[PDF] Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes





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CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?08

25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn.



Mamouni My Ismail

½ º ½Problème:extraitcnc2007PSI . ½ º ¾Problème II : Fonction ? et ? deRiemann. ... On considère un endomorphisme nilpotent u de E



Mathématiques 2 PSI

2 avr. 2019 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...



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3 oct. 2020 La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas ...



SOUS-ALGÈBRES NILPOTENTES DE (E))

Le but de ce problème est d'établir quelques propriétés des sous-algèbres I.1 Soit T un endomorphisme nilpotent non nul de E r le plus petit entier ...



Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011

Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme si l'endomorphisme f





Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes

2 avr. 2014 4.3.2 Décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents . ... Introduction : Lorsque nous sommes face à un problème d'algèbre ...



DM N°7 – COMMUTANT DUN ENDOMORPHISME( pour le 10/12

Dans tout le problème E désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le On dit qu'un endomorphisme u ? (E) est nilpotent si et seulement si il ...



Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un

Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension finie non nulle n. On appelle p l'indice de nilpotence de u c'est-à-dire le plus petit entier 



23 Nilpotent endomorphisms - University of California Berkeley

For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest



CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08

† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents



Problème - Endomorphismes nilpotents

1 a Justifier que si f est nilpotent et que f et g commutent alors f g est nilpotent 1 b Justifier que si f g est nilpotent alors g f est nilpotent 1 c On suppose que f est nilpotent Montrer que l’endomorphisme Id ?f est inversible 2 Soit f un endomorphisme nilpotent de E



CORRIGE´ DU DEVOIR SURVEILLE´ N?08

D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn



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Lemme 1 Soit u ? End (E) un endomorphisme nilpotent d'indice de nilpotence ? = ?(u) Soit v ? E un vecteur tel que u??1(v) 6= 0 Alors le système (vu(v) u??1(v)) est libre Corollaire 1 On a donc toujours ?(u) ? dim(E) et donc udim(E) = 0 ourp tout endomorphisme nilpotent u de E

  • Exercice 649

    Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...

  • Exercice 115

    Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...

Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?

PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.

Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?

†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.

Comment savoir si f est nilpotent ?

Autrement dit, f26= 0 et f3= 0, cequi revient `a dire que f est nilpotent d’indice 3. N b. Posons ~e3= (0,0,1).

Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?

Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.

Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables.

Endomorphismes nilpotents.

Mémoire de M2

Maxime Stauffert

2 avril 2014

Table des matières

1 Généralités1

2 Endomorphismes trigonalisables 2

2.1 Définition et caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Trigonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Endomorphismes nilpotents4

3.1 Définition et caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Structure deN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Unipotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Application à la réduction7

4.1 Noyaux itérés et sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Réduction des endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 Tableaux de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.2 Décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Décomposition de Jordan généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Introduction :Lorsque nous sommes face à un problème d"algèbre linéaire, il peut être intéressant de savoir ré-

duire une matrice, en l"exprimant dans une base adaptée dans laquelle elle pourra être triangulaire, ou ne comportera

qu"un minimum de coefficients sur-diagonaux égaux à 1. C"est le cas lorsque l"on modélise un problème physique

dont la résolution fait intervenir des calculs matriciels, ou lorsque l"on cherche à étudier un endomorphisme par

exemple.

1 Généralités

On commence par rappeler quelques définitions et propriétés de base d"algèbre linéaire, qui nous serviront ensuite

dans les autres parties.

Définition 1.Soitkun corps etEunk-espace vectoriel de dimension finie. Soit2k, on dit queestvaleur

propre deusi il existex2Enf0g;u(x) =x. On appellespectre deu, notéSp(u), l"ensemble des valeurs propres

deu.

Lorsqueest valeur propre deu, le vecteurxest appelévecteurpropre deuassocié à la valeur propre. De plus,

on noteraE=fx2E;u(x) =xg= ker(uIdE)l"ensemble des vecteurs propres associés à, et on appellera cet ensembleespacepropre deuassocié à.

