[PDF] Dérivation - maths-francefr La fonction k est une





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DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES

b) Déterminer une équation de la tangente à gauche à la courbe C au point A. Tracer également cette tangente. 4) La fonction est-elle dérivable en 1 ? Exercice 



Limite continuité

dérivabilité



I Exercices

C'est un exercice d'entra?nement au calcul on ne demande pas de déterminer les ensembles sur lesquels les fonctions sont dérivables. 1. f(x)=4x3 ? 3x2 + x ? 



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

Exercice 11 Démonstration de la formule de Leibniz. Montrer que si f et g sont deux fonctions N fois dérivables (o`u N ? N?)



livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! l'étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.



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Quelques exercices danalyse corrigés

La fonction f? est le quotient de deux fonctions polynômes donc dérivables



Fonctions dérivables 1 Calculs

Exercice 4. Soit n ? 2 un entier fixé et f : R+ = [0+?[?? R la fonction définie par la formule suivante : f(x) = 1+xn. (1+x)n



exercices corrigés sur letude des fonctions

Exercices corrigés Fonctions. Exercices corrigés. Fonctions Soit f une fonction définie et dérivable sur ?{1} dont le tableau de variation est :.



fonctions exponentielles exercices corriges

2) Montrer que f est dérivable sur . Déterminer sa fonction dérivée. R f ?. 3) Dresser le tableau de variations de f et tracer sa courbe C. Exercice n°13.



GuesmiB DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES

1) Etudier la dérivabilité en 0 de x 6xx 2) Soit f la fonction numérique définie par f ()xx=?(1)1?x2 a) Déterminer l’ensemble de définition de f b) Etudier la dérivabilité de f en +1 et en –1 Exercice n°5 1) f est la fonction définie sur [0;+?[par f ()xx=+x a) Etudier la dérivabilité de f en 0



Dérivation - maths-francefr

La fonction k est une fonction polynôme alors elle est continue et dériv-able sur R Alors pour tout x ? R k?(x)=3×2x? ? 3 D’où k?(x)=6x? ? 3 Exercice 2 : Déterminons dans chacun des cas l’ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée



Limite continuité théorème des valeurs intermédiaires

dérivabilité théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : ( T)= T ?1+ T2??1+ T Déterminer les limites de si elle existent en 0 et en +? Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : ( T)= ( T? 1 T) Montrer que admet une limite en 0 et déterminer cette limite



Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : f 1(x)=x2 cos 1 x; si x 6=0 ; f 1(0)=0; f 2(x)=sinxsin 1 x; si x 6=0 ; f 2(0)=0; f 3(x)= jxj p x2 2x+1 x 1; si x 6=1 ; f 3(1)=1: Indication H Correction H Vidéo [000698] Exercice 4 Soit n>2 un entier ?xé et f : R+ =[0;+¥[! R la fonction dé?nie par la formule suivante: f(x



DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES

Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0 3 3 f h f h h h ? = + + b) En déduire que f est dérivable en 0 et donner le nombre dérivé de f en 0 Exercice n° 4 1) Etudier la dérivabilité en 0 de x x x? 2) Soit f la fonction numérique définie par f x x x



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exercices Calculs de dérivées Exercice7 Dans chaque cas donner le domaine de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée de la fonction f 1) f(x) = x3 ?3x2 + x ?1 6 2) f(x) = 1 ?2x x ?2 3) f(x) = x ?6 + 9 x ?1 (factoriser f?) 4) f(x) = x2 + x ?2 x2 + x +1 (factoriser f?) 5) f(x) = x2 +2x ?3 2 6) f(x) = x +1 x +2!3

Quelle est la dérivabilité d’une fonction?

1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0

Comment calculer la dérivée d’une fonction?

d 1) Véri?er que d est solution du système : ? ??? ??? 0 6d 680 d3?9 600d +192 000 = 0 2) f est la fonction sur [0;80] par : f(x) = x3?9 600x +192 000 a) Déterminer la dérivée de la fonction f. En déduire le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0;80].

Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.

Comment calculer la courbe d’une fonction dérivable ?

