Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si
2. Continuité des fonctions
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
CONTINUITÉ
On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe 3) Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet exactement une solution sur l'intervalle.
Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
a) Montrer que si f = g +h avec g qui admet une limite en 0 mais pas h alors Correction :Par opérations
Continuité Applications continues
Montrer que si f est continue pour tout ? ouvert de R
Continuité
Montrer que f est continue et que f est bijective de ]a b[ dans ]?
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
La fonction f(x y) est continue sur R2 {0
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. Démonstration. Supposons f dérivable Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe :.
Continuité et dérivabilité de fonctions réelles
Montrer que f est strictement monotone. Théorème 6.8. Soit f une fonction continue sur un segment. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Rappelons qu'un
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction
CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
on démontre que : 1 ! est continue sur [+ ;S] 2 ! change de signe sur [+ ;S] 3 ! est strictement monotone sur [+ ;S] Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent Avec la condition 3 en plus nous savons que la solution est unique Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)
Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle Méthode - Kartable
Continuité d’une fonction Valeur approchée de la solution f(x) = k Principe : on entre dans la calculatrice la fonction on définit les paramètres du tableur avec l’intervalle dans lequel est contenue la solution de l’équation et on choisit le pas
Continuité et dérivabilité d’une fonction
élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x?a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau 1 2 3 ?1 1 2 3
COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée Comme la fonction x 7? x est continue sur R si f est continue sur [ab] alors f aussi Supposons que f ne soit pas majorée Alors il existe une suite (x n) n d
Continuité sur un intervalle
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en toute valeur a appartenant à I Exemples Les fonctions polynômes sont continues sur ? Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition La fonction racine carrée est continue sur[0;+?[ Remarque Interprétation graphique
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Soit f continue sur R+ telle que pour tout réel positif x on ait f(x2) = f(x) Montrer que f est constante sur R+ Trouver un exemple où f n’est pas constante Correction H [005397] Exercice 7 ***IT Soit f continue sur R+ à valeurs dans R admettant une limite réelle quand x tend vers +¥ Montrer que f est uniformément continue sur R+
Comment montrer qu'une fonction est continue ?
On conclut en donnant le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) la fonction f est continue. D'après les questions précédentes, f est continue sur left]2 ; +infty right [ et en x=2. On en conclut que f est continue sur left [2 ; +infty right [.
Quelle est la continuité d'une fonction ?
Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I. On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) elle est définie.
Comment calculer la continuité d’une fonction ?
(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONTINUITÉ I. Rappels sur la dérivation Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoP_sqT3BQ3Q6oTr6QXodUt Fonction f Ensemble de définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
f(x)=a a∈! f'(x)=0 f(x)=ax a∈! f'(x)=a f(x)=x 2 f'(x)=2x f(x)=x n n≥1 entier f'(x)=nx n-1 f(x)= 1 x \{0} f'(x)=- 1 x 2 \{0} f(x)= 1 x n n≥1 entier \{0} f'(x)=- n x n+1 \{0} f(x)=x0;+∞
f'(x)= 1 2x0;+∞
Exemples : a) Soit la fonction f définie sur
\{0} par f(x)= 1 x 4 alors f est dérivable sur -∞;0 et sur0;+∞
et on a pour tout x de \{0}, f'(x)=- 4 x 5 . b) g(x)=x 2 +x 5x-1 u+v est dérivable sur I u+v '=u'+v' ku est dérivable sur I, où k est une constante ku '=ku' uv est dérivable sur I uv '=u'v+uv' 1 u est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I 1 u u' u 2 u v est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I u v u'v-uv' v 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On pose : g(x)=u(x)v(x) avec u(x)=x 2 +x u'(x)=2x+1 v(x)=5x-1 v'(x)=5Donc :
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x+1 5x-1 +x 2 +x ×5 =10x 2 -2x+5x-1+5x 2 +5x =15x 2 +8x-1 c) h(x)= 6x-5 x 2 -1On pose :
h(x)= u(x) v(x) avec u(x)=6x-5 u'(x)=6 v(x)=x 2 -1 v'(x)=2xDonc :
