CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?08
25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn.
Mamouni My Ismail
½ º ½Problème:extraitcnc2007PSI . ½ º ¾Problème II : Fonction ? et ? deRiemann. ... On considère un endomorphisme nilpotent u de E
Mathématiques 2 PSI
2 avr. 2019 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
PSI MATHÉMATIQUES DS1bis
3 oct. 2020 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...
SOUS-ALGÈBRES NILPOTENTES DE (E))
Le but de ce problème est d'établir quelques propriétés des sous-algèbres I.1 Soit T un endomorphisme nilpotent non nul de E r le plus petit entier ...
Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011
Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme si l'endomorphisme f
CORRIGÉ DM N°7 : COMMUTANT DUN ENDOMORPHISME. E3A
Ainsi ou bien w = 0
Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes
2 avr. 2014 4.3.2 Décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents . ... Introduction : Lorsque nous sommes face à un problème d'algèbre ...
DM N°7 – COMMUTANT DUN ENDOMORPHISME( pour le 10/12
Dans tout le problème E désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le On dit qu'un endomorphisme u ? (E) est nilpotent si et seulement si il ...
Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension finie non nulle n. On appelle p l'indice de nilpotence de u c'est-à-dire le plus petit entier
23 Nilpotent endomorphisms - University of California Berkeley
For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest
CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08
† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents
Problème - Endomorphismes nilpotents
1 a Justifier que si f est nilpotent et que f et g commutent alors f g est nilpotent 1 b Justifier que si f g est nilpotent alors g f est nilpotent 1 c On suppose que f est nilpotent Montrer que l’endomorphisme Id ?f est inversible 2 Soit f un endomorphisme nilpotent de E
CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08
D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn
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Lemme 1 Soit u ? End (E) un endomorphisme nilpotent d'indice de nilpotence ? = ?(u) Soit v ? E un vecteur tel que u??1(v) 6= 0 Alors le système (vu(v) u??1(v)) est libre Corollaire 1 On a donc toujours ?(u) ? dim(E) et donc udim(E) = 0 ourp tout endomorphisme nilpotent u de E
Exercice 649
Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...
Exercice 115
Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...
Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?
PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.
Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?
†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.
Comment savoir si f est nilpotent ?
Autrement dit, f26= 0 et f3= 0, cequi revient `a dire que f est nilpotent d’indice 3. N b. Posons ~e3= (0,0,1).
Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?
Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.
Samedi 3 Octobre 2020
Durée : 4 heuresPSI MATHÉMATIQUES
DS1bisSi, au cours de l"épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d"énoncé, vous le signalez sur votre
copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à
prendre.L"usage de calculatrice est interditAVERTISSEMENT
Laprésentation, la lisibilité, l"orthographe, la qualité de larédaction,la clartéet la précisiondes raisonnements entreront pour unepart importantedansl"ap-préciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non-justifiésne seront pas pris en compte.
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DS1bis
Questions de cours
1. Soit λPK. Donner la définition deλvaleur propre deAPMnpKq. 2. Énoncer le théorème de Ca yley-Hamiltonp ourAPMnpKq. 3.Énoncer la condition nécessaire et suffisan tep ourque APMnpKqsoit diagonalisable utilisant les
polynômes annulateurs.Problème
La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes
nilpotents et aborde l"étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la partie II.
Notations et rappelsDans tout le sujet,ndésigne un entier naturel non nul etEunC-espace vectoriel de
dimensionn. SiMPMnpCq, on noteMTla transposée deM. SiMest une matrice deMnpCq, on définit la suite des puissances deMparM0Inet, pour tout entier naturelk, par la relationMk1M Mk. De même, siuest un endomorphisme deE, on définit la suite des puissances deuparu0IdEet, pour tout entier naturelk, par la relationuk1uuk. Une matriceMest ditenilpotentes"il existe un entier naturel k¥1tel queMk0. Dans ce cas, le plus petit entier naturelk¥1tel queMk0s"appelle l"indice de nilpotencedeM. SoitBune base deE, un endomorphisme deEest nilpotent d"indicepsi sa matrice dans Best nilpotente d"indicep.On poseJ1 p0qet, pour un entierα¥2,Jα 0 0 1 000 1 0
PMαpCq.
