Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si
2. Continuité des fonctions
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
CONTINUITÉ
On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe 3) Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet exactement une solution sur l'intervalle.
Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
a) Montrer que si f = g +h avec g qui admet une limite en 0 mais pas h alors Correction :Par opérations
Continuité Applications continues
Montrer que si f est continue pour tout ? ouvert de R
Continuité
Montrer que f est continue et que f est bijective de ]a b[ dans ]?
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
La fonction f(x y) est continue sur R2 {0
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. Démonstration. Supposons f dérivable Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe :.
Continuité et dérivabilité de fonctions réelles
Montrer que f est strictement monotone. Théorème 6.8. Soit f une fonction continue sur un segment. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Rappelons qu'un
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction
CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
on démontre que : 1 ! est continue sur [+ ;S] 2 ! change de signe sur [+ ;S] 3 ! est strictement monotone sur [+ ;S] Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent Avec la condition 3 en plus nous savons que la solution est unique Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)
Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle Méthode - Kartable
Continuité d’une fonction Valeur approchée de la solution f(x) = k Principe : on entre dans la calculatrice la fonction on définit les paramètres du tableur avec l’intervalle dans lequel est contenue la solution de l’équation et on choisit le pas
Continuité et dérivabilité d’une fonction
élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x?a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau 1 2 3 ?1 1 2 3
COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée Comme la fonction x 7? x est continue sur R si f est continue sur [ab] alors f aussi Supposons que f ne soit pas majorée Alors il existe une suite (x n) n d
Continuité sur un intervalle
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en toute valeur a appartenant à I Exemples Les fonctions polynômes sont continues sur ? Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition La fonction racine carrée est continue sur[0;+?[ Remarque Interprétation graphique
Searches related to montrer que f est continue PDF
Soit f continue sur R+ telle que pour tout réel positif x on ait f(x2) = f(x) Montrer que f est constante sur R+ Trouver un exemple où f n’est pas constante Correction H [005397] Exercice 7 ***IT Soit f continue sur R+ à valeurs dans R admettant une limite réelle quand x tend vers +¥ Montrer que f est uniformément continue sur R+
Comment montrer qu'une fonction est continue ?
On conclut en donnant le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) la fonction f est continue. D'après les questions précédentes, f est continue sur left]2 ; +infty right [ et en x=2. On en conclut que f est continue sur left [2 ; +infty right [.
Quelle est la continuité d'une fonction ?
Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I. On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) elle est définie.
Comment calculer la continuité d’une fonction ?
(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
Chapitre2
Continuit´e
2.1D´efiniti onetpropri´et´es
D´efinition2.1(Continuit´een unpoint) Soitfuneappli cationdeD?RdansReta?D.1.Ondit quefestco ntinueenasipo urtoutε>0,ilexisteδ>0t.q.:
2.Ondit quefests´ equentiellementcontinueenasiftransformetoutesuitecon vergent eversaen
suitecon vergenteversf(a),c'est-`a-dire: (x n n?N ?D,lim n→+∞ x n =a?lim n→+∞ f(x n )=f(a). Remarque2.1Sousleshy poth`esesd elad´efinition2.1etsiilexisteb,c?Rt.q.bD?RdansReta?D.Soi tγ>0.On pose
D=D∩]a-γ,a+γ[.Onapp elle
flarest rictiondefa D (c'est-`a-direque festd´e finiesur Det f=fsurD).Alors, festcontin ueenasiet seulemen tsi
fest continueena. D´efinition2.2(Continuit´e)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefestco ntinuesif estco ntinueentoutpointdeD. Ondonne maintenantlad ´efinitiondelacontinuit´eu niforme ,plusfortequelacontinuit´e. 18 D´efinition2.3(Continuit´eun iforme)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefestExemple2.1Onpre ndiciD=]0,1[et f(x)=
1 x pourx?]0,1[.L'appl icationfestcontinu e(c'est-`a- direcontinue entoutpointdeD)mai sn'estpas uniform´ementcont inue. Proposition2.1(Somme,produitetqu otientd' applicationscontinues)Soitf,gdeuxapplica- tionsdeD?RdansReta?D.Onsupposequefetgsontcontinues ena.Alors:1.L'applicationf+gestco ntinueena,
2.L'applicationfgestco ntinueena,
3.Ilex isteβ>0t.q.g(x)?=0pourx?D∩]a-β,a+β[etf/g(quiest biend´ efinie pourx?
D∩]a-β,a+β[)estcontinueena.
D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.6.
