Majorer minorer
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/majo.pdf
Minoration et majoration dune suite
Pour prouver qu'une suite est minorée ou majorée il faut donc : • trouver un bon candidat pour un majorant ou minorant (en général fourni par l'énoncé
Majorant minorant
minimum.
Limites de suites
12 mars 2017 de la limite. • Une suite croissante et majorée par un réel M converge vers un réel ? ? M. • Une suite décroissante et minorée par un.
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Ainsi (un) est croissante majorée par v0
Borne Inférieure borne supérieure
? A m ? a). • On dit que A est majorée (resp. minorée) dans R si A admet au moins un majorant (resp. au moins
Borne supérieure et borne inférieure
Toute partie non vide et majorée de Ê admet une borne supé- rieure. suite convergente qui fait passer d'une propriété vraie à partir.
Corrigé du TD no 9
Alors la suite (yn) tend vers +? et sin(yn)=0 pour tout n
Nombres réels
raisons qui seront énoncées dans la suite de ce chapitre. sup et inf aux ensembles non majorés et non minorés par la convention suivante.
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4 juin 2020 loyers de référence majorés et les loyers de référence minorés applicables sur le territoire de la ville de Paris ...
1 Suites majorées minorées bornées - LeWebPédagogique
La suite (un) est minorée s'il existe un réel m supérieur à tous les termes de la suite ? n ? ? u n ? m m est un minorant de la suite La suite ( u n ) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée
Majorer minorer encadrer - unicefr
on majore f ; on minore g et on divise le majorant de f par le minorant de g Exemple Pour majorer 7+x 5+cosx avec x ? [25] je majore 7+x par 12 et je minore 5+cosx par 4 et je conclus que le quotient est major´e par 3 Exo 10 Majorer 3+2sinx 4?2cosx avec x ? [24]
Suites Numériques SN4 Suites majorée minorée théorème de
La suite (un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée Exemples : soit (un) définie par un=sin(n); c'est une suite minorée par -1 et majorée par 1 ; elle est donc bornée soit (u n) définie par u =n 2; c'est une suite minorée par 0 mais non majorée soit (un) définie par un= 1 n; elle est bornée car 0? 1 n ?1
Quelle est la différence entre une suite majorée et une suite minorée?
4Ceci serait facilement démontré par récurrence, dans un résultat préliminaire. 19 7 Suites majorées, minorées, bornées 7.1 Suites majorées Définition : La suite (??)est majorées’il existe un réel ?, tel que pour tout J, Q???. 7.2 Suites minorées Définition : La suite (??)est minorées’il existe un réel I, tel que pour tout J, Q??I.
Comment pouvez-vous savoir si une suite est minorée ou majorée?
On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u n ? M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u n ? m.
Comment savoir si la suite u est minorée ?
On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u n ? m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée. On va démontrer la conjecture, à savoir que pour tout entier naturel n, u n ? 3.
Quelle est la différence entre une suite minorée et une suite convergente ?
Une suite est dite majorée s'il existe un réel , et que pour tout entier naturel : . est alors un majorant de la suite. Une suite est dite minorée s'il existe un réel , et que pour tout entier naturel : . est alors un majorant de la suite. Une suite est dite bornée si elle est minorée et majorée. Toute suite convergente est bornée.
