REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ) : Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Un
Représentation paramétrique de droites de plans Applications
Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1. Remarque : D est une droite de vecteur directeur.
representation-parametrique-droite-geometrie-espace-exos
Exercice 1 : représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur. • Exercice 2 : représentation paramétrique d'une droite
Représentation paramétrique dune droite
Représentation paramétrique d'une droite. Le produit scalaire n'intervient pas dans ce chapitre. Rappel 1 Une droite 3 c'est la donnée soit de deux points
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE. Représentation paramétrique de droite : Il faut un point de la droite ( ; ; ) et un vecteur directeur (
Droites et plans dans lespace
Pour une droite il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu'on peut choisir n'im- porte quel point et n'importe quel vecteur directeur.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
On détermine le vecteur directeur de la droite et on applique simplement la formule ci-dessus. Exemple. Déterminer une représentation paramétrique de (AB)
Géométrie affine en dimension 3
Si les droites D1 et D2 ne sont pas coplanaires leur intersection est vide. II Rep`eres cartésiens. II.1 Représentations paramétriques d'une droite ou d'un
TS : exercices sur les représentations paramétriques de droites
?? u . 2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d?) passant par B et de vecteur directeur. ??.
Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
Une représentation paramétrique de (D) est : = =1?2< /=2< 0=2?<
1 Représentation paramétrique d’une droite
Les représentations paramétriques suivantes sont-elles associées à une même droite ? : • Représentation paramétrique d’une droite • Équation cartésienne d’un plan Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace Soit la droite passant par A et de vecteur directeur u t) ( ) ;; t t =+ =+ A A M R
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Dans un repère de l’espace la droite passant par ( 0; 0; 0)et de vecteur directeur ??( ) est l’ensemble des points ????( ; ; )tels que Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de Remarque 2 : Une droite a une infinité de représentation paramétrique
Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc
Étudier position de la droite (d) et du plan (P) III - Intersection de trois plans 1 Le point de vue géométrique (P) (Q) et (R) sont trois plans de l’espace Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite
Comment calculer la représentation paramétrique d'une droite ?
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b. Exemple
Qu'est-ce que la représentation paramétrique?
• Représentation paramétrique d’une droite. • Équation cartésienne d’un plan. Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace. Soit la droite passant par Aet de vecteur directeur u . t) ( ) t t A A MR Ce système d’équations s’appelle représentation paramétrique de .
Qu'est-ce que le système de la droite ?
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (d). Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b.
Quels sont les paramètres d’une droite ?
et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires
Exercice
1Exercice
2 représentation paramétriqueExercice
3Exercice
4 passant par un point et orthogonale un planExercice
5 utilisation de la représentation paramétriqueExercice
6Exercice
7 intersection de droites position relative de deux droites)Exercice
8 intersection de droites suivant un paramètre position relative de deux droites)Exercice
9 intersection de droite et de planExercice
10 intersection de droite et de sphèreExercice
11 droites coplanairesExercice
12 représentation paramétrique segment et demi-droiteExercice
13 intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droiteExercices
corrigés PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 2 . La droite passe par le point - et admet comme vecteur directeur. Donner une représentation paramétrique de .La droite passe par le point - et admet
comme vecteur directeur. et colinéaires tel que tel que tel que tel que Une représentation paramétrique de la droite est Remarque : On pouvait directement appliquer le résultat du cours ci-dessous.Rappel
On munit
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 3 . Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points - et - . Soient les points - et - . Alors le vecteur a pour coordonnées -à-direLa droite passe par le point - et admet
pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de la droite est -à-dire où . Finalement, une représentation paramétrique de la droite estRemarque importante :
. En -à-dire est une autre représentation paramétrique de la droite .Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 4 . Donner une représentation paramétrique de la droite passant par le point - - et parallèle à la droite passant par les points - et .Rappel : Parallélisme et colinéarité
Les droites et étant parallèles, un vecteur directeur de la droite est le vecteur . Or, a pour
coordonnées , -à-dire passe par le point - - et admet pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de est -à-direExercice 3 (1 question) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 5 . Donner une représentation paramétrique de la droite passant par le point - et --.Rappel : Vecteur normal à un plan
--, donc admet pour vecteur directeur un vecteur normal à ce plan.Or, un vecteur normal au plan -- est le vecteur
passe par le point - et admet pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de est -à-direExercice 4 (1 question) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 6 Soit la droite dont une représentation paramétrique est1) Donner les coordonnées de trois points appartenant à .
2) Préciser les coordonnées du point de ayant - pour abscisse.
3) Préciser les coordonnées du point de ayant pour ordonnée.
