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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

Topologie Feuille n

◦2Continuit´e

Applications continues

Exercice 1SoitXun espace topologique etf:X→R.

1. Montrer quefest continue si et seulement si pour toutλ?R, les ensembles{x;f(x)<

λ}et{x;f(x)> λ}sont des ouverts deX.

2. Montrer que sifest continue, pour toutωouvert deR,f-1(ω) est unFσouvert deX

(Fσ= r´eunion d´enombrable de ferm´es). Exercice 21. SoitCl"espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etrique d

1(f,g) =?1

0|f-g|dx, puis de la m´etriqued∞(f,g) = supx|f(x)-g(x)|. V´erifier que

l"applicationf→?1

0|f|dxdeCdansRest 1-lipschitzienne dans les deux cas.

2. Soitcl"espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etriqued(x,y) = supn|x(n)-

y(n)|. Si on d´esigne par?(x) la limite de la suitex, montrer que?est une application continue decdansR. En d´eduire quec0est ferm´e dansc. Exercice 3Soitf,gdeux applications continues deXdansY, espaces topologiques,Y´etant

s´epar´e. Montrer que{f=g}est ferm´e dansX; en d´eduire que sifetgco¨ıncident sur une

partie dense deX, alorsf=g. Exercice 4Une application deXdansYest diteouvertesi l"image de tout ouvert deXest un ouvert deY;ferm´eesi l"image de tout ferm´e deXest un ferm´e deY.

1. Montrer qu"une fonction polynomiale deRdansRest une application ferm´ee.

2. Montrer que l"application (x,y)?X×Y→x?Xest ouverte mais pas n´ecessairement

ferm´ee (consid´erer l"hyperbole ´equilat`ere deR2).

3. Montrer que la fonction indicatrice de l"intervalle [0,12

], comme application deRdans {0,1}, est surjective, ouverte, ferm´ee, mais pas continue.

4. Montrer que toute application ouverte deRdansRest monotone.

Exercice 51. Montrer quefest continue si et seulement sif(A)?f(A) pour toutAdans X. Que peut-on dire alors de l"image parfd"un ensemble dense dansX?

2. Montrer quefest ferm´ee si et seulement sif(A)?f(A), et quefest ouverte si et

seulement sif(◦A)?◦f(A). 1

Applications uniform´ement continues

Exercice 61. Soitfune fonction r´eelle continue sur [0,1]; montrer quefest "presque lipschitzienne" au sens : ?ε >0?Cε;?x,y?[0,1]|f(x)-f(y)|?Cε|x-y|+ε.

2. Montrer qu"une fonctionfuniform´ement continue deRdansRv´erifie pour toutx?R,

|f(x)|?a|x|+bo`uaetbsont des constantes. Exercice 7Soitfune fonction continue de ]0,1[ dansR. Montrer que, sifest uniform´ement continue, elle est born´ee. R´eciproque? Exercice 8Soitfune fonction uniform´ement continue surRtelle que?∞

0f(t)dtconverge.

Montrer queftend vers 0 quandx→+∞. Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x2) n"est pas uniform´ement continue.

Applications lin´eaires born´ees

Exercice 9SoientE1,E2etFdes espaces norm´es surRet soitB:E1×E2→Fune application bilin´eaire. Montrer queBest continue si et seulement s"il existeM >0 tel que ?B(x)??M?x1??x2?pour toutx= (x1,x2)?E1×E2. Exercice 10SoientEetFdeux espaces norm´es etL:E→Fune application lin´eaire v´erifiant : (L(xn))nest born´ee dansFpour toute suite(xn)ndeEtendant vers0?E.Montrer queLest continue. Exercice 11SoientEetFdeux espaces norm´es r´eels etf:E→Fune application born´ee sur la boule unit´e deEet v´erifiant f(x+y) =f(x) +f(y) pour toutx,y?E .

Montrer quefest lin´eaire continue.

Exercice 12Calculer la norme des op´erateurs suivants : - Le shift surl∞d´efini parS(x)n+1=xn,S(x)0= 0. -X=C([0,1]) muni de la norme?.?∞etTf(x) =f(x)g(x) o`ug?X. Calculer la norme des formes lin´eaires suivantes : -X=C([0,1]) muni de la norme?.?∞etu(f) =?1

0f(x)g(x)dxo`ug?Xest une fonction

qui ne s"annule qu"enx= 1/2. -X=l2etu(x) =?anxno`u (an) est dansX. -X=l1etu(x) =?anxno`u (an) est dansl∞. -Xl"espace des suites convergentes muni de la norme sup etu:X→Rl"applicationu(x) = lim j→∞xj. Exercice 13SoitX=R[x] l"ensemble des polynˆomes. PourP(x) =?p k=0akxkon pose?P?= sup k|ak|,U(P)(x) =?n k=11k akxketV(P)(x) =?n k=1kakxk.

