[PDF] Produit scalaire et orthogonalité dans R

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e& 2eannéeChapitre | AL16 Produit scalaire et orthogonalité dansRnVersion du 10-08-2023 à 15:35

Contexte

Dans tout ce qui suit, sauf mention contraire,ndésignera un entier naturel non nul.1.Produit scalaire et norme associée dansRnDéfinition 1| Produit scalaire euclidien et norme associée

•On appelleproduit scalaire euclidien deRnnoté⟨•|•⟩l"application :⟨•|•⟩:R

n×Rn-→R (u1, ..., un)|{z} u,(v1, ..., vn)|{z} v

7-→ ⟨u|v⟩=u1v1+u2v2+u3v3+...+unvn•On appellenorme euclidienne deRnnoté∥•∥l"application :∥•∥:R

n-→R(u1, ..., un)|{z} u7-→ ∥u∥=pu

21+u22+...+u2nc"est à dire∥u∥2=⟨u|u⟩Proposition 1| Produit du produit scalaire euclidien deRnLe produit scalaire⟨•|•⟩ainsi défini surRnappelé aussiproduit scalaire canonique, possède les propriétes suivantes :Caractère symétrique

⟨u|v⟩=⟨v|u⟩Caractère linéaire à droite | Bilinéaire

∀λ∈R,⟨u|λv+w⟩=λ⟨u|v⟩+⟨u|w⟩On en déduit qu"il est aussilinéaire à gauche. On dit

alors qu"il estbilinéaire.

Caractère positif

⟨u|u⟩ ≥0Caractère défini (⟨u|u⟩= 0)⇔ uest le vecteur nulÉléments de preuve:

Les caractères symétrique et linéaire à droite s"obtiennent directement à partir de la définition.CPGE-BL | 1

e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:351AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeRemarque 1| Lien avec les vecteurs du plan ou de l"espace

À la représentation près des vecteurs deR2ouR3, on retrouve les formules de produit scalaire et de normes de vecteurs

pour les vecteurs du plan ou de l"espace :DansR2Pour -→uu1 u 2 et-→vv1 v 2 deux vecteurs du plan dont les coordonnées sont données dans un repère orthonormé du plan, on a : u .-→v=u1v1+u2v2et -→u =qu

21+u22DansR3Pour

-→u u 1 u 2 u et-→v v 1 v 2 v deux vecteurs de l"espace dont les coordonnées sont données dans un repère orthonormé de l"espace, on a : u .-→v=u1v1+u2v2+u3v3et -→u =qu

21+u22+u23Le produit scalaire euclidien surRnsatisfait les mêmes propriétés que le produit scalaire des vecteurs du plan ou de l"espace,

et prolonge simplement les définitions et résultats donnés en dimension 2 ou 3.Exemple 1| Première application numérique

DansR2, calculer le produit scalaire euclidien⟨(-2,3)|(-1,2)⟩:puis la norme euclidienne de(-3,4)∈R2:DansR3, calculer le produit scalaire euclidien⟨(2,1,3)|(-1,2,4)⟩:puis la norme euclidienne de(1,2,-3)∈R2:Théorème 1| Inégalité de Cauchy-Schwarz

Éléments de preuve:

Soit(x,y)∈Rn×Rn. On considère la fonctionP:t7-→ ⟨x+ty|x+ty⟩. La positivité du produit scalaire donne que :La bilinéarité du produit scalaire donne que :

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e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:352AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeAinsiPest une fonction polynôme de degré 2 qui est de signe constant, son discriminant est donc négatif ou nul.Proposition 2| Homogénéité de la norme et inégalité triangulaire

Pour tout(u,v)∈Rn×Rnetλ∈R:∥λu∥=|λ|∥u∥(∥u∥= 0)⇔

Éléments de preuve:

2=|t|.

Soitu= (u1, ..., un)∈Rn. On a :λu= (λu1, ..., λun). Par suite :∥λu∥2= (λu1)2+...+ (λun)2 =λ2u21+...+λ2u2n=λ2u21+...+u2n

ce qui donne∥λu∥2=λ2∥u∥2et finalement∥λu∥=|λ|∥u∥.

2.C"est une simple conséquence du caractère défini du produit scalaire.