Définition 2.Sin2Nest la dimension deEen tant quek-espace vectoriel, on appellepolynômecaractéristique

deA2 Mn(k)le polynôme dek[X]défini parA(X) = det(AXIn). 1

Remarque3.Commedet(tA) = det(A), on a l"égalitétA=A. Ce résultat sert notamment dans certaines démons-

trations par récurrence sur la dimension. On considère alors un vecteur proprexdetuet on utilise l"hypothèse de

récurrence à l"endomorphisme induit parusurVect(x)?. C"est le cas par exemple pour le résultat de trigonalisation

simultanée que l"on verra par la suite. Si l"on développe le déterminant, on obtientA(X) = (1)nXn1Xn1++ (1)nnavec1= Tr(A) etn= det(A).

Enfin, nous savons qu"il est possible de définir le déterminant d"un endomorphisme car le déterminant est stable

par conjugaison. De la même manière nous pouvons définir le polynôme caractéristique d"un endomorphisme.

Définition 4.On appellepolynômecaractéristique deu, et on noteule polynôme caractéristique de la matrice

deudans une base quelconque.

Remarque5.L"application

u:k[X]!k[u]

P7!P(u)

est un morphisme d"algèbre. Son noyau,ker('u) =fP2k[X];P(u) = 0g, est un idéal dek[X].

CommeL(E)est de dimension finie surk, le noyauker('u)est non nul. Enfin, grâce à la division euclidienne

surk[X], on en déduit qu"il existe un unique polynôme unitaire qui engendre l"idéalker('u).

Définition 6.On appellepolynômeminimal deusurkle générateur unitaire de l"idéalfP2k[X];P(u) = 0get

on le noteu. Remarque7.On a l"inégalité grossièred°(u)n2car

Id;u;:::;un2

est une famille liée deL(E). On verra qu"en réalitéd°(u)ngrâce au théorème de Cayley-Hamilton.

Proposition 8.Les valeurs propres deusont exactement les racines des polynômes caractéristique et minimal de

u, en effet, pour tout2k, [valeur propre deu],u() = 0,u() = 0 SoitFun sous-espace vectoriel deE. SiFest stable paru, alors l"application induite parusurFest un endomorphisme deF, c"est-à-dire queujF2 L(F), et on a de plusujFjuetujFju.

Remarque9.Le premier résultat est un résultat important qui nous permet notamment de trouver les valeurs propres

d"un endomorphisme ainsi que de caractériser la diagonalisabilité ou la trigonalisabilité d"un endomorphisme comme

on le verra plus tard.

Le deuxième résultat est d"avantage un lemme utile dans plusieurs démonstrations par récurrence comme dans

le théorème qui suit.

Théorème 10.(de Cayley-Hamilton)

u(u) = 0

Corollaire 11.On a par conséquentujupar définition même du polynôme minimal. De plus, comme le degré

du polynôme caractéristique est exactementn, on a l"inégalitéd°(u)n.

Lemme 12.(des Noyaux)

SoitP=P1Ps2k[X], les polynômesPiétant premiers entre eux deux à deux. Alors ker(P(u)) =sM i=1ker(Pi(u))

Remarque13.Il sera donc intéressant de décomposeruouuen facteurs irréductibles pour avoir une décomposition

en somme directe deE= ker(u) = ker(u).

Maintenant que l"on a fait tous ces rappels, nous pouvons nous intéresser à la caractérisation des endomorphismes

trigonalisables. 2

2 Endomorphismes trigonalisables

2.1 Définition et caractérisations

Définition 14.On dit queuesttrigonalisable surks"il existeBune base deEtelle que la matriceMatB(u)soit

triangulaire. Théorème 15.(de caractérisation) Les assertions suivantes sont équivalentes :

1.uest trigonalisable surk

2.uest scindé surk

3.uest scindé surk

Corollaire 16.Sikest algébriquement clos, tout endomorphisme deEest trigonalisable.