1. Montrer que?.?d´efinit une norme et queUetVd´efinissent des applications lin´eaires de

XdansX.

2. Examiner siUetVsont continues?

2 Exercice 14Soitl∞l"espace des suites r´eelles muni avec la norme uniforme, i.e.?x?∞= sup n|xn|. On consid´ere l"applicationA:l∞→l∞d´efinie par

A(x1,x2,...,xn,...) = (x1,x2/2,...,xn/n,...).

Montrer que :

1.Aest injective et continue avec?A?= 1. Par contre,An"est pas surjective.

2.Aadmet un inverse `a gauche mais qu"il n"est pas continu.

Exercice 15SoitXun espace norm´e,L:X→Rune forme lin´eaire non nulle etH=L-1({0}) son noyau.

1. Montrer que, siLest continue, alorsHest un sous-espace ferm´e dansX.´Etablir la

relation dist(a,H) =|L(a)|?L?pour touta?X .

2. R´eciproquement, supposons que le noyauHest un ferm´e. D´emontrer alors que dist(a,H)>

0 d`es quea?X\Het en d´eduire queLest continue de norme au plus|L(a)|/dist(a,H).

3. Peut-on g´en´eraliser ceci a des applications lin´eaires entre espaces norm´es?

Exercice 16SoitX=C([0,1]) avec la norme?f?=?1

0|f(t)|dt. Montrer que la forme lin´eaire

f?X?→f(0)?Rn"est pas continue. Que peut-on en d´eduire pour le sous-espace des fonctions deXnulles en 0? Exercice 17SoitX={f? C(R) ; (1 +x2)|f(x)|soit born´ee}. On poseN(f) = supx?R(1 + x

2)|f(x)|. V´erifier queNest une norme, puis montrer que la forme lin´eaire suivanteLest

continue et calculer sa norme :

L:X→Rd´efinie parL(f) =?

R f(x)dx . 3

Biblioth`eque d"exercicesIndications

Topologie Feuille n

◦2Continuit´e Indication 11. Utiliser le fait que tout ouvert deRest l"union d´enombrable d"intervalles ouverts. 2. ´Ecrire un intervalle ferm´e comme union d´enombrable d"intervalles ouverts, puis utiliser la mˆeme remarque que ci-dessus.

Indication 21.....

2. Pour montrer quec0est ferm´e, l"´ecrire comme image r´eciproque de quelque chose.

Indication 3Montrer que le compl´ementaire est un ouvert. Si vous le souhaitez, placez-vous dans des espaces m´etriques. Indication 41. Pour un polynˆomeP, la limite deP(x) ne vaut±∞que lorsquextend vers±∞.

Indication 51. Pour le sens direct utiliser la caract´erisation de l"adh´erence par les suites.

Pour le sens r´eciproque, montrer que l"image r´eciproque d"un ferm´e est un ferm´e. Indication 81. Par l"absurde, consid´ererI(x) =?x

0f. Trouver une suite (pn) telle que

(I(pn)) ne soit pas une suite de Cauchy.

2. Pour montrer que cette int´egrale converge utiliser le changement de variableu=t2puis

faire une int´egration par partie. Indication 9Si la relation est v´erifi´ee montrer queBest continue enxen calculantB(x+ y)-B(x). SiBest continue alors en particulierBest continue en (0,0), fixer leεde cette continuit´e,... Indication 10La continuit´e deLsurE´equivaut la continuit´e en 0. Par l"absurde supposer queLn"est pas continue en 0 et construire une suite (xn) qui tend vers 0 mais avec (L(xn)) non born´ee. Indication 11Il faut montrerf(λx) =λf(x) pourλ?R. Le faire pourλ?N, puisλ?Z, puisλ?Qet enfinλ?R.

Indication 121.?S?= 1;

2.?T?=?g?∞;

3.?u?=?1

0|g|, on distinguera les cas o`ugreste de signe constant etgchange de signe;

4.?u?=?an?2;

5.?u?=?a?∞;

6.?u?= 1.