SiAPMnpCqetBPMmpCq, on note diagpA,Bq, la matrice diagonale par blocs diagpA,Bq A0 0BPMnmpCq
Plus généralement, siA1PMn1pCq,A2PMn2pCq,,AkPMnkpCq, on note diagpA1,A2,...,Akq A 1000A2...
......0 00AkPMn1n2nkpCq
Premiers résultats
1. Que p eut-ondire d"un endomorphisme nilp otentd"indice 1? Réduction d"une matrice deM2pCqnilpotente d"indice2 On suppose quen2. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicep¥2. 2. Mon trerqu "ilexiste un v ecteurxdeEtel queup1pxq 0. 3.V érifierque la famille ukpxq
4.Mon trerqu eKer puq Impuq.
5. Construire une base de Edans laquelle la matrice deuest égale àJ2. 6.En déduire que les matrices nilp otentesde M2pCqsont exactement les matrices de trace et déterminant
nuls.PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 2/5DS1bis
Réduction d"une matrice deMnpCqnilpotente d"indice2 On suppose quen¥3. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indice2et de rangr. 7. 8.On supp oseque Im puq Kerpuq. Montrer qu"il existe des vecteurse1,e2,...,erdeEtels que la famillee1,upe1q,e2,upe2q,...,er,uperqest une base deE.
9.Donner la matrice de udans cette base.
10. On supp oseIm puq Kerpuq. Montrer qu"il existe des vecteurse1,e2,...,erdeEet des vecteurs v1,v2,...,vn2rappartenant à Kerpuqtels quee1,upe1q,e2,upe2q,...,er,uperq,v1,v2,...,vn2rest
une base deE. 11.Quelle est la matrice de udans cette base?
Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d"une matrice nilpo- tente Dans cette partie,Adésigne une matrice deMnpCq. 12. Mon trerqu e,si Aest nilpotente, alors0est l"unique valeur propre deA. 13. Quelles son tles matrices d eMnpCqà la fois nilpotentes et diagonalisables? 14.Mon trerqu"une matrice est nilp otentesi, et seulemen tsi, son p olynômecaractéristique est égal à Xn.
15.Mon trerla récipro quede la question 12.
16. Mon trerqu "unematrice triangulaire de MnpCqà diagonale nulle est nilpotente et qu"une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. 17. Démon trerque, si Aest une matrice nilpotente d"indicep, alors tout polynôme deCrXsmultiple de X pest un polynôme annulateur deA. On suppose quePest un polynôme annulateur deAnilpotente. 18.Démon trerque 0est racine deP.
19. On note mla multiplicité de0dansP, ce qui permet d"écrirePXmQoùQest un polynôme de CrXstel queQp0q 0. Démontrer queQpAqest inversible puis quePest un multiple deXpdans CrXs.Racines carrées de matrices nilpotentes
Pour une matriceVPMnpCqdonnée, on dit qu"une matriceRPMnpCqest une racine carrée deVsiR2V. On se propose d"étudier l"existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines
matrices nilpotentes. On noteA 1 37 2 614 1 37 etul"endomorphisme deC3canoniquement associé àA. 20.Calculer la tr aceet le rang de A. En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique deA.
Montrer queAest nilpotente et donner son indice de nilpotence. 21.Démon trerque Aest semblable à la matrice diagpJ2,J1q. Donner la valeur d"une matricePinversible
telle queAP diagpJ2,J1qP1.On cherche à déterminer l"ensemble des matricesRPM3pCqtelles queR2A. On noteρl"endomorphisme
canoniquement associé àR. 22.Démon trerque Im puqet Kerpuqsont stables parρet queρest nilpotent. 23.
En dédu irel"ensem bledes racines carrées de A. Indication : on pourra considérerR1P1RP. On se propose dans cette question d"étudier l"équation matricielleR2J3. 24.