Borne supérieure et borne inférieure
IAxiome de la borne supérieure
1.SoitA, une partie de
?. On noteM(A), l"ensemble des majorants deA:M?M(A)?? ?x?A,x?M
etm(A), l"ensemble des minorants deA: m?m(A)?? ?x?A,m?x.1.1✍Une partie A de
?admet uneborne supérieurelorsque l"en- sembleM(A)de ses majorants admet un plus petit élément. Dans ce cas,minM(A)est notésup(A).1.2✍Une partie A de
?admet uneborne inférieurelorsque l"en- semblem(A)de ses minorants admet un plus grand élément. Dans ce cas,maxm(A)est notéinf(A).2. Borne supérieure et maximum
2.1➙Si la partie A admet un plus grand élément, alors elle admet
aussi une borne supérieure et de plussup(A) =max(A).2.2➙Si A admet une borne supérieure et si cette borne appartient à
A, alors c"est le plus grand élément de A, soit :sup(A) =max(A).3. Axiome de la borne supérieure
Les deux énoncés suivants sont équivalents.3.1➙Toute partie non vide et majorée de
?admet une borne supé- rieure.3.2➙Toute partie non vide et minorée de
?admet une borne infé- rieure.4. Questions pour réfléchir
1. DécrireM(∅)etm(∅).
2. Condition pour queM(A)(resp.m(A)) soit une partie
non vide de3. Conditions pour qu"une partie admette un plus grand
élément?
4. Exemple de partieA?
?admettant une borne supé- rieure mais pas de plus grand élément?5. SoientA, une partie de
?admettant une borne supé- rieureMetε>0.5.aIl existexε?Atel queM-ε 5.bExiste-t-ilyε?Atel queM-ε 6. Soientfetg, deux fonctions bornées de
?dans?. 6.a sup x? ?f(x) +g(x)??sup x? ?f(x) +sup x? ?g(x) 6.bMême si les deux fonctionsfetgatteignent un maxi-
mum, leur sommef+gn"atteint pas nécessairement un maxi- mum. 7. Condition surA?
?pour que inf(A) =sup(A). II Borne supérieure et inégalités
5. Majoration par lesup
5.1➙La borne supérieure de A est un majorant de A :
?x?A,x?sup(A). 5.2SoitA?
?, non vide et majorée. S"il existe une suite d"éléments deAqui converge vers?, alors??sup(A).5.3➙Pour toute partie bornée et non vide A?
inf(A)?sup(A). 6. Passage ausup
Connaissant une majoration par une quantité indépendante d"un paramètrex, on peutpasser ausup sur ce paramètre. Cette opération est analogue aupassage à la limitepour une suite convergente, qui fait passer d"une propriété vraie à partir d"un certain rang à une propriété de la limite.→[5.2] 6.1➙Si A est une partie non vide et majorée par M :
?x?A,x?M alors : sup(A)?M. 6.2➙Si f:A→
?est une fonction majorée par M : ?x?A,f(x)?M alors sup x?Af(x)?M. 7. Passage à l"inf
7.1➙Si A est une partie non vide et minorée par m :
?x?A,x?m alors on peutpasser à l"infdans cette inégalité : inf(A)?m. 7.2➙Si f:X→
?est une fonction minorée par m : ?x?X,f(x)?m alors on peut passer à l"infdans cette inégalité : inf x?Xf(x)?m. 8. Caractérisation séquentielle
SoitA, une partie non vide et bornée de
8.1Il existe une suite d"éléments deAqui converge vers
sup(A)et une suite d"éléments deAqui converge vers inf(A). 8.2➙Un majorant M de A est égal àsup(A)si, et seulement si, il
existe une suite d"éléments de A qui converge vers M. 9.➙Soient A et B, deux parties de
?qui admettent chacune une borne supérieure et une borne inférieure. Si A?B, alors
inf(B)?inf(A)etsup(A)?sup(B). II.1 Convergence des suites monotones
10.1➙Soit(un)n?
?, une suite réelle croissante. Si elle est majorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=sup n? ?un. Dans le cas contraire, elle diverge vers+∞.
10.2➙Soit(un)n?
?, une suite réelle décroissante. Si elle est minorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=infn? ?un. Dans le cas contraire, elle diverge vers-∞.
2Borne supérieure et borne inférieure
11. Suites adjacentes
11.1✍Deux suites réelles sontadjacenteslorsque l"une est crois-
sante, l"autre est décroissante et que leur différence tendvers0. 11.2➙Deux suites adjacentes convergent vers une même limite.