Indication 13Uest continue et?U?= 1,Vn"est pas continue. Indication 151. Montrer d"abord queXse d´ecompose sous la formeH+R.a.

2. ...

3. Non! Chercher un contre-exemple dans les exercices pr´ec´edents.

Indication 17Montrer que?L?=π.

1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

Topologie Feuille n

◦2Continuit´e Correction 11. Sens direct. Sifest continue alors{x|f(x)< λ}=f-1(]- ∞,λ[) est un ouvert comme image r´eciproque par une application continue de l"intervalle ouvert ]- ∞,λ[. De mˆeme avec ]λ,+∞[. R´eciproque. Tout d"abord, tout intervalle ouvert ]a,b[, (a < b) peut s"´ecrire ]a,b[=]- ∞,b[∩]a,+∞[. Donc f -1(]a,b[) =f-1(]- ∞,b[)∩f-1(]a,+∞[) est une intersection de deux ouverts donc un ouvert deX. SoitOun ouvert deR, alors Opeut s"´ecrire comme l"union d´enombrables d"intervalles ouverts : O=? i?I]ai,bi[. Donc f -1(O) =? i?If -1(]ai,bi[) est une union d"ouvert donc un ouvert deX.

2. Nous le faisons d"abord pour un intervalle ouvert ]a,b[.

]a,b[=? j?N?[a+1n ,b-1n Donc f -1(]a,b[) =? j?N?f-1([a+1j ,b-1j est une union d´enombrable de ferm´es. Maintenant comme pour la premi`ere question, tout ouvertOdeRs"´ecritO=? i?I]ai,bi[, avecId´enombrable. Donc on peut ´ecrire f -1(O) =? i?I? j?N?f-1([ai+1j ,bi-1j qui est une union d´enombrable de ferm´es (mais c"est un ouvert!). Correction 21. SoitFl"application d´efinie parF(f) =?1

0|f|.Alors

|F(f)-F(g)|=|? 1 0 |f| - |g||?? 1 0 |f-g|=d1(f,g)?d∞(f,g). Donc pour les deux distancesd1etd∞,Fest lipschitzienne de rapport 1. 1

2. Soitε >0 alors en posantη=εon obtient la continuit´e : sid(x,y)< εalors

|?(x)-?(y)|?ε. Donc?est continue, etc0=?-1({0}) est un ferm´e , car c"est l"image r´eciproque du ferm´e {0}par l"application continue?. Correction 3SoitA={x?X|f(x) =g(x)}. Alors soitC=X\A={x?X|f(x)?= g(x)}. Soitx?Ccommef(x)?=g(x) et queYest s´epar´e, il existe un voisinage ouvertV1de f(x) etV2deg(x) tel queV1∩V2=∅. NotonsU=f-1(V1)∩g-1(V2). AlorsUest un ouvert deXcontenantx. Maintenant pourx??U, alorsf(x?)?V1,g(x?)?V2doncf(x?)?=g(x?), doncx??C. BilanUest inclus dansC. DoncCest ouvert. Application : siAest dense dansXalors¯A=X, mais commeAest ferm´eA=¯A. Donc

A=X, c"est-`a-direfetgsont ´egales partout.

Correction 41. SoitPun polynˆome, etFun ferm´e deR. Soit (yn) une suite convergente d"´el´ements deP(F), ety?Rsa limite. Il existexn?Ftel queyn=P(xn). Comme (yn) est born´ee (car convergente) alors (xn) aussi est born´ee, en effet un polynˆome n"a une limite infini qu"en±∞. Comme (xn) est une suite born´ee deRon peut en extraire une sous-suite convergente (xφ(n)) de limitex. CommeFest ferm´e,x?F. CommePest continue (c"est un polynˆome) alorsyφ(n)=P(xφ(n))→P(x), mais (yφ(n)) converge aussi versy. Par unicit´e de la limitey=P(x)?P(F). DoncP(F) est ferm´e.

2. SoitX=Y=RetH= (xy= 1) est un ferm´e deX×Y, mais siπ(x,y) =xalors

π(H) =R?n"est pas un ferm´e deX=R.

