REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ) : Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Un
Représentation paramétrique de droites de plans Applications
Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1. Remarque : D est une droite de vecteur directeur.
representation-parametrique-droite-geometrie-espace-exos
Exercice 1 : représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur. • Exercice 2 : représentation paramétrique d'une droite
Représentation paramétrique dune droite
Représentation paramétrique d'une droite. Le produit scalaire n'intervient pas dans ce chapitre. Rappel 1 Une droite 3 c'est la donnée soit de deux points
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE. Représentation paramétrique de droite : Il faut un point de la droite ( ; ; ) et un vecteur directeur (
Droites et plans dans lespace
Pour une droite il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu'on peut choisir n'im- porte quel point et n'importe quel vecteur directeur.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
On détermine le vecteur directeur de la droite et on applique simplement la formule ci-dessus. Exemple. Déterminer une représentation paramétrique de (AB)
Géométrie affine en dimension 3
Si les droites D1 et D2 ne sont pas coplanaires leur intersection est vide. II Rep`eres cartésiens. II.1 Représentations paramétriques d'une droite ou d'un
TS : exercices sur les représentations paramétriques de droites
?? u . 2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d?) passant par B et de vecteur directeur. ??.
Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
Une représentation paramétrique de (D) est : = =1?2< /=2< 0=2?<
1 Représentation paramétrique d’une droite
Les représentations paramétriques suivantes sont-elles associées à une même droite ? : • Représentation paramétrique d’une droite • Équation cartésienne d’un plan Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace Soit la droite passant par A et de vecteur directeur u t) ( ) ;; t t =+ =+ A A M R
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Dans un repère de l’espace la droite passant par ( 0; 0; 0)et de vecteur directeur ??( ) est l’ensemble des points ????( ; ; )tels que Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de Remarque 2 : Une droite a une infinité de représentation paramétrique
Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc
Étudier position de la droite (d) et du plan (P) III - Intersection de trois plans 1 Le point de vue géométrique (P) (Q) et (R) sont trois plans de l’espace Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite
Comment calculer la représentation paramétrique d'une droite ?
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b. Exemple
Qu'est-ce que la représentation paramétrique?
• Représentation paramétrique d’une droite. • Équation cartésienne d’un plan. Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace. Soit la droite passant par Aet de vecteur directeur u . t) ( ) t t A A MR Ce système d’équations s’appelle représentation paramétrique de .
Qu'est-ce que le système de la droite ?
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (d). Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b.
Quels sont les paramètres d’une droite ?
et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires
Droites et plans dans l'espace Terminale S I - Représentations paramétriques d'une droite dans l'espace L'espace est muni d'un repère orthonormé
O;i ,j ,k. 1. Représentations paramétriques d'une droite La droite (D) passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur
u est l'ensemble des points M( x ; y ; z) tels que : S x=!t+x A y="t+y A z=#t+z A t(!.Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (D) dans le repère
O;i ,j ,ket on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l'espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs
u et u sont orthogonaux u .u '=0Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires (donc ont un point commun). Exercice 2 : Considérons les droites : (d)
x=t+1 y=2t!3 z=!t+2 t&! et (d') x=3t'+2 y=!t'!1 z=t'+1 t'&!. Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d'), si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace, une droite (d) de vecteur directeur
u et un plan (P) de vecteur normal n peuvent être : • Strictement parallèles ( u .n =0 et aucun point en commun) • La droite (d) est incluse dans le plan (P) ( u .n =0 et un point en commun) • Sécantes u .n !0Cas particulier : Propriété : Une droite (d) est orthogonale à un plan (P) si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan (P) ; donc si et seulement si son vecteur directeur
uet orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (P). Exercice 3 : Déterminer l'intersection de la droite (d) : 1
232 xt yt zt et du plan (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0
(P) 2. Représentations paramétriques d'un segment, d'une demi-droite A et B sont deux points distincts de l'espace et on note
AB =u. L'appartenance d'un point M au segment [AB] ou bien à la demi-droite [AB) s'obtient en adaptant l'énoncé de la conclusion ci-dessus : 1. pour le segment, il suffit de remplacer dans le système (S) : "
t!!» par " t0;1∈⎡⎤
». 2. pour la demi-droite [AB), il suffit de remplacer dans le systè me (S) : " t!!» par " t0;∈+∞⎡⎡
» II - Intersections de droites et de plans 1. Intersection de deux plans (P1) et (P2) a) Le point de vue géométrique (P1) et (P2) confondus (P1) et (P2) strictement parallèles (P1) et (P2) sécants b) Le point de vue algébrique Deux plans d'équations ax + by +cz + d = 0 et a'x + b'y +c'z + d' = 0 sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire lorsque les triplets (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') sont proportionnels. Une droite pourra être définie par intersection de deux plans, c'est-à-dire par un système de deux équations cartésiennes : ()
axbyczd0 S a'xb'y c'zd'0avec (a ; b ; c) et (a ' ; b' ; c') non proportionnels. Exercice 4 : Considérons les plans d'équations : ()()
P:2 xyz20etP' :x3 y7z 110 +--=++ -=
. Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan (P) et d'une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P1) (P2) (P) (d) x A (P1) = (P2) (P1) (P2) (d) (P) (d)
Propriété :Le plan (P) d'équation ax + by + cz +d = 0 et la droite (d) passant par un point A et de vecteur directeur
u!;";#sont sécant si le vecteur normal du plan (P) n'est pas orthogonal au vecteur directeur de (d) donc si
u• n!0 c'est à dire si !a+"b+#c$0Exercice 5 : Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,kle plan (P) a pour équation : 5x + y - z + 3 = 0 et la droite (d) pour représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x = ty = 1 - 6tz = 3 - t t ∈
. Étudier position de la droite (d) et du plan (P). III - Intersection de trois plans 1. Le point de vue géométrique (P), (Q) et (R) sont trois plans de l'espace. Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles, 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.) 2. Le point de vue algébrique Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,k, les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour équations cartésiennes ax+by+cz+d=0,a'x+b'y+c'z+d'=0eta"x+b"y+c"z+d"=0
, où a, b, c puis a', b', c' puis a'', b'', c'' ne sont pas tous les trois nuls. Pour étudier l'intersection des trois plans, on peut résoudre le système : ax+by+cz+d=0
a'x+b'y+c'z+d'=0 a"x+b"y+c"z+d"=0. Ce système, d'après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions. Exercice 6 : Dans un repère orthonormé
O;i ,j ,k , le plan (P) a pour équation : 2x!y+z!7=0 , le plan (Q) a pour équation : x+2y!z!6=0 , le plan (R) a pour équation : !x+y+2z!11=0 . Étudier l'intersection de ces trois plans. (R) (Q) (d) (P) (P) (Q) (d) (R) Aquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] rapport de stage technicien d'assistance en informatique
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