12.➙Limites des fonctions monotones
Une fonction monotone f:]a,b[→
?admet une limite à gauche finie et une limite à droite finie en chaque point x 0de l"intervalle]a,b[.
Elle admet aussi une limite à droite, finie ou infinie, au voisinage de a et une limite à gauche, finie ou infinie, au voisinage de b. II.2 Fonctions bornées
13.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lesbornesde f sont définies par : inf Xf=inf?f?(X)?etsup
Xf=sup?f?(X))?
où f ?(X)est l"image de X par f. 14.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lanorme uni- formede f est définie par : ?f?∞=sup x?X?? f(x)??. 15.➙Si f:X→
?est une fonction bornée, alors ?x?X,-?f?∞?f(x)??f?∞. Entraînement
16. Questions pour réfléchir
1. On suppose que
?x?A,xégalités strictes? 2. Siui?vjpour touti?Iet toutj?J, alors
inf i?Iui?sup i?Iu i?infj?Jvj?sup j?Jv j. Illustrer ce résultat par une figure.
3. Siui?vipour touti?I, alors
inf i?Iui?infi?Iviet sup i?Iu i?sup i?Iv i. Comparer sup
i?Iuiet infi?Ivi(à l"aide d"une figure). 4. Une suite réelle monotone est convergente si, et seule-
ment si, elle est bornée. 5. Condition pour qu"une suite décroissante soit conver-
gente? Quelle est alors sa limite? 6. Une suite positive qui n"est pas bornée tend-elle néces-
sairement vers+∞? 7. Que dire de deux suites(un)n?
?et(vn)n? ?dont la dif- férence(un-vn)n? ?est une suite de limite nulle? 8. On considère une fonctionf:]0,+∞[→
?, monotone. Condition pour quef(0+)soit finie? Cas de la limite en+∞? 17.Soit(un)n?
?, une suite réelle bornée. 17.1La suite de terme général
M n=sup p?n|up| est une suite positive décroissante. 17.2La suite(un)n?
?tend vers 0 si, et seulement si, la suite (Mn)n? ?tend vers 0.18.SoitA, une partie non vide de ?. On pose ?x? ?,?(x) =infa?A|x-a|. Alors ?(a,x,y)?A× ?×?,?(x)?|x-y|+|y-a| et l"application?est 1-lipschitzienne. III Interversion des bornes
19. Conventions
On fait ici appel aux conventions usuelles
19.1SiA?
?n"est pas majorée, alors sup(A) = +∞. 19.2SiA?
?n"est pas minorée, alors inf(A) =-∞. 19.3Avec ces conventions, toute suite croissante tend vers sa
borne supérieure et toute suite décroissante tend vers sa borne inférieure.→[10] 20.Les sommes
n=11 nx+∞∑ n=1x nn tendent vers+∞lorsquextend vers 1. 21.La fonctionGdéfinie par
?x>0,G(x) =+∞∑ n=11 n+n2x tend vers+∞au voisinage de 0. 22. Théorème de Fubini positif
1. Si∑xnest une série dont le terme général est positif,
alors la somme infinie ∑+∞n=0xna un sens, que la série soit conver- gente ou divergente : n=0x n=limN→+∞N∑ n=0x n=sup N? N∑
n=0x n? 2. Soit(un,p)(n,p)?
?2, une famille de réels positifs. Alors n=0? p=0u n,p? p=0? n=0u n,p? que la famille(un,p)(n,p)? ?2soit sommable ou non. 23.Les expressions suivantes tendent vers+∞quandxtend
vers 0. π/2
0cost x+tdt? 0e -tx+tdt? 0e -xt⎷1+tdt 24.1
lim x→0? 0e -xt 1+t2dt=π2
24.2
lim x→0? 0dt x+et=1 24.3
lim x→0? 1 0e -xt 1+tdt=?n2
III Interversion des bornes
24.4Cas général
On suppose que
- quel que soitt?I, la fonction[x?→f(t,x)]est croissante et positive sur ]a,b[; - quel que soitx?]a,b[, la fonction[t?→f(t,x)]est intégrable surI - et que les fonctions [t?→f(t,a+)]et[t?→f(t,b-)]sont conti- nues par morceaux surI. Alors la fonction
F=? x?→? b af(t,x)dt? est croissante et admet une limite finie ena(resp. enb) si, et seulement si, la fonction [t?→f(t,a+)](resp.[t?→f(t,b-)]) est intégrable sur ]a,b[. Dans ce cas,
F(a+) =?
