[PDF] PC 2016 CCP Maths PC 2016 — Énoncé.

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Annales des Concours

PC

Mathématiques·Informatique

2016

Sous la coordination de

GuillaumeBatog

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan)

JulienDumont

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan)

VincentPuyhaubert

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan) Par

VirgileAndreani

ENS Ulm

Pierre-ElliottBécue

ENS Cachan

AlbanLevy

ENS Cachan

ÉmilieLiboz

Professeur en CPGE

ThierryLimoges

ENS Cachan

MatthiasMoreno Ray

ENS Lyon

TristanPoullaouec

Professeur en CPGE

VincentPuyhaubert

Professeur en CPGE

CyrilRavat

Professeur en CPGE

Sommaire

Énoncé

Corrigé

Concours Communs

Polytechniques

Mathématiques Différentes études des polynômes de Bernstein. arcs paramétrés, algèbre linéaire, variables aléatoires, intégration, séries de fonctions17 23

Centrale-Supélec

Mathématiques 1 Autour de la fonction gamma d"Euler et comportements asymptotiques. intégrales à paramètre, équivalents en l"infini, formule de Stirling, loi de Poisson45 48 Mathématiques 2 Études d"opérateurs linéaires sur des espaces de polynômes et de fonctions. algèbre linéaire, polynômes, combinatoire69 73 Informatique Prévention des collisions aériennes. programmation, complexité, bases de données93 100 6

Mines-Ponts

Mathématiques 1 Marche aléatoire: retour à 0. développement en série entière, intégrales généralisées, probabilités, variables aléatoires113 119 Mathématiques 2 Wronskien et problème de Waring. algèbre linéaire, déterminants, étude de fonctions, polynômes135 140

Informatique Modélisation de la propagation

d"une épidémie. algorithmique, bases de données161 171

Polytechnique-ENS

Mathématiques Analyse, probabilités, entropie de Shannon. développements limités, topologie dansRn, calcul différentiel, probabilités, algèbre linéaire181 185 Informatique Structure union-find et coupure minimale. programmation impérative207 217

Formulaires

Développements limités usuels en 0230

Développements en série entière usuels 231

Dérivées usuelles232

Primitives usuelles233

Trigonométrie236

Sommaire thématique de mathématiques

2015-2016

X/ENS PC Maths

X MP Maths B

X/ENS MP Maths A

Mines PSI Maths 2

Mines PSI Maths 1

Mines PC Maths 2

Mines PC Maths 1

Mines MP Maths 2

Mines MP Maths 1

Centrale PSI Maths 2

Centrale PSI Maths 1

Centrale PC Maths 2

Centrale PC Maths 1

Centrale MP Maths 2

Centrale MP Maths 1

CCP PSI Maths

CCP PC Maths

CCP MP Maths 2

CCP MP Maths 1

e3a PSI Maths B e3a PSI Maths A

Structures algébriques et arithmétique

Polynômes

Algèbre linéaire générale

Réduction des endomorphismes

Produit scalaire et espaces euclidiens

Topologie des espaces vectoriels normés

Suites et séries numériques

Suites et séries de fonctions

Séries entières

Analyse réelle

Intégration

Équations différentielles

Fonctions de plusieurs variables

Dénombrement et probabilités

CCP Maths PC 2016 - Énoncé17

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : 14 h - 18 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de

la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L"´epreuve est constitu´ee d"un probl`eme en cinq parties qui sont, dans une large mesure, ind´ependantes les unes des autres. Lorsqu"un raisonnement utilise le r´esultat d"une question pr´ec´edente, il est demand´e au candidat d"indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.

18CCP Maths PC 2016 - Énoncé

PROBLEME

Pourn?Netk?[[0,n]], on notep

k,n(X) le polynˆome?n k?

Xk(1-X)n-ksi bien que :

?t?R, p k,n(t) =?n k? tk(1-t)n-k=n!k!(n-k)!t k(1-t)n-k.