3. A v´erifier...

Correction 51.?. Soitfcontinue ety?f(¯A). Il existex?¯Atel quey=f(x). Soit x n?Atel que (xn) converge versx. Alorsyn=f(xn)?A. Commefest continue alors (yn) converge versf(x) =y. Doncyest adh´erent `af(A). Conclusionf(¯A)?f(A). ?. Soitf:X→Yet soitFun ferm´e deY. NotonsA=f-1(F). Alorsf(A)?Fdonc l"´equationf(¯A)?f(A) devientf(¯A)?¯F=FcarFest ferm´e. Donc¯A?f-1(F) =A. Donc¯A?A, d"o`u¯A=A. DoncAest ferm´e. Bilan l"image r´eciproque de tout ferm´eF est un ferm´e, doncfest continue. Application : siAest dense, alors¯A=X, et sous les hypoth`eses pr´ec´edentes alorsf(A) est dense dans l"image deXparf: en effetf(A) contientf(¯A) =f(X)

2.?. Soitfferm´e et soitA?X. AlorsA?¯Adoncf(A)?f(¯A), donc comme¯Aest un

ferm´e etfest ferm´ee alorsf(¯A) est un ferm´e contenantf(A). Mais commef(A) est le plus petit ferm´e contenantf(A) alorsf(A)?f(¯A). ?. La relation pour un ferm´eFdonnef(F)?f(¯F) =f(F). Doncf(F) =f(F). Donc f(F) est ferm´e. Doncfest ferm´ee.

Mˆeme type de raisonnement avecfouverte.

Correction 81. Supposons quefne tende pas vers 0. Soitε >0 fix´e. Pour toutn?0, il existexn?ntel que|f(xn)|> ε. Sans perte de g´en´eralit´e nous supposonsf(xn)> ε. Appliquons l"uniforme continuit´e : soitε?=ε2 , Il existeηtel que pour|xn-y|?ηon ait |f(xn)-f(y)|< ε?. Donc pour un tely,f(y)>ε2 >0. Doncfest strictement positive sur [xn-η,xn+η]. Notons alors (pn) d´efinie parp2n=xn-η,p2n+1=xn+η. Soit

I(x) =?x

0f. AlorsI(p2n+1)-I(p2n) =?xn+η

x n-ηf(t)dt?ε2

·2η=εη. Donc la suite (I(pn))

n"est pas de une suite de Cauchy, donc ne converge pas, donc la fonctionx?→I(x) ne converge pas non plus, et donc?∞

0f(t)dtdiverge.

2

2. Par le changement de variableu=t2puis une int´egration par partie, on montre que

l"int´egrale?∞

0sin(t2)dtconverge, mais commef(x) = sin(x2) ne tend pas vers 0 alorsf

n"est pas uniform´ement continue surR. Correction 9Pourx= (x1,x2)?E1×E2on d´efinit?x?= max(?x1?,?x2?).

1. Sens?. SoitM >0 tel que?B(x)??M?x1??x2?. Montrons queBen continue au point

x= (x1,x2) fix´e. Soity= (y1,y2) alors B(x+y)-B(x) =B(x1+y1,x2+y2)-B(x1,x2) =B(x1,y2) +B(x2,y1) +B(y1,y2). Donc Pour?y1??εM?x1?on aM?x1??y2??ε(six1= 0 il n"y a rien `a choisir ici). Pour?y2?? εM?x2?on aM?x2??y1??ε(six2= 0 il n"y a rien `a choisir ici). Enfin pour?y1???ε M et?y2???ε M on aM?y1??y2??ε. Donc en prenantη= min(εM?x1?,εM?x2?,?ε M ), on obtient que pour?y?= max(?y1?,?y2?)?ηon a?B(x+y)-B(x)??3ε. Ce qui prouve la continuit´e. DoncBest continue surE1×E2.

2. Sens?. SiBest continue partout, en particulier elle est continue en 0. Je choisisε= 1,

il existeη >0 tel que?x??ηalors?B(x)??1. Donc pour?x1??ηet?x2??η on a?B(x1,x2)??1. Soit maintenanty= (y1,y2)?E1×E2, (y1?= 0,y2?= 0) on

a (ηy1?y1?,ηy2?y2?) de norme?ηdoncB(ηy1?y1?,ηy2?y2?)?1 et par bilin´earit´e cela fournit :

B(y1,y2)?1η

2?y1??y2?, et ce pour tout (y1,y2). La constante cherch´ee ´etant1η

2. Correction 10CommeLest lin´eaire il suffit de montrer queLest continue en 0. Supposons que cela ne soit pas vrai, alors il faut nier la continuit´e deLen 0 qui s"´ecrit : ?ε >0?η >0?x?E(?x?< η? ?L(x)?< ε).