La courbe d’une fonction dérivable est parfaitement lisse et bien arrondie et ne possède pas de tangente verticale. Par le calcul, on distingue trois cas de fonctions non dérivables en un point a ? I. Le taux d’accroissement de f entre a et a + h, admet une limite égale à ± ? lorsque h tend vers~ 0 à gauche ou à droite.

Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS

CORRECTION DES EXERCICES

DÉRIVATION GLOBALE:

Exercice1:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée.

1.f:x?→x4+ 2

La fonctionfest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Ainsi, pour toutx?R,f?(x) = 4x3.

2.g:x?→ -3x+⎷7

La fonctiongest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors, pour toutx?R,g?(x) =-3.

3.h:x?→3⎷5x+ 3

La fonctionhest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors, pour toutx?R,h?(x) = 3⎷ 5.

4.k:x?→3x2-⎷3x+ 2

La fonctionkest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors pour toutx?R,k?(x) = 3×2x-⎷ 3

D"où,k?(x) = 6x-⎷

3

Exercice2:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

1.f:x?→3⎷x

La fonction racine carrée est définie sur[0,+∞[mais n"est dérivable que sur l"intervalle]0,+∞[. D"où la fonctionfest dérivable sur l"intervalle]0,+∞[. Alors, pour toutx?]0,+∞[,f?(x) = 3×(⎷ x)?= 3×12⎷x.

D"oùf?(x) =3

2⎷x

2.g:x?→x2+ 1xLe dénominateur de la fonctiongs"annule pourx= 0et le numérateur

est définie surR, ainsi la fonctiongest définie surR?. La fonctiongétant une fonction rationnelle alors elle est continue et dérivable sur son domaine de définition.

Alors, pour toutx?R?,g?(x) =(x2+ 1)?x-x?(x2+ 1)

x2

2x×x-1×(x2+ 1)

x2

2x2-x2-1

x2 x2-1 x2

D"où,g?(x) =x2-1

x2

3.h:t?→2t2-33-2t+ 2.

h(t) =2t2-3

3-2t+ 2 =23t2-1-2t+ 2donch(t) =23t2-2t+ 1.

La fonctionhest une fonction polynôme donc elle est continue et dériv- able sur l"ensembleR.

Alors, pour toutt?R,h?(t) =4

3t-2.

D"oùh?(t) =4

3t-2 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

4.k:s?→23s3-2s2-s

La fonctionkest une fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable surR.

Alors, pour toutx?R,k?(s) =2

3×3s2-2×2s-1 =s2-4s-1

D"oùk?(s) =s2-4s-1

Exercice3:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction, puis calculons sa dérivée.

1.f:x?→5x+ 3x-2Le dénominateur de la fonctionfs"annule pourx= 2et le numéra-

teur est définie surRdonc la fonctionfest définie sur l"intervalle ]-∞,2[?]2,+∞[. fétant le quotient de deux fonctions polynômes alors elle est dérivable sur son domaine de définition]-∞,2[?]2,+∞[.

Alors, pour toutx?R,

f ?(x) =(5x+ 3)?(x-2)-(x-2)?(5x+ 3) (x-2)2

5(x-2)-1(5x+ 3)

(x-2)2

5x-10-5x-3

(x-2)2 -13 (x-2)2

D"où,f?(x) =-13

(x-2)2

2.g:x?→-3x2+ 2x-72x-2Déterminons le domaine de définition de la fonctiong.

SoitDgle domaine de définition deg.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

Dg={x?R/2x-2?= 0}.

Posons2x-2 = 0.

2x-2 = 0?x-1 = 0

?x= 1 On en déduit donc queDg=]- ∞,1[?]1,+∞[. gest une fonction rationnelle, alors elle est dérivable sur son ensemble de définitionDg.