Soit Rune solution de cette équation. Donner les valeurs deR4etR6, puis l"ensemble des solutions de l"équation.PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 3/5
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En général, soitVPMnpCqune matrice nilpotente d"indicep. On se propose d"étudier l"équation
R 2V. 25.Mon trerque, si 2p1¡n, alors il n"existe aucune solution. 26.
P ourtoute v aleurde l"en tiern¥3, exhiber une matriceVPMnpCq, nilpotente d"indicep¥2et admettant au moins une racine carrée.
Deuxième partie
On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties I.A et I.B.Réduction des matrices nilpotentes
On supposen¥2. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicep¥2. 27.Démon trerque Im puqest stable paruet que l"endomorphisme induit parusur Impuqest nilpotent.
Préciser son indice de nilpotence.
28.P ourtout v ecteurxnon nul deE, on noteCupxql"espace vectoriel engendré par lesukpxq kPN; démontrer queCupxqest stable paruet qu"il existe un plus petit entierspxq ¥1tel queuspxqpxq 0. 29.
Démon trerque x,upxq,...,uspxq1pxqest une base deCupxqet donner la matrice, dans cette base, de l"endomorphisme induit parusurCupxq. 30.
Démon trerpar récurrence sur pqu"il existe des vecteursx1,...,xtdeEtels queEtà i1C upxiq.
Indication : on pourra appliquer l"hypothèse de récurrence à l"endomorphisme induit parusur Impuq.
31.Donner la matrice de udans une base adaptée à la décompositionEtà i1C upxiq.
Partitions d"entiers
On appelle partition de l"entierntoute suite finiepα1,...,αkq P pNqktelle que1¥ ¥αketα1 αkn.
On noteΓnl"ensemble des partitions de l"entiern. Ainsi,Γ1 tp1qu,Γ2 tp2q,p1,1qu,Γ3 tp3q,p2,1q,p1,1,1qu.
Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicepet de rangr. 32.Mon trerqu"il existe une partiti onσ pα1,...,αkqdenet une baseBdeEdans laquelle la matrice deuest égale à la matriceNσdiagpJα1,...,Jαkq. 33.
Soit αun entier naturel non nul. Calculer le rang deJjαpour tout entier naturelj. En déduire queJα
est nilpotente et préciser son indice de nilpotence. 34.En dédu irela v aleurde α1.
35.P ourjPN, on noteΛj tiPJ1,kK|αi¥ju. Démontrer que rgpNjσq ¸ iPΛjpαijq. 36.
Démon trerqu e,p ourtout jPN, l"entierdjrgpuj1qrgpujqest égal au nombre de blocsJαidont la tailleαiest supérieure ou égale àj. 37.
Donner la v aleurde l"en tierk, nombre de blocsJαiintervenant dansNσ. 38.
P ourtout en tierjcompris entre1etn, exprimer le nombre de blocsJαide taille exactement égale à
j. 39.On supp osequ"il existe un epartition σ1de l"entiernet une baseB1deEtelles que la matrice deu dansB1soit égale àNσ1. Montrer queσσ1. 40.
Quel est le cardinal maximal d"un ensem blede matrices nilp otentes,toutes de même taille n, telles
qu"il n"y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables?PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 4/5
DS1bis
Applications
41.Soien tAla matrice
01 221
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 11 1 0
etul"endomorphisme canoniquement associé àA. Dé- terminer la partitionσde l"entier5associée àuet donner la matriceNσ. 42.À l"aide du résultat de la question 31, démon trerque si MPMnpCqest nilpotente, alorsM,2Met M
Tsont semblables.
43.À l"aide du résultat de la question 15, démon trerque si Met2Msont semblables, alorsMest nilpotente. Un algorithme de calcul du nombre de partitions den
PourjPN, on noteYn,jl"ensemble des partitions dendont le premier termeα1est inférieur ou égal à
jetyn,jle cardinal deYn,j; on posey0,01. 44.45.
Démon trerque cette égalité est vraie p ourjn. 46.
P ourj n, vérifier queyn,jyn,j1ynj,j. Conclure. 47.
48.
Écrire une fonction Python qui prend en argu mentun en tiern¥1et qui renvoieyn,n. 49.
Comparer c hezv ousce ré sultatà celui d ela question 40. PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 5/5
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