Proposition2.2(Continuit´edel acompos´ee)Soitfuneapplic ationdeD?RdansRetgune applicationdeE?RdeR.OnsupposequeIm(f)={f(x),x?D}?E(desortequ eg◦festd´ efinie surD).So ita?D.Onsupposequefestco ntinueenaetgestco ntinueenf(a).Alors,g◦fest continueena.D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.8.
2.2Th´eor `emedesvaleursinterm´ediaires
Th´eor`eme2.2(Th´eor`emedesval eursinte rm´ediaires)Soita,b?R,aOncomme nceparremarquerqu'ilex isteun esuite(c
n n?N depoint sdeAt.q.li m n→+∞ c n =c(voir, parexem ple,l'exercice1.6).Parconti nuit´edefenc,ona donc f(c)=lim n→+∞ f(c n )et donc,c omme f(c n Onsupp osemaintenantquef(c)<γ(etonvamont rer quecec iestimpossible).On adoncct.q.f(c)=γparunrai sonnem entsemblableaupr´ec´edentenpren antA={x?[a,b]t.q.f(x)≥γ}.Ce
raisonnementn'estpasd´etaill´eici . Remarque2.3Voicideuxcons ´equencesimm ´ediatesduth´eor`emedesvaleursinterm´e diaires.1.Soita,b?R,a l'intervalledontlesbornessontf(a)etf(b). 2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,amontrequelacontin uit´edefimpliquequefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediaires.Lar´eciproque estfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs 2.3Fonction continuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinuesurunc ompact )Soita,b?R,aD´emonstration: Etape1Onmontr etoutd'abordquefestmajor´ ee(c'est-`a-direqueIm( f)={f(x),x?[a,b]}est major´ee).Pourcela,onraisonneparl 'absurde.O nsupposedoncq uefn'estpasmajor´ee . Soitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetun ebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n. Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20 Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetun e bornesup´eri eure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etqu ef estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y n Lasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´e duitque f(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpre ndiciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemeque l'imagep aruneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors: 1.L'ensembleIm(f)estun intervall e.(Autrementdit,l'imageparunea pplicationcontinued 'un
intervalleestunintervalle.) 2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Aut rementdit,l'imageparunea pplicationcon tinued'un intervalleferm´eborn´eestun intervalleferm´e born´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
21
2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors: 1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.
4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(de JdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)3.Lafon ctionfestsurj ectivedeIdansJ(carJ=Im(f)).Ilrest e`amon trerquefestinjec tive,
maiscecie stunecons´equ encesimpl edelastr ictecroissancedef.En effet,soitx,y?I,x?=y.Si x>y,ona f(x)>f(y).Si x4.Onnoteglafonct ionr´eciproquedef(gestdoncd´ efiniedeJdansI).Onre marque toutd'abord
quegeststric tementcroissante.Eneffet,soitx,y?J,x2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,aestfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs2.3Fonction continuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinuesurunc ompact )Soita,b?R,aSoitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetun ebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n.Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetun e bornesup´eri eure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etqu ef estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y nLasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´e duitque f(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpre ndiciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemeque l'imagep aruneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors:1.L'ensembleIm(f)estun intervall e.(Autrementdit,l'imageparunea pplicationcontinued 'un
intervalleestunintervalle.)2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Aut rementdit,l'imageparunea pplicationcon tinued'un intervalleferm´eborn´eestun intervalleferm´e born´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
21
2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors: 1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.
4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(de JdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)3.Lafon ctionfestsurj ectivedeIdansJ(carJ=Im(f)).Ilrest e`amon trerquefestinjec tive,
maiscecie stunecons´equ encesimpl edelastr ictecroissancedef.En effet,soitx,y?I,x?=y.Si x>y,ona f(x)>f(y).Si xD´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S iIm(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞).Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f).Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a)etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ.Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ.Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
212.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors:1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.
4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(deJdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)2.5Exercice s
Exercice2.1(Fonctioncont inue,nonn ulleenunpoint)
Soitfunefonction deRdansReta?R.On suppos equefestcontinu eenaetqu ef(a)?=0.M ontr er quefestnonnull esuru nintervalleouvert contenanta.Exercice2.2(Fonctionlipsc hitzienne )
Soitf:R→Retk?R
estcontinu e(surtoutR).Exercice2.3
Pourquelle valeurdeαlafonct ionf,d´ efinieci-apr`es,est-el lecontinuesurR? f(x)= x 3 -8 x-2 six?=2αsix=2.
