DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES
b) Déterminer une équation de la tangente à gauche à la courbe C au point A. Tracer également cette tangente. 4) La fonction est-elle dérivable en 1 ? Exercice
Limite continuité
dérivabilité
I Exercices
C'est un exercice d'entra?nement au calcul on ne demande pas de déterminer les ensembles sur lesquels les fonctions sont dérivables. 1. f(x)=4x3 ? 3x2 + x ?
Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis
Exercice 11 Démonstration de la formule de Leibniz. Montrer que si f et g sont deux fonctions N fois dérivables (o`u N ? N?)
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! l'étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.
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Quelques exercices danalyse corrigés
La fonction f? est le quotient de deux fonctions polynômes donc dérivables
Fonctions dérivables 1 Calculs
Exercice 4. Soit n ? 2 un entier fixé et f : R+ = [0+?[?? R la fonction définie par la formule suivante : f(x) = 1+xn. (1+x)n
exercices corrigés sur letude des fonctions
Exercices corrigés Fonctions. Exercices corrigés. Fonctions Soit f une fonction définie et dérivable sur ?{1} dont le tableau de variation est :.
fonctions exponentielles exercices corriges
2) Montrer que f est dérivable sur . Déterminer sa fonction dérivée. R f ?. 3) Dresser le tableau de variations de f et tracer sa courbe C. Exercice n°13.
GuesmiB DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES
1) Etudier la dérivabilité en 0 de x 6xx 2) Soit f la fonction numérique définie par f ()xx=?(1)1?x2 a) Déterminer l’ensemble de définition de f b) Etudier la dérivabilité de f en +1 et en –1 Exercice n°5 1) f est la fonction définie sur [0;+?[par f ()xx=+x a) Etudier la dérivabilité de f en 0
Dérivation - maths-francefr
La fonction k est une fonction polynôme alors elle est continue et dériv-able sur R Alors pour tout x ? R k?(x)=3×2x? ? 3 D’où k?(x)=6x? ? 3 Exercice 2 : Déterminons dans chacun des cas l’ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée
Limite continuité théorème des valeurs intermédiaires
dérivabilité théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : ( T)= T ?1+ T2??1+ T Déterminer les limites de si elle existent en 0 et en +? Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : ( T)= ( T? 1 T) Montrer que admet une limite en 0 et déterminer cette limite
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : f 1(x)=x2 cos 1 x; si x 6=0 ; f 1(0)=0; f 2(x)=sinxsin 1 x; si x 6=0 ; f 2(0)=0; f 3(x)= jxj p x2 2x+1 x 1; si x 6=1 ; f 3(1)=1: Indication H Correction H Vidéo [000698] Exercice 4 Soit n>2 un entier ?xé et f : R+ =[0;+¥[! R la fonction dé?nie par la formule suivante: f(x
DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES
Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0 3 3 f h f h h h ? = + + b) En déduire que f est dérivable en 0 et donner le nombre dérivé de f en 0 Exercice n° 4 1) Etudier la dérivabilité en 0 de x x x? 2) Soit f la fonction numérique définie par f x x x
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exercices Calculs de dérivées Exercice7 Dans chaque cas donner le domaine de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée de la fonction f 1) f(x) = x3 ?3x2 + x ?1 6 2) f(x) = 1 ?2x x ?2 3) f(x) = x ?6 + 9 x ?1 (factoriser f?) 4) f(x) = x2 + x ?2 x2 + x +1 (factoriser f?) 5) f(x) = x2 +2x ?3 2 6) f(x) = x +1 x +2!3
Quelle est la dérivabilité d’une fonction?
1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0
Comment calculer la dérivée d’une fonction?
d 1) Véri?er que d est solution du système : ? ??? ??? 0 6d 680 d3?9 600d +192 000 = 0 2) f est la fonction sur [0;80] par : f(x) = x3?9 600x +192 000 a) Déterminer la dérivée de la fonction f. En déduire le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0;80].
Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.
Comment calculer la courbe d’une fonction dérivable ?