Et pour toutx?Dg=]- ∞,1[?]1,+∞[,

g ?(x) =(-3x2+ 2x-7)?(2x-2)-(2x-2)?(-3x2+ 2x-7) (2x-2)2 (-6x+ 2)(2x-2)-2(-3x2+ 2x-7) (2x-2)2 -12x2+ 12x+ 4x-4 + 6x2-4x+ 14 (2x-2)2 -6x2+ 12x+ 10 (2x-2)2

D"où,g?(x) =-6x2+ 12x+ 10

(2x-2)2

3.h:x?→3-2x+ 5⎷x+ 1

Posonsu(x) = 3-2xetv(x) = 5⎷

x+ 1 Étudions la dérivabilité de la fonctionv. La fonctionx?→x+ 1est continue et dérivable surRcomme étant une fonction polynôme.

Cherchons lesxpour lesquelsx+ 1>0.

Posonsx+ 1 = 0.

x+ 1 = 0?x=-1.

Faisons un tableau de signe.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions x x+ 1-∞-1+∞ 0+

Ainsi,pour toutx?]-1,+∞[,x+ 1>0

Par conséquent, la fonctionvest dérivable sur l"intervallex?]-1,+∞[. Par ailleurs, la fonctionuest dérivable surRen particulier sur]-1,+∞[ comme étant une fonction polynôme. On conclut donc que la fonctionhest dérivable sur l"intervalle]-1,+∞[ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Alors, pour toutx?]-1,+∞[,

h ?(x) = (3-2x)?+ (5⎷ x+ 1)? =-2 + 5×(x+ 1)?

2⎷x+ 1

=-2 + 5×1

2⎷x+ 1

=-2 +5

2⎷x+ 1

D"oùh?(x) =-2 +5

2⎷x+ 1

4.k:x?→-7x2+ 14x-122

On a:-7x2+ 14x-12

2=-72x2+ 7x-6.

La fonctionkest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surRet pour toutx?R,k?(x) =-7x+ 7.

D"oùk?(x) =-7x+ 7

Exercice4:

Soientu, v, wetzdes fonctions définies pour tout réelxstrictement positif, par : u(x) =-3x+ 4v(x) = 1 +⎷ x, c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions w(x) =x3-x2etz(x) =-2x

1.Déterminons la dérivée de chacune des fonctionsu, v, wetz.

•u(x) =-3x+ 4doncu?(x) =-3

•v(x) = 1 +⎷

xdoncv?(x) =12⎷x

•w(x) =x3-x2doncw?(x) = 3x2-2x

•z(x) =-2

x

On a:z(x) =-2×1

xalorsz?(x) =-2×-1x2=2x2

D"oùz?(x) =2

x2

2.Donnons l"expression des fonctionsf,geth.

•f= 3w+u

f(x) = 3(x3-x2)-3x+ 4

D"oùf(x) = 3x3-3x2-3x+ 4.

•g=u-1

2z+ 2v

g(x) =-3x+ 4-1 2? -2x? + 2(1 +⎷x) =-3x+ 4 +1 x+ 2 + 2⎷x =-3x+ 2⎷ x+1x+ 6

D"oùg(x) =-3x+ 2⎷

x+1x+ 6 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

•h=-u2w

h(x) =-(-3x+ 4)

2(x3-x2)

3x-4

2x3-2x2

D"oùh(x) =3x-4

2x3-2x2

Déterminons leurs fonctions dérivées.

•f(x) = 3x3-3x2-3x+ 4.

f ?(x) = 3×3x2-3×2x-3

D"oùf?(x) = 9x2-6x-3

•g(x) =-3x+ 2⎷

x+1x+ 6 g ?(x) =-3 + 2×1

2⎷x-1x2

D"oùg?(x) =-3 +1

⎷x-1x2

•h(x) =3x-4

2x3-2x2

h ?(x) =(3x-4)?(2x3-2x2)-(2x3-2x2)?(3x-4) (2x3-2x2)2

3(2x3-2x2)-(6x2-4x)(3x-4)

(2x3-2x2)2

6x3-6x2-(18x3-24x2-12x2+ 16x)

(2x3-2x2)2

6x3-6x2-18x3+ 36x2-16x

(2x3-2x2)2 -12x3+ 30x2-16x (2x3-2x2)2 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

D"oùh?(x) =-12x3+ 30x2-16x(2x3-2x2)2

3.Déterminons la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

•k:x?→⎷

3x-2 k ?(x) =(3x-2)?

