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4.6 Bases orthogonales et bases orthonormales deRn

Rappelons la d´efinition suivante introduite dans le chapitre 0. D´efinition4.6.1On dit que deux vecteurs deRnsontorthogonauxsi leur produit scalaire est nul.

Exemple4.6.1

a) (1,-1),(1,1) sont orthogonaux. b) (-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) sont mutuellement orthogonaux. Proposition4.6.1Un ensemble de vecteurs non nuls et mutuellement orthogonaux est toujours lin´eairement ind´ependant. D emonstration:SoitS={v1,...,vk}un tel ensemble. Consid´erons une combinaison quelconque de ces vecteurs qui donne le vecteur?0.

1?v1+α2?v2+...+αn?vn=?0.

Si nous multiplions les deux membres de l"´egalit´e par le vecteur?vjo`ujest arbitraire, nous obtenons Or, sauf pour l"indicei=j, tous les produits scalaires?vi·?vjsont nuls. Il en d´ecoule que j?vj·?vj= 0?αj??vj?2= 0. Puisque?vj?= 0, il vientαj= 0. Puisque ceci est vrai quelque soitj, l"ensemble est lin´eairement ind´ependant.

Ceci nous am`ene `a la d´efinition suivante.

D´efinition4.6.2Un ensemble de vecteurs deRnest ditorthogonalsi deux vecteurs distincts quelconques de cet ensemble sont orthogonaux. Ilest dit orthonormals"il est or- thogonal et si chaque vecteur de cet ensemble est unitaire c"est-`a-dire de longueur 1. Une base orthogonaleest une base qui est aussi un ensemble orthogonal. Unebase orthonormale est une base qui est aussi un ensemble orthonormal.

Exemple4.6.2

a) DansRn, la base canonique est orthonormale. b) L"ensembleW={(1,0,-1),(1,0,1)}est orthogonal mais pas orthonormal. Il ne peut pas constituer une base deR3car il n"a que deux ´el´ements. 89
c) L"ensembleW={(1,0,0,2),(-1,0,0,1

2),(0,1,1,0),(0,1,-1,0)}est une base ortho-

gonale deR4, mais pas orthonormale puisque?(0,1,1,0)?= 2. Pour en faire une base orthonormale, il suffit de diviser chacun des vecteurs par sa longueur. Donc Z={1 ⎷5(1,0,0,2),? 4 est une base orthonormale.

4.6.1 Orthonormalisation d"une base

Les bases orthonormales jouent un rˆole essentiel dans les applications g´eom´etriques de

l"alg`ebre lin´eaire. Donn´ee une base deRn, il existe un proc´ed´e simple pour en d´eduire une

base orthonormale. Essentiellement, on proc`ede par projections successives d"un vecteur sur le sous-espace engendr´e par ses pr´ed´ecesseurs.

Exemple4.6.3

a)?v1= (1,2),?v2= (1,-1) forment une base deR2, qui n"est pas orthogonale. Soit ?u= proj?v1(?v2) =-1

5(1,2).

Le vecteur?w=?v2-?u= (6

5,-35) est orthogonal `a?v1puisque

?v

1·?w=?v1·?v2-?v1·(?v1·?v2

Donc (1,2),(6

5,-35) forment une base orthogonale deR2.

b) On aurait pu proc´eder dans l"autre sens et projeter (1,2) sur (1,-1). La base obtenue serait{(1,-1),3

2(1,1)}.Il y a donc plusieurs fa¸cons d"orthogonaliserune base et il

faudra ordonner les vecteurs. Il est facile de projeter un vecteur sur un autre. Il l"est un peu moins de le projeter sur un sous-espace. Nous avons la proposition suivante : Proposition4.6.2SoitS={?v1,...,?vk} ?Rnun ensemble orthogonal dekvecteurs et ?wun vecteur qui n"est pas dansS. La projection de?wsurSest donn´ee par proj

S(w) =k?

i=1?w·?vi ??vi?2vi. 90
D emonstration:G´eom´etriquement, on voit que la projection de?wsurSest un vecteur ?udeStel que?w-?uest perpendiculaire `a tous les vecteurs deS. Si?uest dansS, il existe kscalairesαi,i= 1,...,ktels que ?u=k? i=1α i?vi. Par ailleurs?w-?usera perpendiculaire `aSsi et seulement si il est perpendiculaire `a tous les vecteurs de la base. On doit donc avoir, (?w-k? i=1α i?vi)·?vj= 0,?j= 1,...k. Puisque les ´el´ements deSsont mutuellement orthogonaux, ceci se r´eduit `a ?w·?vj-αj??vj?2= 0,?αj=?w·?vj ??vj?2. Le r´esultat est obtenu en reportant cette valeur du coefficient dans l"expression de?u. Nous sommes maintenant en mesure de d´ecrire l"algorithme d"orthogonalisation de Gramm-

Schmidt.

Algorithme4.6.1

Donn´ees : un ensemble ordonn´eS={?v1,...,?vk}dekvecteurs lin´eairement ind´ependants deRn

Sortie : une base orthogonale

ˆSde lin(S).

?w

1=?v1.

Pourj= 1,...k-1

a)?u=j? i=1proj ?wi(?vj+1). b)?wj+1=?vj+1-?u.

S={?w1,..., ?wk}.

