REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ) : Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Un
Représentation paramétrique de droites de plans Applications
Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1. Remarque : D est une droite de vecteur directeur.
representation-parametrique-droite-geometrie-espace-exos
Exercice 1 : représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur. • Exercice 2 : représentation paramétrique d'une droite
Représentation paramétrique dune droite
Représentation paramétrique d'une droite. Le produit scalaire n'intervient pas dans ce chapitre. Rappel 1 Une droite 3 c'est la donnée soit de deux points
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE. Représentation paramétrique de droite : Il faut un point de la droite ( ; ; ) et un vecteur directeur (
Droites et plans dans lespace
Pour une droite il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu'on peut choisir n'im- porte quel point et n'importe quel vecteur directeur.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
On détermine le vecteur directeur de la droite et on applique simplement la formule ci-dessus. Exemple. Déterminer une représentation paramétrique de (AB)
Géométrie affine en dimension 3
Si les droites D1 et D2 ne sont pas coplanaires leur intersection est vide. II Rep`eres cartésiens. II.1 Représentations paramétriques d'une droite ou d'un
TS : exercices sur les représentations paramétriques de droites
?? u . 2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d?) passant par B et de vecteur directeur. ??.
Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
Une représentation paramétrique de (D) est : = =1?2< /=2< 0=2?<
1 Représentation paramétrique d’une droite
Les représentations paramétriques suivantes sont-elles associées à une même droite ? : • Représentation paramétrique d’une droite • Équation cartésienne d’un plan Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace Soit la droite passant par A et de vecteur directeur u t) ( ) ;; t t =+ =+ A A M R
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Dans un repère de l’espace la droite passant par ( 0; 0; 0)et de vecteur directeur ??( ) est l’ensemble des points ????( ; ; )tels que Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de Remarque 2 : Une droite a une infinité de représentation paramétrique
Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc
Étudier position de la droite (d) et du plan (P) III - Intersection de trois plans 1 Le point de vue géométrique (P) (Q) et (R) sont trois plans de l’espace Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite
Comment calculer la représentation paramétrique d'une droite ?
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b. Exemple
Qu'est-ce que la représentation paramétrique?
• Représentation paramétrique d’une droite. • Équation cartésienne d’un plan. Soient A(z;;) un point et c(;;) un vecteur non nul de l’espace. Soit la droite passant par Aet de vecteur directeur u . t) ( ) t t A A MR Ce système d’équations s’appelle représentation paramétrique de .
Qu'est-ce que le système de la droite ?
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (d). Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation. Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). b.
Quels sont les paramètres d’une droite ?
et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l’espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires
Leçon 3Droites et plans dans l"espace
Le plan est rapporté à un repère(O,-→ı ,-→? ,-→k).1 droites et plans de base
x=0 z=0 y=0 O xyzLe plan de base(xOy)a pour équationz= 0.
Le plan vertical(yOz)a pour équationx= 0.
Le plan vertical(xOz)a pour équationy= 0.
L"axe(Ox)est caractérisé par?
y= 0 z= 0L"axe(Oy)est caractérisé par?
x= 0 z= 0L"axe(Oz)est caractérisé par?
x= 0 y= 02 rappels
2.1 vecteurs colinéaires
définition.Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que-→u=k-→vou-→v=k-→u
remarque .Avec cette définition le vecteur nul-→0est colinéaire avec tous les vecteurs.2.2 alignement
rappel .Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.
2.3 coordonnées
rappel .Le vecteur--→ABa pour coordonnées? xB-xAyB-yAz B-zA?rappel .Deux vecteurs de l"espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
3 principes d"élimination
Principe :Dans un système comportant des lignes(Li), on peut remplacer une ligne(Lk)parα(Lk) +β(Lj)
avecα?= 0etj?=k. 104. REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D"UNE DROITE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
En général
1. on garde la ligne(L1)et on élimine une inconnue ou un paramètre dans les lignes suivantes en remplaçant
chaque ligne(Lk) (k?= 1)parα(L1) +β(Lk)avecβ?= 02. on garde maintenant la ligne(L2)et on élimine une nouvelle inconnue ou un nouveau paramètre entre
(L2)et les lignes suivantes.4 représentation paramétrique d"une droite
4.1 représentation paramétrique
Théorème 3.1.SoitDune droite de l"espace contenant le pointA(xA,yA,zA)et dirigée par le vecteur-→u?
abc? tout pointM(x,y,z)deDcorrespont un réélttel que ?x=xA+t×a y=yA+t×b z=zA+t×c Le système est appelé représentation paramétrique de la droiteDDémonstration.
M?D?--→AMet-→usont colineaires
?il existetréel tel que--→AM=t-→u ?il existetréel tel que? x-xAy-yAz-zA? =t? abc?remarque .Pourunedroite, il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu"on peut choisir n"im-
porte quel point et n"importe quel vecteur directeur.remarque .Quand on travaille avec plusieurs droites, il est importantde prendre un paramètre différent pour
chaque représentation paramétrique.5 position relative de deux droites
5.1 parallélisme
Pour mettre en évidence le parallélisme de deux droites, il suffit de montrer qu"un vecteur directeur de
la première et qu"un vecteur directeur de la seconde sont colinéaires, c"est à dire que leur coordonnées sont
proportionnelles.5.2 intersection
Pour déterminer l"intersection de deux droites, il suffit derésoudre le système de trois équations dont les
inconnues sont les deux paramètres des deux droites. rappel .Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton.5.3 droites coplanaires
rappel .Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes.Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu"elles ne sont ni parallèles ni
sécantes. http://pagesperso-orange.fr/calque11table des matières6. PLANS DANS L"ESPACE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
6 plans dans l"espace
6.1 existence
rappel .Pour que le plan(ABC)existe, il faut et suffit que les trois points ne soient pas alignés c"est à dire que les
vecteurs--→ABet-→ACne soient pas colinéaires.6.2 vecteurs coplanaires
définition.trois vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement il existe deux réelsαetβtels que
w=α-→u+β-→v (ou dans un autre ordre)6.3 représentation paramérique
Un pointM(x,y,z)appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsαetβtels queAM=α--→AB+β-→AC
on exprime que les vecteurs AM,--→ABetvcACsont coplanaires ce qui conduit à la représentation paramé- trique suivante?????x=xA+αu1+βv1 y=yA+αu2+βv2 z=zA+αu3+βv3avec--→AB=? u1u2u3? et-→AC=? v1v2v3?6.4 équation cartésienne
En éliminantαetβdans le système paramétrique, on obtient une relation de la forme ax+by+cz+d= 0avec(a,b,c)?= (0,0,0) On verra une autre méthode avec le produit scalaire.7 positions relatives
7.1 intersection de deux plans non parallèles
rappel .L"intersection de deux plans non parallèles est une droite.On peut obtenir une équation paramétrique de
celle ci en choisissant arbitrairement une inconnue comme paramètre.7.2 parallélisme droite plan
SiDa pour vecteur directeur?w, siPest dirigé par deux vecteurs?uet?vnon colinéaires, on aD?P??u,-→vet-→wcoplanaires
7.3 intersection d"une droite et d"un plan
rappel .Si la droiteDet le planPne sont pas parallèles , leur intersection est un singleton. http://pagesperso-orange.fr/calque12table des matièresquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] rapport de stage technicien d'assistance en informatique
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