La courbe d’une fonction dérivable est parfaitement lisse et bien arrondie et ne possède pas de tangente verticale. Par le calcul, on distingue trois cas de fonctions non dérivables en un point a ? I. Le taux d’accroissement de f entre a et a + h, admet une limite égale à ± ? lorsque h tend vers~ 0 à gauche ou à droite.
I Exercices
1 D´erivabilit´e
Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes au pointdemand´e1.f(x) =x2enx= 3 (Revenir `a la d´efinition du nombre d´eriv´e)
2.f(x) =⎷
xenx= 1.3.f(x) =⎷
xenx= 0.4.f(x) =|x|enx= 0.
5.f(x) =x⎷
xenx= 0.6.f(x) = (x-1)⎷
1-x2enx=-1.
7.f(x) = (x-1)⎷
1-x2enx= 1. (plus difficile)
AideR´eponses
2 Calculs de fonctions d´eriv´ees
Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes. C"est un exercice d"entraˆınement au calcul, on ne demande pas de d´eterminer les ensembles sur lesquels les fonctions sont d´erivables.1.f(x) = 4x3-3x2+x-7.
2.f(x) =4x-1
7x+ 2.
3.f(x) =x
x2-3.4.f(x) = 6⎷
x.5.f(x) = 4sinx+ cos(2x).
6.f(x) = cos(-2x+ 5).
7.f(x) = sinx2.
8.f(x) = sin2x. (Que l"on peut aussi noter (sinx)2)
9.f(x) = tanx.
10.f(x) = (2x-5)4. (D´eveloppement d´econseill´e)
11.f(x) =7
x2-9.12.f(x) =⎷
4x2-3.
13.f(x) =1
⎷x2+ 3.14.f(x) =?4x-1
x+ 2? 3 AideR´eponses
L.BILLOT 1DDL
de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation3 Sens de variation d"une fonction
Calculer la d´eriv´ee et dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes sur l"ensemble indiqu´e. (Les limites ne sont pas demand´ees).1.f(x) =2
3x3-12x2-6x+ 1 surR.
2.f(x) =x-5
x+ 2surR- {-2}.3.f(x) =5
x2-1surR- {-1;1}.Remarque :
Il y a davantage d"´etudes de fonctions dans le chapitre d´edi´e. AideR´eponses
4´Equation de tangente
Dans chacun des cas suivants, d´eterminer une ´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionfau point demand´e.1.f(x) = 2x2-5x+ 1 enx= 1.
2.f(x) =2x-3
x+ 2enx=-1.3.f(x) =⎷
2x-5 enx= 4.
4.f(x) = cos?
2x-π
6? enx=π3. AideR´eponses
5 Approximation affine
Cette partie, qui n"est pas la mieux connue par les ´el`eves entrant en terminale, serapourtant n´ecessaire cette ann´ee dans l"application de lam´ethode d"Euler, m´ethode com-
mune aux maths et `a la physique. D´eterminer l"approximation affine des fonctions suivantesau point demand´e.1.f(x) =1
x2+ 1en 2.2.f(x) = sinxen 0.
3.f(x) = tanxen 0.
4.f(x) =1
1 +xen 0.
