[PDF] 1°) Vecteurs orthogonaux. Définition. Soit vet deux vecteurs non





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PRODUIT SCALAIRE

Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par Démonstration de la première formule : ... 1) Vecteurs orthogonaux.



1°) Vecteurs orthogonaux. Définition. Soit vet deux vecteurs non

? ? u sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. On note : vu ? ?. ? et on lit u ? est orthogonal 



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.



4.6 Bases orthogonales et bases orthonormales de R

On dit que deux vecteurs de Rn sont orthogonaux si leur produit dans la base B est appelée formule de changement de base alors que B?1 est la matrice ...



VECTEURS ET REPÉRAGE

Un repère est dit orthogonal si ?et ? ont des directions perpendiculaires. Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteurs.



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

R et de vecteur directeur 7? ! Un plan P de vecteur normal 7? ! ... ( ) et P sont sécants si 7? et 77777? ne sont pas orthogonaux.



Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L (CD). -+. -+. AB.l CD. Notation:.



Projection orthogonale.

Déterminer le projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel utilisera la formule précédente pour obtenir le projeté orthogonal de x sur F ...



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

4) Formules de polarisation les vecteurs ? ? et '? sont deux à deux orthogonaux



Sur le produit vectoriel

Sinon l'orthogonal du plan vectoriel (u



Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux - Produit scalaire

vecteurs de la base On doit donc avoir (w~ ? Xk i=1 ?i~vi)·~vj = 0 ?j = 1 k Puisque les ´el´ements de S sont mutuellement orthogonaux ceci se r´eduit `a w~ ·~vj ??jk~vjk2 = 0? ?j = w~ ·~vj k~vjk2 Le r´esultat est obtenu en reportant cette valeur du coe?cient dans l’expression de ~u



Chapitre 10 Vecteurs et espaces vectoriels - Springer

106 Vecteurs orthogonaux Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul on dit que les deux vecteurs sont orthogonaux Du point de vue geometrique deux vecteurs orthogo­ naux sont perpendiculaires Si plus de deux vecteurs orthogonaux ont une longueur egale a 1 on dit qu'ils sont orthonormaux



VECTEURS ET REPÉRAGE - maths et tiques

Dans chaque cas vérifier si les vecteurs B ? et C? sont colinéaires a) B ? ?6 10 / et C? 9 ?15 / b) B ? 4 9 / et C? 11 23 / Correction a) NOP(B ? ; C?)=R ?6 9 10 ?15 R=(?6)×(?15)?10×9=90?90=0 Les vecteurs B ? et C? sont donc colinéaires b) NOP(B ? ; C?)=R 4 11 9 23 R=4×23?9×11=92?99=?7?0



Chapitre 8 : Vecteurs - e-lyco

Définition : Deux vecteurs (?i ?j) sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires Définition : Soit (?i ?j) une base du plan • Une base est dite orthogonale si les vecteurs (?i ?j) sont orthogonaux • Une base est dite orthonormée si la base (?i ?j) est orthogonale et ??i?=??j?=1



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Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont : - même direction - même longueur et - des sens contraires Les vecteurs AB et BA sont opposés On note : AA=?BA 5 Relation de Chasles Soit deux points A et C Quel que soit le point B on a : AB+BC =AC 6 Somme de deux vecteurs AC Soit deux vecteurs u et v La somme de deux vecteurs u et v

Quels sont les vecteurs orthogonaux ?

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v. Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?

Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur.

Comment savoir si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ?

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur. Exemple : Soit u et v deux vecteurs tels que ?u? = 3, ?v ? = 4 et ?u + v ? = 5. u ? v = 21 (52 ?42 ?32) = 21(25?16?9) = 0. Donc u et v sont orthogonaux.

Comment savoir si deux vecteurs sont égaux?

Définition : Dire que deux vecteurs?ABet?CDsont égaux signifie que le point D est l’image du point C par la translationde vecteur?AB. Exercice 2 Dans le carré ABCD de centre O ci-contre, compléter les égalités suivantes : ?AB= ?CB= ?OC= ?DO= Propriétés : A, B, C et D désignent quatre points du plan.

1°) Vecteurs orthogonaux.

Définition.

Soit vet u deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que .ACet vuAB

On dit que

vet u sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

On note :

vu et on lit u est orthogonal à v

Exemple :

Soit ABCD un carré de centre O. A B

Les vecteurs

ADet AB sont orthogonaux, on écrit ADAB.

De même

. , BDOAODOC O Contre-exemple : les vecteurs DCDBet ne sont pas orthogonaux.

D C

Théorème 1 : Expression analytique de la norme et de la distance.

Le plan est muni d'un repère orthonormal

);;(jiO Avec

Ax y y

AA BB (;) ;) et B(x, 22
BAA

ByyxxABAB.

