t)? Quelleestlaformed eW(t)?Com ments'appellecety pedesolution? o-17.Onsup poseencore(x,y,z)=F 1 (x)F 2 (y)F 3 (z).DéterminerlesfonctionsF i (i=1,2,3) enfonctionde a i etde troisnombres entiersn i 2N ,àuneconstantemultiplicative arbitraireprès. o-18.Montrerquel'énergie E f del'état fondamentalde laparticules'écrit: E f =U 0 h 2 8m 1 a 2 1 1 a 2 2 1 a 2 3 (3) Laparticule demassem,quirestedanssonétatfondamental,évoluelentementd'unétat isotropeoùlevolumeV=a 3 dupuitsest celuid'uncub edecôté aàunesituationcompr imée oùun edesdimensio nsa 1 =aaII.CCompressi ond'unetige Ons'i ntéressemaintenantàunetige (cf.figure5)desectionconstantes,d'axe(Ox)etde

diviséàl'éc hellemicro scopiqueenzonescubiquesdecôté aetsupposées alignéesaveclesaxes

decoo rdonnées(Oxyz). FF s L ~e x

Figure5-Com pressiond'unetige

Unop érateurexercealorssurchaqueextrémitéde latige uneforceFuniformémentrépartie demanière àdiminuerlalong ueurdela tigequipassede LàLL.Onadmetqueletravail decett eforceapoure ff etl'au gmentationdel'énergiedesélectronsdumilie u,àrai sond'un électrondev alenceparcub eélémentairedecôtéa. o-21.Exprimer,enfonctiondea,Letslenom breNdecubes élémentairesdecôté aàl'intérieur delatig e. o-22.Ensu pposantlacompressionunifor me,rel ierlavariationadela dimension decube selon(Ox)àL,aetL. o-23.Endé duirel'augmentationd 'énergieE t delatig e;en déduirel'expressiondeFen fonctionde K,s,aetL. o-24.Endé duirel'expressiondum oduled'élasticitéE,définiparlarelation(1),enfonction deh,aetm e .Com pareraurésultatdelap artieII.A.

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IIIL 'expériencedeKappler

Ondi sposeauseind'ungazth ermost atéàlat empérature✓uneplaque demassemretenue parunressortv erticald eraideurk=1/,disposéedanslechampdepesanteurd'intensité g(figure6).Sou sl'actiondesc hocsdesmoléculesdugaz, cetteplaquesedéplacede manière aléatoirelelongduseulax evertical (Oz)depart etd'autredesa positio nd'équilibrez 0 ;on parledemouvementbrownien . gaz,✓ O z aurep os O enmouvemen t

Figure6-Os cillationsduesaumouvementbrownien

o-25.Lepo intd'attacheduressortestenz=0etonnote ` 0 salongueurau repos. Déterminer lapo sitiond'équilibrez 0 puisexprimer l'énergiep otentielletotale dontdériventlesforces élastiquesetde pesanteur enfonctionseulemen tdeetz 0 =zz 0

Danscequis uitonpourra introduire lafonction E

p (z 0 z 02 2

Onadm etquelesvaleu rsdez

0 lorsdumouve mentbr owniensontalorsrégiesparlal oide probabilitédeBoltzmann:o nnote k B =1,4·10 23

J·K

1 laconsta ntedeBoltzmannetP(z 0 )dz 0 estlaprobab ilitépo urquelaplaquesoit disposéeentrelesaltitudesz 0 etz 0 +dz 0 .Onadmet doncl'expressionP(z 0 1 exp (✓)z 02

Ondon nelesvaleursdes intégrales

Z 1 0 e at 2 dt= 1 2 r a et Z 1 0 t 2 e at 2 dt= 1 4 r a 3 o-26.Exprimer(✓)etcalculer⇣(✓)enfonction dek B ✓et. o-27.Sansfairede calculs,quevaut lava leurmoyennehz 0 i? o-28.Calculerlavaleurmoyenn ehz 02

En￿￿￿￿￿￿￿￿,lephysicienallemandEugenKapple rapubliédanslarevueAnnalenderPhysik

lesrésultats d'uneexpérienceba séesurceprincipeen utilisantunmiroir suspenduàunfil dequotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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