2⎷3x-2

3

2⎷3x-2

D"oùk?(x) =3

2⎷3x-2

•l:x?→(3x-2)2

l ?(x) = 2×(3x-2)?(3x-2) = 2×3(3x-2) = 6(3x-2) = 18x-12

D"oùl?(x) = 18x-12

•m:x?→1

3x2-2 m ?(x) =-(3x2-2)? (3x2-2)2 -6x (3x2-2)2

D"oùm?(x) =-6x

(3x2-2)2

Exercice5:

On considère une fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = (5x-3)(-2x+ 7). c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

1.Donnons les fonctionsuetvtelles quef=uv.

fest le produit des fonctionsuetvdonc par identification on obtient: u(x) = 5x-3etv(x) =-2x+ 7

2.Calculer les fonctions dérivéesu?etv?.

u(x) = 5x-3doncu?(x) = 5 v(x) =-2x+ 7doncv?(x) =-2

3.Déduisons la fonction dérivée def.

f(x) =u(x)v(x)doncf?(x) =u?(x)v(x) +v?(x)u(x) Alorsf?(x) = 5(-2x+7)-2(5x-3) =-10x+35-10x+6 =-20x+41

D"oùf?(x) =-20x+ 41

4.Développons l"expression defpuis retrouvons le résultat précédent.

f(x) = (5x-3)(-2x+ 7) =-10x2+ 35x+ 6x-23 f(x) =-10x2+ 41x-23 L"expression développer defestf(x) =-10x2+ 41x-23et on a: f ?(x) =-10×2x+ 41 =-20x+ 41

D"oùf?(x) =-20x+ 41

Exercice6:

On considère une fonctionfdéfinie pour toutxnon nul par: f(x) =-x2+ 2 x.

1.Donnons les fonctionsuetvtelles quef=uv.

fest le quotient de la fonctionupar la fonctionvdonc par identifica- tion on obtient : u(x) =-x2+ 2etv(x) =x

2.Calculons les fonctions dérivéesu?etv?.

u(x) =-x2+ 2doncu?(x) =-2xet v(x) =xdoncv?(x) = 1 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

3.Déduisons la fonction dérivée def.

f(x) =u(x) v(x)doncf?(x) =u?(x)v(x)-v?(x)u(x)(v(x))2

Alorsf?(x) =-2x×x-1×(-x2+ 2)

x2=-2x2+x2-2x2

D"oùf?(x) =-x2-2

x2

Exercice7:

Déterminons la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous en précisant le domaine de définition et de dérivabilité.

1.f(x) = 5x2+ 2x-2

La fonctionfest une fonction polynôme donc elle est continue et dériv- able sur l"ensembleRet pour toutx?Ron a:f?(x) = 10x+ 2

2.g(x) =-52xLe dénominateur de la fonctiongs"annule pourx= 0et le numérateur

est définie surRdonc la fonctiongest définie sur l"ensembleR?. gest une fonction rationnelle, alors elle est continue et dérivable sur son domaine de définitionR?et pour toutx?R?on a: g ?(x) =-5

2×-1x2=52x2

D"oùg?(x) =5

2x2

3.h(x) = 7⎷2x

On a:h(x) = 7⎷

2x= 7⎷2×⎷x

La fonction racine carrée est définie sur l"intervalle [0,+∞[, mais n"est dérivable que sur l"intervalle]0,+∞[. Par conséquent, la fonctionhest dérivable sur l"intervalle]0,+∞[et pour toutx?]0,+∞[on a: h ?(x) = 7⎷

D"oùh?(x) =7

⎷2x. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

4.u(x) = 2x-7⎷x-1

La fonctionx?→⎷

x-1est définie sur l"intervalle[1,+∞[mais est uniquement dérivable sur l"intervalle]1,+∞[et la fonctionx?→2xest continue et dérivable surRen particulier sur l"intervalle]1,+∞[. On en déduit donc que la fonctionuest dérivable sur l"intervalle]1,+∞[ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Alors, pour toutx?]1,+∞[,

u ?(x) = 2-7×(x-1)?quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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