Exercice2.4(Fonctionsmonotone s)
Soita,b?R,a2.Soitc?I.Mon trerquefadmetunelimi te`adroite enc,not ´eef
d (c),etun elimi te`agauchee nc, not´eef g (c).Montr erquef g d (c).3.Onsupp osequef
d (c)=f g (c)pou rtoutc?I(avecf d etf g d´efinies`alaquestionpr´e c´eden te). Montrerquefestcontin ueetquefestbij ectivede]a,b[dan s]α,β[.Exercice2.5(Polynˆomede degr´eimp air)
Montrerquetoutefoncti onpolynˆome deRdansR,de degr´ei mpair,s'annuleen aumoinsunpoint.Exercice2.6(Existenced' unmaximum)
Soitfunefonction continuedeR
dansR .On suppos equelim x→∞ f(x)=0. Mont re rquefadmet unmaxim um(c'est-`a-direqu 'ilexistea?R t.q.,pourtoutx?R Exercice2.7(Injectivit ´eetcon tinuit´edonnemonotonie) Soita,b?R,a1.Lafon ctionfest-ellecontinueen0?
232.Calculerlim
x→-1 f(x)etlim x→1 f(x).3.Existe-t-ilunefonctiongd´efinieetcontinuesurRetquie st´egale`a fsurR\{-1,1}?
Exercice2.9
Soitfetgdeuxfonctions de[0,1]dan sR,con tinuesett.q.f(0)=g(1)=0et g(0)=f(1)=1.Mon tr er que: ?λ?R ,?x?[0,1],f(x)=λg(x).Exercice2.10(Valeurinter m´ediaire)
Soitfunefonction continuede[0,1]dan sR.
1.Montrerquepourtoutt?[0,1],l'en semble{s?[0,1]t. q.f(s)=
f(0)+f(t) 2 }estnonvid e.Poutt?[0,1],onpose ?(t)=inf{s?[0,1]t. q.f(s)=
f(0)+f(t) 22.Soitt?[0,1],montr erque?(t)?[0,1]et quef(?(t))=
f(0)+f(t) 23.Montrerquesifeststrict ementcroissante,l'application?ainsid´efinie de[0,1]dan s[0,1]es t
continue.4.Donnerunexemple defonct ionfpourleque llafonction?n'estpascontinue .
Exercice2.11(Fonctiondo ntl'imageestd iscr`ete)
Soitf:R→Runefoncti oncontinue(c'est-`a-d irecontinueentoutpointd eR).Onsu pposeq uef(x)? {0,1},pou rtoutx?R.Mon trerquefestconstant e.[utiliserleth´eor`emed esvaleursinterm´ediaires.]Exercice2.12(Continuit ´ede"max"et"min")
1.Montrerque,pourtoutx,y?R,max {x,y}=
1 2 (x+y+|x-y|)etmin{x,y}= 1 2 (x+y-|x-y|).2.Soitfetgdeuxapplicati onsdeRdansR.On d´efini tlesapplicationsf?getf?gdeRdansR
par: (f?g)(x)=m ax{f(x),g(x)},(f?g)(x)=min{f(x),g(x)},pourx?R. Soita?R.On suppos equefetgsontcontin uesena.Mon trerquef?getf?gsontcontin uesen a.Exercice2.13(Convexeimplique continue )
tf(x)+(1-t)f(y)pou rtoutt?[0,1]et pourtou tx,y?R. Onposeα=f(1)-f(0),β=f(0)-f(-1)et γ=max {|α|,|β|}. t=x,et0=tx+(1-t)(-1),avec t= 1 1+x3.Montrerquefestcontin ueentoutpointdeR.
Exercice2.14(Bornesup´e rieureatteint e)
24Soitfuneapplicat ioncontinuedeR
dansR (onrappe llequeR =[0,∞[).Onsup poseque lim x→∞ f(x)=0. Mont er que{f(x),x?R }estmajor´ eestqu'ilexistea?R t.q.f(a)=sup{f(x), x?R Exercice2.15(Exercicesu rlesvaleursin term´ediaires) Soitfuneapplic ationcontinuede[0,1]dan sRt.q.f(0)=f(1).Soitn?N .pou rx?[0,1- 1 n ],on poseg(x)=f(x+quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] pf a +qf b p q f c
[PDF] continuité uniforme exercices corrigés
[PDF] une fonction convexe admet toujours un minimum global
[PDF] fonctions convexes cours
[PDF] une fonction convexe n'a qu'un nombre fini de minima
[PDF] dérivabilité d'une fonction exercices corrigés
[PDF] montrer que f est dérivable sur r
[PDF] montrer qu'une fonction n'est pas dérivable en un point
[PDF] fonction continue sur un compact atteint ses bornes
[PDF] majoré minoré suite
[PDF] matrice diagonalisable exercice corrigé
[PDF] exemple dossier de synthèse bac pro sen tr
[PDF] rapport de synthèse bac pro sen avm
[PDF] endomorphisme nilpotent exercice corrigé