4) Préciser les coordonnées du point de ayant pour cote.
5) Le point de coordonnées appartient-il à ?
6) Donner un vecteur directeur de .
7) Donner le vecteur directeur de de cote .
Soit la droite dont une représentation paramétrique est1) Donnons les coordonnées de trois points appartenant à .
Rappel :
Une représentation paramétrique
Pour chaque valeur réelle de , on obtient un point de . Prenons donc arbitrairement 3 valeurs de distinctes.
Si -, alors
-à-dire Le point de coordonnées appartient à . -.Si , alors
-à-dire Le point de coordonnées appartient à . .Exercice 5 (7 questions) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 7Si , alors
-à-direLe point de coordonnées appartient à .
2) Donnons les coordonnées du point de ayant - pour abscisse.
Pour ce faire, cherchons le point de coordonnées - . Ce point appartenant à , ses coordonnées
vérifient chacune des équations paramétriques de . Résolvons donc le système Le point de ayant pour abscisse a pour coordonnées . Ce point est obtenu lorsque le paramètre est égal à3) Donnons les coordonnées du point de ayant pour ordonnée.
Cherchons donc le point de coordonnées . Ce point appartenant à , ses coordonnées vérifient le
système de . Résolvons donc le système Le point de ayant pour ordonnée a pour coordonnées . Ce point est obtenu lorsque le paramètre est égal à4) Donnons les coordonnées du point de ayant pour cote.
Cherchons donc le point de coordonnées . Comme ce point appartient à , ses coordonnées en PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 8 Le point de ayant pour cote a pour coordonnées . Ce point est obtenu lorsque le paramètre est égal à .5) Soit le point de coordonnées .
1ère méthode :
Ce point a pour abscisse . Or, lorsque , on a --à-dire . Calculons les autres coordonnées du point de lorsqueOr, si , alors -- et .
Autrement dit, le point de coordonnées .
Remarque : En revanche, le point de coordonnées appartient à , de paramètre .2e méthode :
Vérifions si le système
admet une solution réelle unique. le point de coordonnées .6) Donnons un vecteur directeur de .
Une représentation paramétrique de est
-à-dire . Par conséquent, un vecteur directeur de est7) Donnons le vecteur directeur de de cote .
1ère méthode :
On cherche le vecteur directeur de , de cote -à-dire le vecteur . Or, d précédente, un vecteur directeur de est , vecteur de cote . Ainsi, . Le vecteur directeur recherché est donc colinéaire à tel que . Par conséquent, le vecteur directeur de ayant pour cote est le vecteur de coordonnées PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 92ème méthode :
On cherche le vecteur directeur de , de cote -à-dire le vecteur colinéaire àvecteur de cote . Comme et sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. Ainsi, on a :
. Il vient alors que - et - Par conséquent, le vecteur directeur de ayant pour cote est le vecteur de coordonnées PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 10 . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de sur la droite dont une représentation paramétrique estRappel : Produit scalaire et orthogonalité
Une représentation paramétrique de est
donc est dirigée par le vecteur Notons le projeté orthogonal de sur . Comme est le projeté orthogonal de sur , il vient que les vecteurs et -à-dire que -. En utilisant la représentation paramétrique de , il existe un réel tel que . Dès lors, il vient que -à-direLe point est donc le point de , de paramètre
. Ainsi, les coordonnées de sont données par Finalement, le point , projeté orthogonal de sur , a pour coordonnéesExercice 6 (1 question) Niveau : moyen
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 11 . Soient les droites et de représentations paramétriques respectives et1) Démontrer que les droites et sont sécantes.
2) Préciser les
1) Démontrons que les droites et sont sécantes.
Une représentation paramétrique de est
donc est un vecteur directeur de .Une représentation paramétrique de est
donc est un vecteur directeur de non nul tel que , les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Il et sont soit coplanaires et sécantes soit non coplanaires et jamais sécantes.Remarque importante : Attention ! Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement
sécantes. Elles peuvent être non coplanaires et ne jamais être sécantes. Le système admet pour solution le couple - donc les droites et sont sécantes.2) droites et .
Les coordonnées du section de et sont donc obtenues, soit en remplaçant par - dans lareprésentation paramétrique de , soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de .