Si, dans l"algorithme pr´ec´edentk=n,Sest une base ordonn´ee et l"ensembleˆSest une base orthogonale dont on peut tirer une base orthonorm´ee en normalisant chacun des vecteurs. 91

Exemple4.6.4

a)S={(2,2,0),(-1,3,1),(0,1,0)}. On aura successivement -?w1= (2,2,0) -?u=(-1,3,1)·(2,2,0)

8(2,2,0) = (1,1,0)

-?w2=?v2-?u= (-2,2,1) -?u=(0,1,0)·(2,2,0)

8(2,2,0) +(0,1,0)·(-2,2,1)9(-2,2,1) = (118,1718,1)

-?w3=?v3-?u= (-1

18,118,-29)

>with(LinearAlgebra) : S :=[Vector(4,[-1,0,1,2]),Vector(4,[1,2,-3,0]),Vector(4,[0,-2,3,1]),Ve ctor(4,[1,1,-1,0])] ;

S:= [[-1,0,1,2],[1,2,-3,0],[0,-2,3,1],[1,1,-1,0]]

w :=[seq(Vector(4,[0,0,0,0]),i=1..4)] ; w:= [[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]] w[1] :=S[1]; w

1:= [-1,0,1,2]

>forjfrom 1 to 3 do v:=S[j+ 1] u:= (DotProduct(v,w[1])/norm(w[1],2)2)?w[1] : forifrom 2 tojdo ww:=w[i] : u:=u+ (DotProduct(v,ww)/norm(ww,2)2)?ww: od; unassign(?i?) : w[j+ 1] :=v-u: od : print(w); [[-1,0,1,2],?1

3,2,-73,43?

,?1917,-517,317,817? ,?227,827,29,-227? 92

4.7 Changement de syst`eme de coordonn´ees

Parmi les changements de syst`emes de coordonn´ees que l"on´etudie en physique et en calcul, les plus simples sont ceux qui sont lin´eaires. Ces changement correspondent `a un changement de base dans l"espace physique et `a un changement de rep`eredans sa version g´eom´etrique. Encore une fois, l"alg`ebre des matrices nous permet de simplifier leur pr´esentation. Commen¸cons par rappeler la propri´et´e suivante, maintesfois ´evoqu´ee. Alerte4.7.1Soit?v1,...,?vkkvecteurs deRn. La relation lin´eaire ?v=k? i=1α i?vi, peut aussi s"´ecrire (?v1|...|?vk)((α 1... k)) =?v. SoitB={?v1,...,?vk}unebase ordonn´eedeV=Rk. Tout vecteur deVpeut s"´ecrire, de fa¸con unique, comme une combinaison lin´eaire des vecteurs deB. Soit?v?Veta1,...anles coefficients (des scalaires), de la combinaison correspondante. Posons [v]B=((a 1... a n))

En vertu de la remarque pr´ec´edente, siBest la matrice dont les colonnes sont les ´el´ements

deBon a [v]B=B-1?v.(4.1)

Le vecteur [v]Best appel´e

vecteur des coordonn´eesde?vdans la baseBet la relation (4.1) qui permet de passer de la repr´esentation de?vdans la base canonique `a sa repr´esentation dans la baseBest appel´ee formule de changement de base alors queB-1est la matrice de changement de base.

Exemple4.7.1

a) SoitEla base canonique deRn. Par d´efinition, pour tout vecteur, ?v= [v]E. 93
b) SoitB= [?11? ,?-1 1? ] une base ordonn´ee deR2. Cherchons les coordonn´ees de ?x=?10? dans cette base, c"est-`a-dire cherchonsa,bpour lesquels a-b= 1, a+b= 0.

La solution esta=1

2,b=-12, donc

[x]B= (1

2,-12).

Par ailleurs

B=?1-1

1 1? ?B-1=? 1 212-1
212?

On a bien

[x]B= (1

2,-12) =?

1212-1

212??
1 0?

Ainsi, pour?y=?12?

[y]B=? 1 212-1
212??
1 2? 3 2 1 2? c) Soit

B=??((110))

-1 1 2)) 0 -1 2)) ,C=??((001)) 1 1 0)) -1 0 0)) Nous cherchons une matrice qui nous permette de passer de la baseB`a la baseC. Soit ?zun vecteur arbitraire deR3. SiBetCsont les matrices dont les colonnes sont les vecteurs des deux bases, nous savons que [z]C=C-1?z.

Mais,?z=B[z]B. Donc

[z]C=C-1B[z]B. Or, C=(( 0 1-1 0 1 0

1 0 0))

?C-1=(( 0 0-1 0 1 0 -1 1 0)) Donc 94
C -1B=(( 0-2-2 1 1-1

0 2-1))

En utilisant la d´efinition, on peut v´erifier directement que, si?z=(( 1 1 0)) , [z]B=(( 1 0 0)) alors que [z]C=(( 0 1 0)) . On a bien [z]C=(( 0 1 0)) 0-2-2 1 1-1

0 2-1))

(100)) =C-1B[z]B.

Le raisonnement utilis´e dans le dernier exemple est g´en´eral. Nous le r´esumons dans la pro-

position suivante. Proposition4.7.1SoitBetCdeux bases ordonn´ees deRn,BetCles matrices associ´ees. La matrice de passage de la baseB`a la baseCestC-1B, c"est-`a-dire [z]C=C-1B[z]B,??z?Rn. Pour terminer cette section, consid´erons le cas d"une baseorthonorm´eeC ?Rn, ayant comme matrice associ´eeC. L"orthonormalit´e des colonnes deCpeut s"´ecrire sous forme matricielle de la fa¸con suivante, CC t=CtC=In.(4.2)

Les matrices qui poss`edent la propri´et´e (4.2) joueront un grand rˆole dans la suite. Nous les

appellerons matrices orthogonales.

Exemple4.7.2

a)C=? 1 ⎷21⎷2-1 ⎷21⎷2? est orthogonale. b)D=((1 ⎷3-1⎷2-1⎷61 ⎷31⎷2-1⎷61 ⎷302⎷6)) est orthogonale.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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