b af(t,a+)dtetF(b-) =? b af(t,b-)dt. 25.Soit(ui,j)(i,j)?I×J, une famille réelle.
25.1Pour touti?I,
inf j?Jui,j?infj?Jsup k?Iu k,j. 25.2*Pour toute famille réelle(ui,j)(i,j)?I×J, bornée ou non,
sup i?Iinfj?Jui,j?infj?Jsup i?Iu i,j. 25.3On pose
M=sup (i,j)?I×Ju i,j. SiM?est un réel tel queM?25.4*Pour toute famille réelle(ui,j)(i,j)?I×J, majorée ou non,
sup i?Isup j?Ju i,j=sup j?Jsup i?Iu i,jetinfi?Iinfj?Jui,j=infj?Jinfi?Iui,j. Pour aller plus loin
26. Questions pour réfléchir
1. SiA?
?n"est pas majorée (resp. pas minorée), on pose sup(A) = +∞(resp. inf(A) =-∞). Discuter la légitimité de cette convention. 2. Comment définir inf(∅)et sup(∅)?
3.Suite de[8.1] - Il existe une suite d"éléments deAcqui
converge vers sup(A). 4. L"opération de passage au sup est-elle une majoration ou
une minoration? 5. On suppose queAadmetMpour borne supérieure.
5.aSi(un)n?
?est une suite d"éléments deAqui converge versM, alors on peut extraire une suite croissante(u?(n))n? qui converge versM. Il existe donc une suite croissante d"élé- ments deAqui converge versM. 5.bExiste-t-il une suite strictement croissante d"éléments de
Aqui converge versM?
6. L"ensemble{x?
?:x2?2}est une partie non vide et majorée de ?. Elle admet une borne supérieure en tant que partie de ?, mais pas en tant que partie de?. 7.Suite de[25.2] - Étudier le cas d"égalité.→[4.98]
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
5.bExiste-t-ilyε?Atel queM-ε 6. Soientfetg, deux fonctions bornées de
?dans?. 6.a sup x? ?f(x) +g(x)??sup x? ?f(x) +sup x? ?g(x) 6.bMême si les deux fonctionsfetgatteignent un maxi-
mum, leur sommef+gn"atteint pas nécessairement un maxi- mum. 7. Condition surA?
?pour que inf(A) =sup(A). II Borne supérieure et inégalités
5. Majoration par lesup
5.1➙La borne supérieure de A est un majorant de A :
?x?A,x?sup(A). 5.2SoitA?
?, non vide et majorée. S"il existe une suite d"éléments deAqui converge vers?, alors??sup(A).5.3➙Pour toute partie bornée et non vide A?