Une représentation paramétrique de est
, de paramètre -, vérifient pour -. Ainsi, et a pour coordonnées --- - --à-direExercice 7 (2 questions) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 12 . Soient les droites et de représentations paramétriques respectives et . Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel tels que tels que tels que tels que tels que tels que tels que tels que Posons le discriminant du trinôme du second degré -. Alors -. - donc le trinôme admet deux racines réelles et distinctes : Par conséquent, 3 cas de figure sont à envisager : si , alors les droites et sont sécantes. -à-dire -.On note .
si , alors les droites et sont sécantes. - -à-direExercice 8 (1 question) Niveau : moyen
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 13On note
si , alors les droites et ne sont pas sécantes.On note .
Remarque : Dans ce dernier cas, comme elles ne sont pas sécantes, les droites et sont soit coplanaires
et confondues, soit coplanaires et parallèles, soit non coplanaires.Or, une représentation paramétrique de est
donc un vecteur directeur de est . En outre, une représentation paramétrique de est donc un vecteur directeur de est . Les cotes de et sont égales mais par leurs ordonnées ; iexiste donc aucunréel non nul tel que . Autrement dit, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et les droites et
ne sont ni confondues ni parallèles. Finalement, si -, alors les droites et ne sont pas coplanaires. PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 14 . dirigée par et passant par - :1) avec le plan 2) avec le plan 3) avec le plan
1) avec le plan .
La droite est dirigée par
et passe par - donc une représentation paramétrique de estDe plus, une équation du plan est -.
La droite et le plan ont pour intersection le point de coordonnées .2) avec le plan .
Une équation du plan est -.
La droite et le plan ont pour intersection le point de coordonnées .Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 153) avec le plan .
Une équation du plan est -.
La droite et le plan ont pour intersection le point de coordonnées PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 16 Lest muni dans lequel on place les points -, - , - et - . Etudier et de la droite .1) Dans un premier temps, déterminons une représentation paramétrique de , droite passant par et .
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur -à-dire . De plus, - appartient à donc une représentation paramétrique de est2) Dans un second temps, déterminons une équation de la sphère de diamètre .
-. Or, a pour coordonnées et a pour coordonnées . Donc ---- Une équation cartésienne de la sphère de diamètre est donc (((-.3) éventuelle intersection de et .
Soit le discriminant du trinôme du second degré -(-. Alors --. - donc le trinôme admet 2 racines réelles distinctes :Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 17Ainsi, on a :
La sphère de diamètre et la droite et de coordonnées : PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 18 . Soient les droites et de représentations paramétriques respectives et1) Montrer que les droites et sont coplanaires.
2) déterminent.
1) Montrons que les droites et sont coplanaires.
Une représentation paramétrique de est
. Par conséquent, est dirigée par le vecteurUne représentation paramétrique de est
-- . Par conséquent, est dirigée par le vecteur Or, -. Autrement dit, les vecteurs et les droites et sont coplanaires. 2)Les vecteurs et étant colinéaires, les droites et sont soit parallèles soit confondues. Montrons
, on déduit que - . Vérifions que .Finalement, les droites et sont strictement parallèles. Cherchons désormais une équation du plan
Exercice 11 (2 questions) Niveau : moyen
Retour au menu
PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 19 , on déduit que -. Il vient alors et forment un couple de vecteurs directeurs du plan .Cherchons désormais un vecteur
normal à ce plan, où , et désignent des réels non tous nuls.Dès lors, ---- et ----.
Ainsi, en posant par exemple , on obtient que
est un vecteur normal à . Finalement, est le plan passant par - et admettant comme vecteur normal. Une équation cartésienne du plan déterminé par les droites et est . PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 20 Lest muni dans lequel on place les points - , - -, - et - .1) Donner une représentation paramétrique du segment .
2) Donner une représentation paramétrique de la demi-droite .
3) Montrer que et .
1) Donnons une représentation paramétrique du segment .
Rappel segment
Le segment est dirigé par le vecteur . Or, a pour coordonnéesAinsi,
est une représentation paramétrique du segment .2) Donnons une représentation paramétrique de la demi-droite .
Rappel : Représentation paramétrique -droite La demi-droite est dirigée par le vecteur . Or, a pour coordonnéesExercice 12 (3 questions) Niveau : moyen
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 21Ainsi,
est une représentation paramétrique de la demi-droite .3) Montrons que et sont sécants et précisons
Le système admet pour solution le couple
donc et sont sécants.Le point du segment , de paramètre
-, a pour coordonnées et a pour coordonnées PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIB 22. On désigne par et cartésiennes respectives -- et --. Caractériser éventuelle de et . Les plans et sont sécants suivant la droite dont une représentation paramétrique est . Cette droite est dirigée par le vecteur et passe par le point de coordonnées
Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen
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PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.comPROF: ATMANI NAJIBquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] rapport de stage technicien d'assistance en informatique
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