Remarque17.Toute matrice deMn(C)est trigonalisable surC. Toute matrice deMn(R)n"est pas nécessairement

trigonalisable surR, mais peut être vue comme une matrice deMn(C), qui sera alors trigonalisable surC.

Exemple 18.Voici plusieurs exemples et contre-exemples sur des matrices vues dansMn(R)et dansMn(C). Au

vu du corollaire ci-dessus, toutes les matrices deMn(C)sont trigonalisables. Rappelons enfin que la caractérisation

des endomorphismes diagonalisables est : [udiagonalisable],[uscindé à racines simples]

1.A=0 1

0 0 , on aA=A=X2, la matriceAest trigonalisable surRmais n"est pas diagonalisable surC.

2.B=01

1 0 , on aB=B=X2+ 1, la matriceBn"est pas trigonalisable surRmais est diagonalisable surC. 3.C=0 B

B@01 1 0

1 0 0 1

0 0 01

0 0 1 01

C CA, on aC=C=X2+ 12, la matriceCn"est ni trigonalisable surRni diagonali- sable surC. Remarque19.SiAest trigonalisable, il existe(1;:::;n)2kntels queA0 B 1 0n1 C

Aet on a

Sp(A) =f1;:::;ng

Application :Soitutrigonalisable, avecSp(u) =f1;:::;ng, et soitP2k[X]. AlorsSp(P(u)) =fP(1);:::;P(n)getSp(exp(u)) =e1;:::;en.

2.2 Trigonalisation simultanée

Lorsque l"on travaille avec une famille d"endomorphismes, il peut être intéressant de trouver une base commune

de trigonalisation, dans le but de travailler sur des formes simplifiées pour tous ces endomorphismes. C"est le cas

par exemple lorsque l"on travaille avec un sous-groupe deGLn(k).

Proposition 20.Siuest trigonalisable et queFest un sous-espace vectoriel stable deE, alorsujFest trigonalisable.

Proposition 21.Soit(ui)i2Iune famille d"endomorphismes trigonalisables qui commutent deux à deux, alors ces

endomorphismes sont cotrigonalisables, c"est-à-dire qu"il existe une baseBcommune de trigonalisation.

Exemple 22.Contrairement au cas de la codiagonabilité, la condition de commutativité n"est pas nécessaire :1 1

01 et1 1 0 1 sont cotrigonalisables mais ne commutent pas. Remarque23.Siuetvsont cotrigonalisables, alorsu+vetuvsont trigonalisables. 3 Exemple 24.Deux contre-exemples pour chacun des cas : -A=01 0 0 etB=0 0 1 0 , la matriceA+B=01 1 0 n"est pas trigonalisable surRcarA+B=X2+1 n"est pas scindé surR. -A=0 1 1 0 etB=1 1 01 , la matriceAB=01 1 1 n"est pas trigonalisable surRcarAB= X

2X+ 1n"est pas scindé surR.

On a une application à des sous-groupes particuliers deGLn(C):

Théorème 25.(de Lie-Kolchin)

Tout sous-groupe connexe résoluble deGLn(C)est cotrigonalisable.

2.3 Propriétés topologiques

Ici, on considèrek=K=RouCet on noteTn(K)l"ensemble des matrices trigonalisables deMn(K). On a deux résultats topologiques sur les matrices trigonalisables :

Proposition 26.L"ensemble des matrices deMn(K)diagonalisables à valeurs propres distinctes et, par conséquent,

celui des matrices diagonalisables, sont denses dansTn(K). En particulier, l"ensemble des matrices deMn(C)

diagonalisables est dense dansTn(C) =Mn(C). Application :Soit':M7!DMoùDMest la partie diagonalisable deMdans la décomposition de Dunford, alors pourn2,'n"est pas continue.

Proposition 27.Tn(K)est un fermé deMn(K).