h'(x)= u'(x)v(x)-u(x)v'(x) v(x) 2 6x 2 -1 -6x-5 2x x 2 -1 2 6x 2 -6-12x 2 +10x x 2 -1 2 -6x 2 +10x-6 x 2 -1 2 Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si , alors f est décroissante sur I. - Si f'(x)≥0 , alors f est croissante sur I. Exemple : Soit la fonction f définie sur par f(x)=x 2 -4x . Pour tout x réel, on a : f'(x)=2x-4 . Résolvons l'équation La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle -∞;2 . De même, on obtient que la fonction f est donc croissante sur l'intervalle2;+∞
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Méthode : Etudier les variations d'une fonction On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par fx
1 3 x 3 +x 2 -3x+7 Etudier les variations de la fonction f. Pour tout x réel, on a : f'(x)= 1 3×3x
2 +2x-3=x 2 +2x-3 . Commençons par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme x 2 +2x-3 est égal à Δ = 22 - 4 x 1 x (-3) = 16 L'équation possède deux solutions : x 1 -2-162×1
=-3 et x 2 -2+162×1
=1On en déduit le tableau de variations de f : x 0 1 10
f'(x) - + f 17 12313 16 3
II. Continuité sur un intervalle Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. Exemples et contre-exemples : Vidéo https://youtu.be/XpjKserte6o f est continue en a f est continue en a f est continue en a
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions
x!x n n∈! ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur . 2) Les fonctions x!sinx et x!cosx sont continues sur . 3) La fonction x!x est continue sur0;+∞
. 4) La fonction x! 1 x est continue sur -∞;0 et sur0;+∞
. Remarque : Les flèches obliques d'un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. - Admis - Méthode : Etudier la continuité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/gLmACk8BpAE On considère la fonction f définie sur
par f(x)=-x+2pourx<3 f(x)=-2x+13pourx≥5La fonction f est-elle continue sur
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Les fonctions x!-x+2 x!x-4 et x!-2x+13 sont des fonctions polynômes donc continues sur . Ainsi la fonction f est continue sur -∞;3 , sur 3;5 et sur5;+∞
. On peut tracer la fonction f sur -∞;5sans lever le crayon, elle est donc continue sur cet intervalle. Il en est de même sur l'intervalle
5;+∞
. Par contre, il n'est pas possible de franchir ces deux intervalles sans lever le crayon. La fonction f n'est donc pas continue sur
. La fonction f est ainsi continue sur -∞;5 et sur5;+∞
. III. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème : On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre
f(a) et f(b) , l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b]. - Admis - Remarque : Dans le cas où f(a) et f(b) sont de signes contraires alors l'équation f(x)=0admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b]. Ci-contre, f(x) = k admet par exemple c comme solution.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr6 Corollaire : On considère la fonction f définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre
f(a) et f(b) , l'équation f(x)=kadmet une unique solution dans l'intervalle [a ; b]. Méthode : Résolution approchée d'une équation EXEMPLE 1 Vidéo https://youtu.be/fkd7c3IAc3Y On considère la fonction f définie sur
par f(x)=x 3 -3x 2 +2 . 1) Démontrer que f'(x)=3xx-2 . 2) En déduire les variations de f sur l'intervalle 2;3 . 3) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet exactement une solution sur l'intervalle 2;3 . 4) À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de la solution α . 5) Dresser le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle 2;3 . On commence par tracer la fonction à l'aide de la calculatrice : YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr7 1) f'(x)=3x 2 -6x=3xx-22) Pour tout x de
2;3 f'(x)>0 . La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 2;3 . 3) f(2)=2 3 -3×2 2 +2=-2<0 f(3)=3 3 -3×3 2 +2=2>0 La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle 2;3et elle change de signe. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel x tel que
f(x)=0. 2) À l'aide de la calculatrice, il est possible d'effectuer des balayages successifs en augmentant la précision. La solution est comprise entre 2 et 3. La solution est supérieure à 2,6 La solution est comprise entre 2,7 et 2,8 La solution est comprise entre 2,73 et 2,74. x 2 3 f 2 -2
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr8 On en déduit que la solution de l'équation
f(x)=0 est α telle que :2,73<α<2,74
. 5) EXEMPLE 2 Vidéo https://youtu.be/UmGQf7gkvLg On considère la fonction f définie sur
par f(x)=x 3 -4x 2 +6 . Démontrer que l'équation f(x)=2admet au moins une solution sur [-1 ; 4]. - f est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur
. - f-1 =-1 3 -4×-1 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] pf a +qf b p q f c
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