On propose d"´etudier quelques aspects g´eom´etriques, alg´ebriques, probabilistes et analytiques

de cette famille de polynˆomes appel´es "polynˆomes de Bernstein". Dans la partie 1, on consid`ere des exemples de courbes dont le param´etrage fait intervenir des polynˆomes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on s"int´eresse `a deux endomorphismes? netBndeRn[X] dont les propri´et´es sont li´ees au fait que la famille des polynˆomes de Bernstein correspond `a une base deR n[X]. La loi binomiale permet de faire le lien avec l"endomorphismeB ndont on ´etudie en d´etail la restriction `aR2[X]. On ´etudie, dans la partie 3, les aspects analytiques deB n(f) pour une fonctionfd´efinie sur [0,1] avecBnd´efini sur

le mod`ele de la partie 2. Par l"usage des probabilit´es, on obtient une d´emonstration "naturelle"

de la convergence uniforme deB n(f) versfsur [0,1] sous l"hypoth`ese forte quefest de classe C

1sur [0,1]. La partie 4 compl`ete la partie 3 par l"´etude d"int´egrales impropres et d"int´egrales

`a param`etres. La partie 5 aborde la question des s´eries defonctions li´ees aux polynˆomes de

Bernstein.

Les parties 1 et 5 sont ind´ependantes des autres parties. Lapartie 3 d´epend seulement de la partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les probabilit´es. La partie 4 d´epend seulement de la partie 3 et uniquement par la question11.d).

PARTIE 1. GEOMETRIE

On noteA

0,A1etA2les trois ´el´ements deR2d´efinis parA0= (0,1),A1= (1,1) etA2= (1,0).

On noteTl"ensemble d´efini parT={(x,y)?[0,1]

2|x+y?1}.

Pourt?[0,1], on remarque quep

0,1(t) = 1-tetp1,1(t) =t. On note alors :

A(t) =p

0,1(t)A0+p1,1(t)A1,B(t) =p0,1(t)A1+p1,1(t)A2etC(t) =p0,1(t)A(t) +p1,1(t)B(t).

1.Soitt?[0,1].

1.a)D´eterminer l"expression dep

0,2(t),p1,2(t) etp2,2(t) en fonction det.

1.b)D´eterminer les coordonn´ees deA(t),B(t) et v´erifier queC(t) = (2t-t

2,1-t2).

1.c)Montrer queC(t) =

2? k=0 pk,2(t)Ak.

2.Montrer queTest une partie convexe deR

2.

3.SoitCl"arc param´etr´e d´efini `a partir de la fonctionf:t?-→C(t)

[0,1]-→R

2.3.a)Justifier que tous les points deCsont dansT.

3.b)Pourt?[0,1], d´eterminer un vecteur directeur de la tangenteD

t`aCenC(t).

3.c)Montrer que, pour toutt?[0,1], le segment [A(t),B(t)] est inclus dansD

t.

3.d)Repr´esenter dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e la courbeC, la partieTet les segments

[A(t),B(t)] pourt= 0,t= 1/2 ett= 1.

CCP Maths PC 2016 - Énoncé19

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES

Soitn?Ntel quen?2. On noteR

n[X] l"espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `an. PourP(X) un polynˆome r´eel, on noteP ?(X) le polynˆome d´eriv´e.

On noteFla famille deR

n[X] constitu´ee des polynˆomes (p0,n(X),p1,n(X),...,pn,n(X)).

Pour toutP?R

n[X], on d´efinit les polynˆomes?n(P) etBn(P) par : n(P)(X) =nXP(X) +X(1-X)P?(X) et B n(P)(X) = n? k=0 P?kn? pk,n(X). 4.

4.a)Montrer que?

netBnsont des endomorphismes deRn[X].

4.b)V´erifier que, pour toutk?[[0,n]],?

n(pk,n)(X) =k pk,n(X).

4.c)En d´eduire queFest une base deR

n[X] et que?nest diagonalisable.

4.d)Montrer que?

nn"est pas bijectif et queBnest bijectif.

5.Soitr?N

?ett?[0,1]. On consid`ere un espace probabilis´e (Ω,A,P) etTrune variable al´eatoire sur (Ω,A,P) qui suit la loi binomialeB(r,t). On note

Tr=Tr/r.

PourYune variable al´eatoire discr`ete sur (Ω,A,P), on note, sous r´eserve d"existence,E(Y) l"esp´erance deYetV(Y) la variance deY.

On rappelle que siY(Ω)?[[0,r]] ethest une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie sur [[0,r]], alors

h(Y) admet une esp´erance etE(h(Y)) = r? k=0 h(k)P(Y=k).

5.a)Donner un exemple de situation probabiliste qui peut ˆetre d´ecrite par une variable

al´eatoire qui suit la loi binomialeB(r,t).

5.b)DonnerT

r(Ω) et justifier que, pour toutk?[[0,r]], on a :P(Tr=k) =pk,r(t).

5.c)Donner l"expression simplifi´ee des quantit´es suivantes :

E(T r),E(Tr),V(Tr),V(Tr),E(T2r) etE((Tr)2) ; v´erifier en particulier queE((

Tr)2) =tr+t

2 r(r-1).

