CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?08
25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn.
Mamouni My Ismail
½ º ½Problème:extraitcnc2007PSI . ½ º ¾Problème II : Fonction ? et ? deRiemann. ... On considère un endomorphisme nilpotent u de E
Mathématiques 2 PSI
2 avr. 2019 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
PSI MATHÉMATIQUES DS1bis
3 oct. 2020 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
SOUS-ALGÈBRES NILPOTENTES DE (E))
Le but de ce problème est d'établir quelques propriétés des sous-algèbres I.1 Soit T un endomorphisme nilpotent non nul de E r le plus petit entier ...
Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011
Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme si l'endomorphisme f
CORRIGÉ DM N°7 : COMMUTANT DUN ENDOMORPHISME. E3A
Ainsi ou bien w = 0
Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes
2 avr. 2014 4.3.2 Décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents . ... Introduction : Lorsque nous sommes face à un problème d'algèbre ...
DM N°7 – COMMUTANT DUN ENDOMORPHISME( pour le 10/12
Dans tout le problème E désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le On dit qu'un endomorphisme u ? (E) est nilpotent si et seulement si il ...
Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension finie non nulle n. On appelle p l'indice de nilpotence de u c'est-à-dire le plus petit entier
23 Nilpotent endomorphisms - University of California Berkeley
For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest
CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08
† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents
Problème - Endomorphismes nilpotents
1 a Justifier que si f est nilpotent et que f et g commutent alors f g est nilpotent 1 b Justifier que si f g est nilpotent alors g f est nilpotent 1 c On suppose que f est nilpotent Montrer que l’endomorphisme Id ?f est inversible 2 Soit f un endomorphisme nilpotent de E
CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08
D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn
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Lemme 1 Soit u ? End (E) un endomorphisme nilpotent d'indice de nilpotence ? = ?(u) Soit v ? E un vecteur tel que u??1(v) 6= 0 Alors le système (vu(v) u??1(v)) est libre Corollaire 1 On a donc toujours ?(u) ? dim(E) et donc udim(E) = 0 ourp tout endomorphisme nilpotent u de E
Exercice 649
Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...
Exercice 115
Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...
Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?
PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.
Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?
†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.
Comment savoir si f est nilpotent ?
Autrement dit, f26= 0 et f3= 0, cequi revient `a dire que f est nilpotent d’indice 3. N b. Posons ~e3= (0,0,1).
Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?
Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.
1.Démontrerqueuesttrigonalisa ble.
Lepo lynômescindéX
p (pestun entiernaturel nonnul)annule u.2.Déterminerlep olynôme caractéristiquedeu.
Lepo lynômecaractéristiquedeuestscindé (caruesttrigonalisable). Laseulev aleurpro prepossiblepouruest0(seulera cinedeX p ).I ln'y aqu'unpolynômescindéunitairededegrénquiaco mmeseulera cine0:c'estX
nIlyabe au cou pdemanièresdi
fférentesd'arriveràceré sultat.Onpeut
parexempleprendreune baseda nslaquellelamatrice deuesttri- angulairesupérieure,iln'y aquedes0surla diagonale, lepolynôme caractéristiquedeusecalculefacilemen t.. .3.Enutilisa ntlethéorèmedeCayley-Hamilton,démon trerque
l'indicedenilpotence deuestaupluséga làn.Lepo lynômecaractéristiqueestX
n ;lepolynômeminimalestdonc X p lepo lynômeminimaldiviselepolynômecara ctéristique).Onaa lors u pΘ(X
p annuleu)etu p-1 ?=Θ(X p-1 n'annulepasu).Donc pest l'indiced enilpotencedeu. 134.Retrouverlerésultatdela questionprécéden tesansutiliserle
théorèmedeCay ley-Hamilton, àl'aidedel'exerciceclassique surle s"noyauxité rés ».Ona( voi rexercicesurlesnoy auxitérés):
Ker(u 0 )?Ker(u 1 )?···?Ker(u p-1 )?Ker(u p )=ELasuite finie
dim Keru k estdonc unesuite strictementcrois- santed'entiersnaturels,ce quiimpliquefacilement,p ourtoutkentre0etp,dim
Keru k5.Démontrerque,sur C,unematriceestnilpotentesietseule-
mentsi0estsonuniq uevaleurpropre.Es t-ceencorevrais ur R? Siunema triceestnilp otente,saseulev aleurpro preest0,quelquesoitle corps.Réciproquemen t,silaseulevaleurpropreest0, commeonest surC, lep olynômeminimalestscindé,ilestdoncde laformeX p .Donclamatrice estnilpot ente.Enrevanche,surR,lamatrice 000 00-1 010 (construiteàpartir d'unblo c2×2dema tricederotation d'angle π/2)a pourseule valeurpropre0,etpourtantn'estpasnilpotente(maisbiensûr, ellea desva leu rsproprescomplexesnonnulles). 14 Sous-espacescaractéri stiquesetréductiondeDunford1.Soituunendom orphismenilpotentd'unespacededimensio n