3 Endomorphismes nilpotents

3.1 Définition et caractérisations

Définition 28.On dit queuestnilpotent surks"il existep2Ntel queup= 0dansL(E). Pourunilpotent, on

noter= minfn2N;un= 0gque l"on appelle indice de nilpotence deu. On noteNl"ensemble des endomorphismes

nilpotents.

Exemple 29.SiAest nilpotente, alorsMn(k)! Mn(k)

M7!AMest nilpotent.

Danskn[X], tout endomorphisme qui fait baisser strictement le degré des polynômes est nilpotent. Par exemple :

':P7!P0et :P7!P(X+ 1)P(X). Ces deux endomorphismes sont nilpotents surk[X]sik=Fp. En revanche, ils ne le sont pas sik=RouC, bien que pour toutP2k[X], on ait'd°P+1(P) = d°P+1(P) = 0. Théorème 30.(de caractérisation) Les assertions suivantes sont équivalentes :

1.uest nilpotente surk

2.u= (1)nXndansk[X]

3. Il existerntel queu=Xrdansk[X]

4.utrigonalisable surketSp(u) =f0g

Remarque31.En particulier,[unilpotente surk])[utrigonalisable surk]

Exemple 32.Deux contre-exemples :

-Inest trigonalisable mais non nilpotente -A=0 @0 0 0 0 0 1 01 01 A , on aSpR(A) =f0gmaisAn"est ni trigonalisable ni nilpotente

Proposition 33.On a deux caractérisations supplémentaires lorsquekvérifie certaines conditions :

4 - sicar(k) = 0, [unilpotente surk], 82kn f0g;uu , 8i2N;Trui= 0

- sik=RouC, l"endomorphismeuest nilpotent si et seulement si l"endomorphisme nul est dans la classe de

conjugaison deu. Exemple 34.Sicar(k) =p, on a l"égalitéTrIip= 0, pour touti2N.

La caractérisation des endomorphismes nilpotents grâce à la trace est un lemme du résultat :

Théorème 35.(de Burnside)

Tout sous-groupe deGLn(C)d"exposant fini est fini.

Démonstration.

1. Démonstration d"un lemme :

Nous commençons par prouver la caractérisation par la trace vue à la proposition 33. SoitAnilpotente, alors elle estAest trigonalisable etSp(A) =f0g. Donc il existeP2 GLn(C)telle que A=P10 B @0 0 01 C

APet pour touti2N,Ai=P10

B @0 0 01 C

AP. On en déduit,TrAi= 0, pour tout

i2N. Réciproquement, raisonnons par l"absurde en supposantAnon nilpotente.

Le polynôme caractéristique deAest scindé surC, notons1;:::;rles valeurs propres non nulles deAet

n

1;:::;nrleur multiplicité respective.

La matriceAest semblable à la matrice triangulaire M=0 B

BBBBBBBBBBBBBBBBB@

1 1 r...... r 0 0 01 C

CCCCCCCCCCCCCCCCCA

où lesiapparaissentnifois sur la diagonale. On a l"égalitéA=P1MPdonc la matriceAk=P1MkPest semblable àMket0 = TrAk=niki++ n rkr, pour toutk1. Si on écrit ces égalités pourk2 f1;:::;rgsous forme matricielle, on obtient 0 B BB@ 12r

21222r......

r1r2rr1 C CCA0 B BB@n 1 n 2... n r1 C

CCA= 0

Or le déterminant de la matrice carrée de gauche est1rY

1i Donc nécessairementn1=n2==nr= 0et la matriceAest semblable à une matrice triangulaire ne

comportant que des0sur la diagonale, donc elle est nilpotente et par conséquentAest elle-même nilpotente, ce qui

est absurde.

2. Démonstration du théorème :

SoitGun sous-groupe deGLn(C)d"exposant finiN, c"est-à-dire qu"il existeN2Ntel que pour toutM2G, on aitMN=In. Le théorème peut se démontrer en plusieurs étapes.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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