5.d)En d´eduire que les ´egalit´es suivantes sont valables pourtoutt?[0,1] :

r? k=0 pk,r(t) = 1, r? k=0 k rpk,r(t) =tet r? k=0 ?k r? 2 pk,r(t) =? 1-1r? t

2+1rt.

5.e)Montrer que les trois ´egalit´es pr´ec´edentes sont encorevalables pour toutt?R.

6.Montrer queR

2[X] est un sous-espace vectoriel deRn[X] qui est stable parBn.

On note

˜B nl"endomorphisme deR2[X] induit parBn; on rappelle que dans ce cas, pour tout P?R

2[X],˜Bn(P) =Bn(P). On noteAnla matrice de˜Bndans la base canonique deR2[X].

CCP Maths PC 2016 - Corrigé23

CCP Maths PC 2016 - Corrigé

Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur en CPGE); il a été relu par Matthias Moreno Ray (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce problème met à l"honneur les polynômes de Bernstein, définis, pourn?Net k?[[0;n]], par p k,n(X) =?n k? X k(1-X)n-k Un de ses objectifs est de démontrer, dans le cas particulierdes fonctions de classeC1, un résultat très classique en analyse: le théorème de Weierstrass, qui affirme que toute fonction continue sur un segment peut être approchée unifor- mément par des polynômes. La démonstration proposée ici s"inspire de la célèbre preuve constructive faite par Bernstein, à l"aide des polynômes qui portent mainte- nant son nom. D"autres aspects de cette famille sont étudiésdans le sujet: en géo- métrie, on construit une courbe qui permet de relier deux points avec des tangentes prescrites (cas particulier des courbes de Bézier). En algèbre, on montre que les poly- nômes de Bernstein forment une base de l"espace des polynômes et on étudie l"opéra- teurBnd"approximation par cette famille. En probabilités, ces polynômes permettent d"étudier divers processus liés à la loi binomialeB(n,t), quand les paramètresn ettvarient. Cette épreuve est découpée en cinq parties qui balayent l"essentiel du programme. •La première partie étudie un arc paramétré défini à partir despremiers polynômes de Bernstein. Les questions posées restent proches du cours et font appel à des raisonnements basiques mais qui peuvent s"avérer difficiles pour les étudiants qui ne sont pas à l"aise en géométrie. •Certaines questions de la deuxième partie consistent en desexercices classiques d"algèbre linéaire. La fin de cette partie fait appel à des notions de limite et de continuité dans les espaces vectoriels normés tandis que laquestion 5 utilise le cours sur les variables aléatoires, notamment la loi binomiale. •La troisième partie utilise des résultats sur les espérances ainsi que des études de fonctions pour montrer la convergence uniforme d"une suite de fonctions. •Dans la quatrième partie, on travaille sur des intégrales. Les méthodes clas- siques de calcul (intégration par parties, changement de variable, calcul de primitives...) sont mises en oeuvre ainsi que des études de convergence et de fonctions définies par une intégrale. •Les différents modes de convergence des séries de fonctions sont invoqués dans la dernière partie, à l"aide notamment d"une série entière usuelle. Ce sujet très varié représente un excellent entraînement aux concours, avec des parties relativement indépendantes. Il apprend aussi à être efficace car il est plu- tôt long et toutes les parties sont accessibles à un étudiantqui maîtrise son cours; il s"agit donc de traiter autant de questions que possible, tout en restant rigoureux. De plus, certaines questions plus poussées, comme la 5.e et la 14, favorisent les prises d"initiative.

24CCP Maths PC 2016 - Corrigé

Indications

Partie 1

1.c Expliciter l"expression de droite pour retrouver la formule de la question 1.b.

2 Revenir à la définition d"une partie convexe.

3.b Utiliser la définition de la tangente à un arc paramétré enun point régulier.

3.c Montrer que les vecteurs

A(t)C(t)et-----→B(t)C(t)sont colinéaires au vecteur direc- teur deDttrouvé à la question 3.b.

3.d Étudier les variations des fonctions coordonnées defpour tracerC.

Partie 2

4.a Après avoir montré que?nest linéaire, traiter séparément les casP?Rn-1[X]

etP = Xn. PourBn, calculer le degré des polynômespk,n.

4.c Décrire le spectre de?n.

4.d Regarder le spectre de?n. PourBn, décrire son noyau.

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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[PDF] PHYSIQUE - CHIMIE

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[PDF] CCP Physique 2 PSI 2013

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