PRODUIT SCALAIRE
Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par Démonstration de la première formule : ... 1) Vecteurs orthogonaux.
1°) Vecteurs orthogonaux. Définition. Soit vet deux vecteurs non
? ? u sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. On note : vu ? ?. ? et on lit u ? est orthogonal
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
4.6 Bases orthogonales et bases orthonormales de R
On dit que deux vecteurs de Rn sont orthogonaux si leur produit dans la base B est appelée formule de changement de base alors que B?1 est la matrice ...
VECTEURS ET REPÉRAGE
Un repère est dit orthogonal si ?et ? ont des directions perpendiculaires. Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteurs.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
R et de vecteur directeur 7? ! Un plan P de vecteur normal 7? ! ... ( ) et P sont sécants si 7? et 77777? ne sont pas orthogonaux.
Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L (CD). -+. -+. AB.l CD. Notation:.
Projection orthogonale.
Déterminer le projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel utilisera la formule précédente pour obtenir le projeté orthogonal de x sur F ...
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
4) Formules de polarisation les vecteurs ? ? et '? sont deux à deux orthogonaux
Sur le produit vectoriel
Sinon l'orthogonal du plan vectoriel (u
Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux - Produit scalaire
vecteurs de la base On doit donc avoir (w~ ? Xk i=1 ?i~vi)·~vj = 0 ?j = 1 k Puisque les ´el´ements de S sont mutuellement orthogonaux ceci se r´eduit `a w~ ·~vj ??jk~vjk2 = 0? ?j = w~ ·~vj k~vjk2 Le r´esultat est obtenu en reportant cette valeur du coe?cient dans l’expression de ~u
Chapitre 10 Vecteurs et espaces vectoriels - Springer
106 Vecteurs orthogonaux Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul on dit que les deux vecteurs sont orthogonaux Du point de vue geometrique deux vecteurs orthogo naux sont perpendiculaires Si plus de deux vecteurs orthogonaux ont une longueur egale a 1 on dit qu'ils sont orthonormaux
VECTEURS ET REPÉRAGE - maths et tiques
Dans chaque cas vérifier si les vecteurs B ? et C? sont colinéaires a) B ? ?6 10 / et C? 9 ?15 / b) B ? 4 9 / et C? 11 23 / Correction a) NOP(B ? ; C?)=R ?6 9 10 ?15 R=(?6)×(?15)?10×9=90?90=0 Les vecteurs B ? et C? sont donc colinéaires b) NOP(B ? ; C?)=R 4 11 9 23 R=4×23?9×11=92?99=?7?0
Chapitre 8 : Vecteurs - e-lyco
Définition : Deux vecteurs (?i ?j) sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires Définition : Soit (?i ?j) une base du plan • Une base est dite orthogonale si les vecteurs (?i ?j) sont orthogonaux • Une base est dite orthonormée si la base (?i ?j) est orthogonale et ??i?=??j?=1
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Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont : - même direction - même longueur et - des sens contraires Les vecteurs AB et BA sont opposés On note : AA=?BA 5 Relation de Chasles Soit deux points A et C Quel que soit le point B on a : AB+BC =AC 6 Somme de deux vecteurs AC Soit deux vecteurs u et v La somme de deux vecteurs u et v
Quels sont les vecteurs orthogonaux ?
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v. Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?
Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur.
Comment savoir si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ?
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur. Exemple : Soit u et v deux vecteurs tels que ?u? = 3, ?v ? = 4 et ?u + v ? = 5. u ? v = 21 (52 ?42 ?32) = 21(25?16?9) = 0. Donc u et v sont orthogonaux.
Comment savoir si deux vecteurs sont égaux?
Définition : Dire que deux vecteurs?ABet?CDsont égaux signifie que le point D est l’image du point C par la translationde vecteur?AB. Exercice 2 Dans le carré ABCD de centre O ci-contre, compléter les égalités suivantes : ?AB= ?CB= ?OC= ?DO= Propriétés : A, B, C et D désignent quatre points du plan.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose í µâƒ— = í µí µ
et í µâƒ— = í µí µ , alors ce repère se note également (O, í µâƒ— ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, í µâƒ—, í µâƒ—) où O est un point et í µâƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si í µâƒ— et í µâƒ— ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si í µâƒ— et í µâƒ— sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi í µí µ
=3í µâƒ—+2í µâƒ—.Les coordonnées de í µí µ
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthogonal í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthonormé í µâƒ— O í µâƒ— Repère quelconque í µâƒ— í µâƒ— I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, í µâƒ—, í µâƒ—), placer les points í µ. -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ par lecture graphique.Correction
On a :
=-í µâƒ—+5í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . -1 5 =3í µâƒ—+2í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points í µ.
/ et í µ.Le vecteur í µí µ
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et í µ. 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦A, et un réel í µ.
On a :
A í µí µí°¼âƒ— í±¦
A -í µí°¼âƒ—.
í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont égaux lorsque í µ=í µâ€² et í µ=í µâ€². Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3í µí µ
4í µí µ
et 3í µí µ -4í µí µCorrection
On a : í µí µ
3 2 / et í µí µ -1 53í µí µ
3×3
3×2
9 6 /, 4í µí µ 4× -14×5
-4 203í µí µ
-4í µí µ 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points í µ.
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point í µ tel que í µí µí µí µ soit un parallélogramme.
Correction
í µí µí µí µ est un parallélogramme si et seulement si í µí µOn pose .
/ les coordonnées du point í µ.On a alors : í µí µ
-4-1 3-2 -5 1 / et í µí µ1-í µ
-2-í µ ADonc : 1-í µ
=-5 et -2-í µ =1 =-5-1 et -í µ =1+2 =6 et í µ =-3.Les coordonnées du point í µ sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que : í µí µ'-í µí µ'=0.
Remarque : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : í µí µ'=í µí µ'.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— soient non nuls.Dire que les vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel í µ tel que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.Les coordonnées des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : í µí µ'=í µí µ' soit encore í µí µ'-í µí µ'=0. Réciproquement, si í µí µ'-í µí µ'=0. Le vecteur í µâƒ— étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que í µ'≠0. Posons alors í µ= . L'égalité í µí µ'-í µí µ'=0 s'écrit : í µí µ'=í µí µ'.Soit : í µ =
Comme on a déjÃ í µ = í µí µâ€², on en déduit que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. 4 -7 / et í µâƒ—. -12 21/ b) í µí°¼âƒ—. 5 -2 / et í µâƒ—. 15 -7
Correction
a) í µí µ'-í µí µ'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que í µâƒ—=-3í µí°¼âƒ—.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) í µí µ'-í µí µ'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Le nombre í µí µ'-í µí µ' est appelé déterminant des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ—.
On note : í µí µí µ
Propriété : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que í µí µí µ
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. -6 10 / et í µâƒ—. 9 -15 / b) í µí°¼âƒ—. 4 9 / et í µâƒ—. 11 23Correction
a) í µí µí µ =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires. b) í µí µí µ =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.2) Dire que les points í µ, í µ et í µ sont alignés revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points í µ.
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et í µ. 5 0 a) Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles. b) Démontrer que les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Correction
a) í µí µ 3- -1 2-1 4 1 / et í µí µquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] montrer que deux vecteurs sont orthogonaux dans l'espace
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