La n´egation s"´ecrit alors :

?ε >0?η >0?x?E(?x?< ηet?L(x)??ε). Soit donc un telε >0 de la n´egation, pourηde la formeη=1n , on obtientyntel que?yn?<1n et?L(yn)??ε. On posexn=⎷ny n, alors?xn?=⎷n?yn?<1⎷n donc (xn) est une suite de Equi tend vers 0. Par contre?L(xn)?=⎷n?L(yn)??ε⎷n, donc la suite (L(xn)) n"est pas born´ee. Par contraposition nous avons obtenu le r´esultat souhait´e.

Correction 111. Sifest lin´eaire et born´ee sur la boule unit´e alors elle est continue (voir

le cours ou refaire la d´emonstration).

2. Il reste `a montrer quefest lin´eaire : on a d´ej`af(x+y) =f(x) +f(y) pour toutx,y

reste donc `a prouverf(λx) =λf(x). Pour toutλ?Retx?E. - Pourλ?Z, c"est une r´ecurrence,f(2x) =f(x+x) =f(x) +f(x) = 2f(x). Puis f(3x) =f(2x+x) =f(2x)+f(x) = 2f(x)+f(x) = 3f(x) etc. Doncf(nx) =nf(x) pour n?N. De plus 0 =f(0) =f(x+(-x)) =f(x)+f(-x) doncf(-x) =-f(x). Ensuite on af(-nx) =-nf(x) pourn?N. Bilan : pour toutλ?Zon af(λx) =λf(x). - Pourλ?Q, soitλ=pq ,p,q?Z. f(pq x) =pf(1q x) =pq qf(xq ) =pq f(qxq ) =pq f(x). Nous avons utilis´e intensivement le premier point. 3 - Soitλ?Ralors il existe une suite (λn) d"´el´ement deQqui converge versλ. Fixons x?E. f(λx)-λf(x) =f(λx)-f(λnx) +f(λnx)-λf(x) =f((λ-λn)x) + (λn-λ)f(x). Nous avons utilis´e le second point. Soitε?Q?+. Pournassez grand on a?(λ-λn)x?< ε.

Donc?1ε

(λ-λn)x? ?B(0,1) orfest born´ee sur la boule unit´e donc il existeM >0 tel quef(1ε (λ-λn)x)?M(quelque soitn). Doncf(λ-λn)x)?Mε(εest rationnel donc on peut le "sortir"). De mˆeme pournassez grand on a (λn-λ)f(x)< ε. Maintenant ?f(λx)-λf(x)???f((λ-λn)x)?+?(λn-λ)f(x)?< Mε+ε. Donc pourx,λfix´es,?f(λx)-λf(x)?est aussi petit que l"on veut, donc est nul! D"o`u f(λx) =λf(x) pourλ?R.

Correction 121. Pour toutx,?S(x)?=?x?donc?S?= 1.

2.?T(f)?∞=?f×g?∞??f?∞?g?∞. Donc pourf?= 0,?T(f)?∞?f?∞??g?∞. De plus eng, on

obtient ?T(g)?∞?g?∞=?g2?∞?g?∞=?g?∞. Donc?T?=?g?∞.

3. On a|u(f)|??f?∞?

1

0|g(x)|dxdonc?u???1

0|g(x)|dx. Signe change pas de signe sur

[0,1] alors pourfla fonction constant ´egale `a 1, on obtient|u(f)|=?f?∞? 1

0|g(x)|dx

donc?u?=?1

0|g(x)|dx. Sigchange de signe alors il ne le fait qu"une fois et en12

. Soithn la fonction d´efinie parhn(x) = 1 six?[0,12 -1n ],hn(x) =-1 six?[12 +1n ,1] ethnest affine sur [ 12 -1n ,12 +1n ] et continue sur [0,1]. Cette fonction est construite de telle sorte que sigest positive puis n´egative alorshn×gest une fonction continue qui converge uniform´ement vers|g|:?hng-|g|?∞→0. Donc|u(hn)|=?1

0hn×get par la convergence

uniforme alors|u(hn)|converge vers?1

0|g|. Donc?u?=?1

0|g|.

4.|u(x)|=|?anxn|??an?2?xn?2(c"est Cauchy-Schwartz) donc?u???an?2. Pour la

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