Exemple numérique :

Le plan est muni d'un repère orthonormal

);;(jiO . Soit A(3 ;-2), B(0 ;2) et C(-4 ;-1), montrer que le triangle ABC est isocèle, rectangle en B. Avec u (x ;y), ²²u yx.

Preuve :

Soit A et B tels que

uAB, alors ABAB yyyxxxet , ABet u ont même longueur donc même norme, c'est à dire ABAB yyxxABu, d'où ²²yxu.

Exemple numérique :

Exercice n° 13 3°) et 7°) page 243.

Théorème 2 : Condition analytique d'orthogonalité de deux vecteurs.

Soit u

(x ;y) et v (x' ;y'), u et v sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'=0.

Preuve :

Si l'un des vecteurs

u ou v est nul, l'affirmation est évidente.

Sinon considérons les points A et B tels que

vOBuOA et , c'est à dire A(x ;y) et

B(x' ;y'). Alors

u et v orthogonaux signifie que OAB est un triangle rectangle en O ou

encore AB²=OA²+OB² d'après Pythagore, ce qui se traduit par (x'-x)²+(y'-y)²=x²+y²+x'²+y'²,

c'est à dire x'²-2xx'+x²+y'²-2yy'+y²=x²+y²+x'²+y'², on en déduit que xx'+yy'=0.

Réciproquement, si

u (x ;y) et v (x' ;y') sont tels que xx'+yy'=0, alors toujours avec A(x ;y) et B(x' ;y') tels que vOBuOA et

AB²=(x'-x)²+(y'-y)²=x'²-2xx'+x²+y'²-2yy'+y², AB²=x²+y²+x'²+y'²-2(xx'+yy')=x²+y²+x'²+y'²

et puisque OA²=x²+y², et OB²=x'²+y'² on en déduit AB²=OA²+OB². Alors, d'après la

réciproque du théorème de Pythagore, OAB est rectangle en O, ce qui implique que u et v sont orthogonaux. CHAPITRE VI ORTHOGONALITE DANS LE PLAN

Applications :

a) Soit A(5 ;3), B(8 ;5), C(1 ;-2) et D(-1 ;1). Montrer que (AB) et (CD) sont deux droites perpendiculaires. b) Soit A(3 ;-2), B(0 ;2) et C(-4 ;-1), montrer que le triangle ABC est rectangle en B.

2°) Droites orthogonales.

a) A partir des équations cartésiennes : Soit (D) :ax+by+c=0 et (D') :a'x+b'y+c'=0, deux droites orthogonales. );(abu U et )';'(abv U sont des vecteurs directeurs ,respectivement, de (D) et (D'). Puisque (D) (D') alors vu ce qui se traduit par bb'+aa'=0. Théorème : Condition analytique d'orthogonalité de deux droites. (D) :ax+by+c=0 et (D') :a'x+b'y+c'=0 sont orthogonales si, et seulement si, aa'+bb'=0.

Application :

Les droites (D) et (D') sont-elles orthogonales?

i) (D) :2x-5y+12=0 et (D') :7x+2,8y-13=0 ii) (D) :8x-3y-6=0 et (D') :6x-16y-11=0 b) A partir des équations réduites : Soit (D) :y=mx+p et (D') :y=m'x+p', deux droites orthogonales. );1(mu et )';1(mv sont des vecteurs directeurs, respectivement, de (D) et (D'). Puisque (D) (D') alors vu ce qui se traduit par 1+mm'=0. Théorème : Condition analytique d'orthogonalité de deux droites. (D) :y=mx+p et (D') :y=m'x+p' sont deux droites orthogonales si, et seulement si, mm'=-1.

Application :

Les droites (D) et (D') sont-elles orthogonales?

i) (D) :y=2x-7 et (D') :y=0,5x-12 ii) (D) :y=-4x+5 et (D') :y=0,25x+7 c) Vecteur normal à une droite.

Le vecteur );(abu

U est un vecteur directeur de la droite (D) d'équation cartésienne ax+by+c=0. Le vecteur );(ban est orthogonal à u car 0baab. On dit que le vecteur );(ban est orthogonal ou normal à la droite (D).

Propriété.

Le repère du plan étant orthonormal, un vecteur normal à la droite (D) d'équation ax+by+c=0

est le vecteur non nul );(ban

Application :

Déterminer les composantes d'un vecteur normal à (D). i) (D) :2x-3y+8=0 ii) (D) :5x-4y+9=0

d) Détermination de l'équation cartésienne d'une droite orthogonale à une droite donnée,

passant par un point donné. Soit (D) :2x-3y+5=0 et A(3 ;4), déterminer l'équation cartésienne de la droite (D') orthogonale à (D) et passant par le point A.

Application :Droites remarquables d'un triangle.

Le repère du plan étant orthonormal, soit A(-2 ;3), B(3 ;0) et C(0 ;-3). Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [BC]. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur du triangle ABC issue de A.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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