inf(A)?sup(A). 6. Passage ausup
Connaissant une majoration par une quantité indépendante d"un paramètrex, on peutpasser ausup sur ce paramètre. Cette opération est analogue aupassage à la limitepour une suite convergente, qui fait passer d"une propriété vraie à partir d"un certain rang à une propriété de la limite.→[5.2] 6.1➙Si A est une partie non vide et majorée par M :
?x?A,x?M alors : sup(A)?M. 6.2➙Si f:A→
?est une fonction majorée par M : ?x?A,f(x)?M alors sup x?Af(x)?M. 7. Passage à l"inf
7.1➙Si A est une partie non vide et minorée par m :
?x?A,x?m alors on peutpasser à l"infdans cette inégalité : inf(A)?m. 7.2➙Si f:X→
?est une fonction minorée par m : ?x?X,f(x)?m alors on peut passer à l"infdans cette inégalité : inf x?Xf(x)?m. 8. Caractérisation séquentielle
SoitA, une partie non vide et bornée de
8.1Il existe une suite d"éléments deAqui converge vers
sup(A)et une suite d"éléments deAqui converge vers inf(A). 8.2➙Un majorant M de A est égal àsup(A)si, et seulement si, il
existe une suite d"éléments de A qui converge vers M. 9.➙Soient A et B, deux parties de
?qui admettent chacune une borne supérieure et une borne inférieure. Si A?B, alors
inf(B)?inf(A)etsup(A)?sup(B). II.1 Convergence des suites monotones
10.1➙Soit(un)n?
?, une suite réelle croissante. Si elle est majorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=sup n? ?un. Dans le cas contraire, elle diverge vers+∞.
10.2➙Soit(un)n?
?, une suite réelle décroissante. Si elle est minorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=infn? ?un. Dans le cas contraire, elle diverge vers-∞.
2Borne supérieure et borne inférieure
11. Suites adjacentes
11.1✍Deux suites réelles sontadjacenteslorsque l"une est crois-
sante, l"autre est décroissante et que leur différence tendvers0. 11.2➙Deux suites adjacentes convergent vers une même limite.
12.➙Limites des fonctions monotones
Une fonction monotone f:]a,b[→
?admet une limite à gauche finie et une limite à droite finie en chaque point x 0de l"intervalle]a,b[.
Elle admet aussi une limite à droite, finie ou infinie, au voisinage de a et une limite à gauche, finie ou infinie, au voisinage de b. II.2 Fonctions bornées
13.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lesbornesde f sont définies par : inf Xf=inf?f?(X)?etsup
Xf=sup?f?(X))?
où f ?(X)est l"image de X par f. 14.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lanorme uni- formede f est définie par : ?f?∞=sup x?X?? f(x)??. 15.➙Si f:X→
?est une fonction bornée, alors ?x?X,-?f?∞?f(x)??f?∞. Entraînement
16. Questions pour réfléchir
1. On suppose que
?x?A,xégalités strictes? 2. Siui?vjpour touti?Iet toutj?J, alors
inf i?Iui?sup i?Iu i?infj?Jvj?sup j?Jv j. Illustrer ce résultat par une figure.
3. Siui?vipour touti?I, alors
inf i?Iui?infi?Iviet sup i?Iu i?sup i?Iv i. Comparer sup
i?Iuiet infi?Ivi(à l"aide d"une figure). 4. Une suite réelle monotone est convergente si, et seule-
ment si, elle est bornée. 5. Condition pour qu"une suite décroissante soit conver-
gente? Quelle est alors sa limite? 6. Une suite positive qui n"est pas bornée tend-elle néces-
sairement vers+∞? 7. Que dire de deux suites(un)n?
?et(vn)n? ?dont la dif- férence(un-vn)n? ?est une suite de limite nulle? 8. On considère une fonctionf:]0,+∞[→
?, monotone. Condition pour quef(0+)soit finie? Cas de la limite en+∞? 17.Soit(un)n?
?, une suite réelle bornée. 17.1La suite de terme général
M n=sup p?n|up| est une suite positive décroissante. 17.2La suite(un)n?
?tend vers 0 si, et seulement si, la suite (Mn)n? ?tend vers 0.18.SoitA, une partie non vide de ?. On pose ?x? ?,?(x) =infa?A|x-a|. Alors ?(a,x,y)?A× ?×?,?(x)?|x-y|+|y-a| et l"application?est 1-lipschitzienne. III Interversion des bornes
19. Conventions
On fait ici appel aux conventions usuelles
19.1SiA?
?n"est pas majorée, alors sup(A) = +∞. 19.2SiA?