5.f(x) =⎷
1 +xen 0
AideR´eponses
L.BILLOT 2DDL
de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivationII Aide
1 D´erivabilit´e
Les deux d´efinitions ci-dessous sont ´equivalentes :Premi`ere version :
Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleIeta?I, on dit que la fonctionfest d´erivable enasi la limite lorsquextend versadef(x)-f(a) x-aest finie.Dans ce cas on ´ecrit : lim
x→af(x)-f(a) x-a=f?(a), et ce nombre est appel´e nombre d´eriv´e de la fonctionfena.Deuxi`eme version :
Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleIeta?I, on dit que la fonctionfest d´erivable enasi la limite lorsquehtend vers 0 def(a+h)-f(a) hest finie.Dans ce cas on ´ecrit : lim
h→0f(a+h)-f(a) h=f?(a), et ce nombre est appel´e nombre d´eriv´e de la fonctionfena.Remarque :
Une ´etude de d´erivabilit´e revient donc `a un calcul de limite. Cette limite est toujours ind´etermin´ee au d´epart.Retour
2 Calcul : Formulaire de d´erivation
D´eriv´ees des fonctions usuelles
f(x)f?(x)fonction d´erivable sur k(constante)0R xn(avecn?N?)nxn-1R 1 x-1x2]- ∞;0[ou]0;+∞[ 1 xn(avecn?N?)-nxn+1]- ∞;0[ou]0;+∞[ ⎷x12⎷x]0;+∞[
cosx-sinxR sinxcosxROp´erations sur les d´eriv´ees
uetvsont des fonctions d´erivables (u+v)?=u?+v? (ku)?=ku?(aveck?R) (uv)?=u?v+uv? (un)?=n×u?×un-1avecn?N? ?1 u? =-u?u2avecune s"annulant pas. u v? ?=u?v-uv?v2avecvne s"annulant pas. u)?=u?2⎷uavecustrictement positive. (u◦v) = (u?◦v)×v?.Retour
L.BILLOT 3DDL
de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation3 Sens de variation d"une fonction
Une fonction d´erivable sur un intervalleIest : croissante surIsi et seulement si sa d´eriv´ee est positive surI. d´ecroissante surIsi et seulement si sa d´eriv´ee est n´egative surI. Pour revoir les m´ethodes permettant d"´etudier le signe duexpression on peut se reporter au chapitre : "´Equations, ´etudes de signes et in´equations".Retour
4´Equation de tangente
Pour d´eterminer une ´equation de tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionf au point d"abscissea:Premi`ere m´ethode :
Je sais quef(a) me donne l"ordonn´ee du point et quef?(a) me donne le coefficient directeur de la tangente. Avec ces deux informations je trouve l"´equation de la tangente.Deuxi`eme m´ethode :
Je connais la formule de l"´equation de la tangente :y=f?(a)(x-a) +f(a). Il est fortement conseill´e, notamment `a ceux qui comptentfaire des maths apr`es le bac, de connaˆıtre cette formule.Retour
5 Approximation affine
L"id´ee :
Si une fonctionfest d´erivable enaalors, au voisinage dea, je peux approcherf par une fonction affine. Soitfune fonction d´erivable ena, alors sixest proche dea, on a :f(x)≈f?(a)(x-a) +f(a).Ce qui peut aussi s"´ecrire :
f(x) =f(a) +f?(x)(x-a) + (x-a)ε(x), avec limx→aε(x) = 0.Graphiquement : af(a)Retour
L.BILLOT 4DDL
de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivationIII Correction
1 D´erivabilit´e
1. Pour la premi`ere question, j"utilise les deux versions.Dans la suite j"alterne pour
vous permettre de vous habituer. lim x→3f(x)-f(3) x-3= limx→3x2-32x-3
= lim x→3(x-3)(x+ 3) x-3= limx→3x+ 3 = 6Ou bien :
lim h→0f(3 +h)-f(3) h= limh→0(3 +h)2-32h = lim h→09 + 6h+h2-9 h= limh→06 +h= 6 Donc la fonction est d´erivable en 3 etf?(3) = 6.2. lim
x→1f(x)-f(1) x-1= limx→1⎷ x-1 x-1 = lim x→0⎷x-1 (⎷x+ 1)(⎷x-1) = lim x→01 ⎷x+ 1 =1 2 Donc la fonctionfest d´erivable en 1, etf?(1) =1 2.3. Le domaine de d´efinition est [0,+∞[, donc je calcule la limite en 0 par valeurs
sup´erieures. lim h >→0f(0 +h)-f(0) h= lim h >→0⎷ h h = lim h >→01 ⎷h(ici,hest positif)Donc la fonctionfn"est pas d´erivable en 0.
4. Je s´epare les limites par valeurs sup´erieures et inf´erieures, six >0, alors|x|=xet
six <0, alors|x|=-x. lim x <→0f(x)-f(0) x-0= lim x <→0|x|x = lim x <→0-x x =-1L.BILLOT 5DDL
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