finienonnu llen.Onappellepl'indicedenilpotence deu, c'est-à-direlepluspetiten tiernaturel pourlequelu pΘ.Dé-
montrerque uesttrigonalisa ble.Quelestlepolynômeminimal peut-ilêtrediagona lisable?Lepo lynômescindéX
p estannulateur deu,doncuesttrigonalisable.Sonpolynô meminimalestundiviseurdeX
p ,doncilestdelaforme X k k ?=Θ,donc lep olynômeminimaldeuestnécessairement X p Etdo nclaseulerac inepo ssiblepourlepol ynômecaractéristi quede uest0(c'estlaseule valeur propre possiblepouru).O rcepolynôme caractéristiqueest scindé(car uesttrigonalisable), unitairededegré n,c'estdoncX n Et,parl ethéorème deCayl ey-Hamilton(lepolynômemi nimal divise Siuestdiagonalisable,co mmeil auneseulevaleurpropre (doncun seulsous-espace prop re),c'estunehomothétie,derapportcettevaleur propre,ici0.Doncu=Θ.2.Soituunendo morphismed'unespaceEdedim ensionfinie
nonnull en.Onsupposequelepolynômecaractéristiquede uestscindé. Onnoteλ 1 q sesracines, demultiplicités respectivesm 1 ,...,m q 15Onnot e,pourchaqueientre1etq:F
i =Ker i Id-u) m i F i estappelé sous-espacecaractéristiq ueassociéàlavaleur propreλ i (a)DémontrerqueF i eststable paruetcon tientlesous- espacepropreE i associéàlaval eurpr opreλ i F i estle noyau deP i (u),avecP i i -X) m i .Com meP i (u)com- muteavecu(c'estun polynô medeu),so nnoyauF i eststable paru(cours).Mais,sifestun endomorphisme,sik ,ona ker(f k )?ker(f k ),doncenparticulierici ker i Id-u ?ker i Id-u) m i cequitraduit bienque E i ?F i (b)DémontrerqueEestsommed irectedesF i L'utilisationduthéorèmedeCayley-Hamilt onetdu théorèmede décompositiondesnoyauxdanscettequestion estungra ndclas- siquede laréduction. Lep olynômecaractéristiquedeu,supposéscindé,est u q i=1 (X-λ i m i Sii?=j,X-λ
i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti. Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E
i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E) Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi
q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in- égalitésdim(E
i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 17 3.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.
Onappe lleu
i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i i Idestnilp otent.
Notons-len
i ,etnotonsh i l'homothétieλ i Id.Onabien:
u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p i (x) q i=1 n i p i (x) 18 cequiincite àdéfinir d= q i=1 h i ◦p i etn= q i=1 n i ◦p i Ona,p arceq uiprécède, u=d+n.SurchaqueF
i ,dcoïncidea vech i onsait qu'alor sdestdiagonalisable. Surcha queF
i ,ncoïncidea vecn i .Orn m i i i ,donc,si m=max(m i ),n m i i .Doncn m estuneapplication linéairenulle sur chaqueF i ,orlasommedirectedesF i estE,doncn m Θ.Eta ins i,
nestnilpoten t. i (carh i ◦n i =n i ◦h i ),donc sontégaux:nd=dn Remarque:Chaquen
i esttrigonalisable. Ilexistedonc unebasede F i danslaquelle samatriceesttriangulair esupér ieure"stricte».En réunissantdetellesbases,o nobtien tuneba sedeEdanslaquellela matricedeuestdela forme M= A 1 A 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Sii?=j,X-λ
i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti.Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E
i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E)Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi
q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in-égalitésdim(E
i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 173.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.
Onappe lleu
i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i iIdestnilp otent.
Notons-len
i ,etnotonsh i l'homothétieλ iId.Onabien:
u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p i (x) q i=1 n i p i (x) 18 cequiincite àdéfinir d= q i=1 h i ◦p i etn= q i=1 n i ◦p iOna,p arceq uiprécède, u=d+n.SurchaqueF
i ,dcoïncidea vech i onsait qu'alor sdestdiagonalisable.Surcha queF
i ,ncoïncidea vecn i .Orn m i i i ,donc,si m=max(m i ),n m i i .Doncn m estuneapplication linéairenulle sur chaqueF i ,orlasommedirectedesF i estE,doncn mΘ.Eta ins i,
nestnilpoten t. i (carh i ◦n i =n i ◦h i ),donc sontégaux:nd=dnRemarque:Chaquen
i esttrigonalisable. Ilexistedonc unebasede F i danslaquelle samatriceesttriangulair esupér ieure"stricte».En réunissantdetellesbases,o nobtien tuneba sedeEdanslaquellela matricedeuestdela forme M= A 1 A 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] dossier de synthèse bac pro sen ed
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