?n"est pas minorée, alors inf(A) =-∞. 19.3Avec ces conventions, toute suite croissante tend vers sa
borne supérieure et toute suite décroissante tend vers sa borne inférieure.→[10] 20.Les sommes
n=11 nx+∞∑ n=1x nn tendent vers+∞lorsquextend vers 1. 21.La fonctionGdéfinie par
?x>0,G(x) =+∞∑ n=11 n+n2x tend vers+∞au voisinage de 0. 22. Théorème de Fubini positif
1. Si∑xnest une série dont le terme général est positif,
alors la somme infinie ∑+∞n=0xna un sens, que la série soit conver- gente ou divergente : n=0x n=limN→+∞N∑ n=0x n=sup N? N∑
n=0x n? 2. Soit(un,p)(n,p)?
?2, une famille de réels positifs. Alors n=0? p=0u n,p? p=0? n=0u n,p? que la famille(un,p)(n,p)? ?2soit sommable ou non. 23.Les expressions suivantes tendent vers+∞quandxtend
vers 0. π/2
0cost x+tdt? 0e -tx+tdt? 0e -xt⎷1+tdt 24.1
lim x→0? 0e -xt 1+t2dt=π2
24.2
lim x→0? 0dt x+et=1 24.3
lim x→0? 1 0e -xt 1+tdt=?n2
III Interversion des bornes
24.4Cas général
On suppose que
- quel que soitt?I, la fonction[x?→f(t,x)]est croissante et positive sur ]a,b[; - quel que soitx?]a,b[, la fonction[t?→f(t,x)]est intégrable surI - et que les fonctions [t?→f(t,a+)]et[t?→f(t,b-)]sont conti- nues par morceaux surI. Alors la fonction
F=? x?→? b af(t,x)dt? est croissante et admet une limite finie ena(resp. enb) si, et seulement si, la fonction [t?→f(t,a+)](resp.[t?→f(t,b-)]) est intégrable sur ]a,b[. Dans ce cas,
F(a+) =?
b af(t,a+)dtetF(b-) =? b af(t,b-)dt. 25.Soit(ui,j)(i,j)?I×J, une famille réelle.
25.1Pour touti?I,
inf j?Jui,j?infj?Jsup k?Iu k,j. 25.2*Pour toute famille réelle(ui,j)(i,j)?I×J, bornée ou non,
sup i?Iinfj?Jui,j?infj?Jsup i?Iu i,j. 25.3On pose
M=sup (i,j)?I×Ju i,j. SiM?est un réel tel queM?25.4*Pour toute famille réelle(ui,j)(i,j)?I×J, majorée ou non,
sup i?Isup j?Ju i,j=sup j?Jsup i?Iu i,jetinfi?Iinfj?Jui,j=infj?Jinfi?Iui,j. 6. Soientfetg, deux fonctions bornées de
?dans?. 6.a sup x? ?f(x) +g(x)??sup x? ?f(x) +sup x? ?g(x)6.bMême si les deux fonctionsfetgatteignent un maxi-
mum, leur sommef+gn"atteint pas nécessairement un maxi- mum.7. Condition surA?
?pour que inf(A) =sup(A). IIBorne supérieure et inégalités
5. Majoration par lesup
5.1➙La borne supérieure de A est un majorant de A :
?x?A,x?sup(A).5.2SoitA?
?, non vide et majorée. S"il existe une suited"éléments deAqui converge vers?, alors??sup(A).5.3➙Pour toute partie bornée et non vide A?
inf(A)?sup(A).6. Passage ausup
Connaissant une majoration par une quantité indépendante d"un paramètrex, on peutpasser ausup sur ce paramètre. Cette opération est analogue aupassage à la limitepour une suite convergente, qui fait passer d"une propriété vraie à partir d"un certain rang à une propriété de la limite.→[5.2]6.1➙Si A est une partie non vide et majorée par M :
?x?A,x?M alors : sup(A)?M.6.2➙Si f:A→
?est une fonction majorée par M : ?x?A,f(x)?M alors sup x?Af(x)?M.7. Passage à l"inf
7.1➙Si A est une partie non vide et minorée par m :
?x?A,x?m alors on peutpasser à l"infdans cette inégalité : inf(A)?m.7.2➙Si f:X→
?est une fonction minorée par m : ?x?X,f(x)?m alors on peut passer à l"infdans cette inégalité : inf x?Xf(x)?m.8. Caractérisation séquentielle
SoitA, une partie non vide et bornée de
8.1Il existe une suite d"éléments deAqui converge vers
sup(A)et une suite d"éléments deAqui converge vers inf(A).8.2➙Un majorant M de A est égal àsup(A)si, et seulement si, il
existe une suite d"éléments de A qui converge vers M.9.➙Soient A et B, deux parties de
?qui admettent chacune une borne supérieure et une borne inférieure.Si A?B, alors
inf(B)?inf(A)etsup(A)?sup(B).II.1 Convergence des suites monotones
10.1➙Soit(un)n?
?, une suite réelle croissante.Si elle est majorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=sup n? ?un.Dans le cas contraire, elle diverge vers+∞.
10.2➙Soit(un)n?
?, une suite réelle décroissante.Si elle est minorée, alors elle converge et
lim n→+∞un=infn? ?un.Dans le cas contraire, elle diverge vers-∞.
2Borne supérieure et borne inférieure
11. Suites adjacentes
11.1✍Deux suites réelles sontadjacenteslorsque l"une est crois-
sante, l"autre est décroissante et que leur différence tendvers0.11.2➙Deux suites adjacentes convergent vers une même limite.
12.➙Limites des fonctions monotones
Une fonction monotone f:]a,b[→
?admet une limite à gauche finie et une limite à droite finie en chaque point x0de l"intervalle]a,b[.
Elle admet aussi une limite à droite, finie ou infinie, au voisinage de a et une limite à gauche, finie ou infinie, au voisinage de b.II.2 Fonctions bornées
13.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lesbornesde f sont définies par : infXf=inf?f?(X)?etsup
Xf=sup?f?(X))?
où f ?(X)est l"image de X par f.14.✍Si f:X→
?est une fonction bornée, alors lanorme uni- formede f est définie par : ?f?∞=sup x?X?? f(x)??.15.➙Si f:X→
?est une fonction bornée, alors ?x?X,-?f?∞?f(x)??f?∞.Entraînement
16. Questions pour réfléchir
1. On suppose que
?x?A,x2. Siui?vjpour touti?Iet toutj?J, alors
inf i?Iui?sup i?Iu i?infj?Jvj?sup j?Jv j.Illustrer ce résultat par une figure.
3. Siui?vipour touti?I, alors
inf i?Iui?infi?Iviet sup i?Iu i?sup i?Iv i.Comparer sup
i?Iuiet infi?Ivi(à l"aide d"une figure).4. Une suite réelle monotone est convergente si, et seule-
ment si, elle est bornée.5. Condition pour qu"une suite décroissante soit conver-
gente? Quelle est alors sa limite?6. Une suite positive qui n"est pas bornée tend-elle néces-
sairement vers+∞?7. Que dire de deux suites(un)n?
?et(vn)n? ?dont la dif- férence(un-vn)n? ?est une suite de limite nulle?8. On considère une fonctionf:]0,+∞[→
?, monotone. Condition pour quef(0+)soit finie? Cas de la limite en+∞?17.Soit(un)n?
?, une suite réelle bornée.17.1La suite de terme général
M n=sup p?n|up| est une suite positive décroissante.17.2La suite(un)n?
?tend vers 0 si, et seulement si, la suite (Mn)n? ?tend vers 0.18.SoitA, une partie non vide de ?. On pose ?x? ?,?(x) =infa?A|x-a|. Alors ?(a,x,y)?A× ?×?,?(x)?|x-y|+|y-a| et l"application?est 1-lipschitzienne. IIIInterversion des bornes
19. Conventions
On fait ici appel aux conventions usuelles
19.1SiA?
?n"est pas majorée, alors sup(A) = +∞.19.2SiA?
?n"est pas minorée, alors inf(A) =-∞.19.3Avec ces conventions, toute suite croissante tend vers sa
borne supérieure et toute suite décroissante tend vers sa borne inférieure.→[10]20.Les sommes
n=11 nx+∞∑ n=1x nn tendent vers+∞lorsquextend vers 1.21.La fonctionGdéfinie par
?x>0,G(x) =+∞∑ n=11 n+n2x tend vers+∞au voisinage de 0.22. Théorème de Fubini positif
1. Si∑xnest une série dont le terme général est positif,
alors la somme infinie ∑+∞n=0xna un sens, que la série soit conver- gente ou divergente : n=0x n=limN→+∞N∑ n=0x n=sup N?N∑
n=0x n?2. Soit(un,p)(n,p)?
?2, une famille de réels positifs. Alors n=0? p=0u n,p? p=0? n=0u n,p? que la famille(un,p)(n,p)? ?2soit sommable ou non.23.Les expressions suivantes tendent vers+∞quandxtend
vers 0.π/2
0cost x+tdt? 0e -tx+tdt? 0e -xt⎷1+tdt 24.1lim x→0? 0e -xt
1+t2dt=π2
24.2lim x→0? 0dt x+et=1 24.3
lim x→0? 1 0e -xt
1+tdt=?n2
III Interversion des bornes
24.4Cas général
On suppose que
- quel que soitt?I, la fonction[x?→f(t,x)]est croissante et positive sur ]a,b[; - quel que soitx?]a,b[, la fonction[t?→f(t,x)]est intégrable surI - et que les fonctions [t?→f(t,a+)]et[t?→f(t,b-)]sont conti- nues par morceaux surI.Alors la fonction
F=? x?→? b af(t,x)dt? est croissante et admet une limite finie ena(resp. enb) si, et seulement si, la fonction [t?→f(t,a+)](resp.[t?→f(t,b-)]) est intégrable sur ]a,b[.Dans ce cas,
F(a+) =?
b af(t,a+)dtetF(b-) =? b af(t,b-)dt.25.Soit(ui,j)(i,j)?I×J, une famille réelle.
25.1Pour touti?I,
inf j?Jui,j?infj?Jsup k?Iu k,j.25.2*Pour toute famille réelle(ui,j)(i,j)?I×J, bornée ou non,
sup i?Iinfj?Jui,j?infj?Jsup i?Iu i,j.25.3On pose
M=sup (i,j)?I×Ju i,j. SiM?est un réel tel queM?Pour aller plus loin
26. Questions pour réfléchir
1. SiA?
?n"est pas majorée (resp. pas minorée), on pose sup(A) = +∞(resp. inf(A) =-∞). Discuter la légitimité de cette convention.2. Comment définir inf(∅)et sup(∅)?
3.Suite de[8.1] - Il existe une suite d"éléments deAcqui
converge vers sup(A).4. L"opération de passage au sup est-elle une majoration ou
une minoration?5. On suppose queAadmetMpour borne supérieure.
5.aSi(un)n?
?est une suite d"éléments deAqui converge versM, alors on peut extraire une suite croissante(u?(n))n? qui converge versM. Il existe donc une suite croissante d"élé- ments deAqui converge versM.5.bExiste-t-il une suite strictement croissante d"éléments de
Aqui converge versM?
6. L"ensemble{x?
?:x2?2}est une partie non vide et majorée de ?. Elle admet une borne supérieure en tant que partie de ?, mais pas en tant que partie de?.7.Suite de[25.2] - Étudier le cas d"égalité.→[4.98]
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