De plus, par bilinéarité du produit scalaire :Proposition 3| Formules liant produit scalaire et norme

Pour tout(x,y)∈Rn×Rn, on a :Identités remarquables

∥x+y∥2=∥x∥2+ 2⟨x|y⟩+∥y∥2∥x-y∥2=∥x∥2-2⟨x|y⟩+∥y∥2Identités de polarisation

⟨x|y⟩=12 ∥x+y∥2- ∥x∥2- ∥y∥2⟨x|y⟩=14 ∥x+y∥2- ∥x-y∥2CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:353AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeIdentité du parallélogramme ∥x+y∥2+∥x-y∥2= 2 ∥x∥2+∥y∥2Éléments de preuve:

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e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:354AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannée2.Distance dansRnDéfinition 2| Distance euclidienne On appelle distance euclidienne deRnnotéd(•,•)l"application :d(•,•) :R n×Rn-→R(u,v)7-→d(u,v) =∥u-v∥Remarque 2| Interprétation géométrique 0uv

Représentation vectorielleu-vu+v•

O•

A•

B Représentation dans le plan ou l"espace--→

OA--→

OB--→

OA---→OBAB=

--→OA---→OB --→AB

La distance entre les deux vecteurs

--→OAet--→OBdont les coordonnées sont vues comme des éléments deR2ouR3est

égale à la distance entre les deux pointsAetBProposition 4| Homogénéité et inégalité triangulaire pour la distance euclidienne

Inégalité triangulaire•-→

0uv-→

w(3) (1)(2) (1) = d(u,v) (2) = d(u,w) (3) = d(w,v)Éléments de preuve:

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e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:355AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannée3.Boules deRnDéfinition 3| Boule ouverte et boule fermée Soita∈Rnetr >0. On appelle :Boule ouverte de centreaet de rayonrB o(a,r) ={u∈Rn,d(a,u)< r}Boule fermée de centreaet de rayonrB 0aru 1u 2u 3u

1......Bo(a,r)

u

1......Bf(a,r)

u

2......Bo(a,r)

u

2......Bf(a,r)

u

3......Bo(a,r)

u

3......Bf(a,r)Remarque 3| Représentation des boules dansR,R2ouR3Pour se représenter les boules ouvertes et fermées dansRnavecn∈ {1,2,3}, on fera abstraction de la représentation

vectorielle des éléments deRntel qu"on vient de le faire dans la définition.Boules deR| Poura∈RR•a

Boule ouverte de

centreaet de rayonra-ra+rR•a

Boule fermée de centre

aet de rayonra-ra+rOn reconnaît les intervalles ouverts et fermés.

Boules deR2| Poura= (a1,a2)∈R2•a

Boule ouverte de

centreaet de rayonrr •a

Boule fermée de centre

aet de rayonrr On reconnaît les disques, avec ou non leur bord.Boules deR3| Poura= (a1,a2,a3)∈R3ar On reconnaît les sphères, avec ou non leur surface.

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e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:356AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannée4.OrthogonalitéDéfinition 4| Vecteurs orthogonaux pour un produit scalaire

Orthoganlité de deux vecteurs

On dit que les vecteursx∈Rnety∈Rnsontorthogonauxlorsque⟨x|y⟩= 0et on le notex⊥y.

Famille orthogonale

On dit que la famille(u1, ..., up)deRnest une

familleorthogonalede vecteurs deRnlorsque :∀(i,j)∈J1;pK×J1;pK, i̸=j, ui⊥ujAutrement dit :∀(i,j)∈J1;pK×

J1;pK, i̸=j,⟨ui|uj⟩= 0Famille orthonormée On dit que la famille(u1, ..., up)de vecteurs deRn est une familleorthonoméeou orthonormale de vec- teurs deRnlorsque c"est une familleorthogonaletelle que pour touti∈J1;pK,∥ui∥= 1.

Proposition 5| Normer un vecteur

Soitx∈Rntel quex̸=-→0.

Alors le vecteur1∥x∥xest un vecteur unitaire.Éléments de preuve:

1∥x∥x

=1∥x∥

× ∥x∥

1∥x∥× ∥x∥

= 1Théorème 2| Théorème de Pythagore pour deux vecteurs deRnSoit(x,y)∈Rn×Rn. Alors :

(x⊥y)⇔ ∥x∥2+∥y∥2=∥x+y∥2Éléments de preuve:

D"après l"identité de polarisation :Théorème 3| Théorème de Pythagore pour une famille dep≥3vecteurs deRnSi(u1, ..., up)une familleorthogonaledep≥3vecteurs deRn,alors∥u1+u2+...+up∥2=∥u1∥2+∥u2∥2+...+∥up∥2.

Réciproque fausse dans ce cas.

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e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:357AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeThéorème 4| Liberté d"une famille orthogonale Si(u1, ..., up)est une familleorthogonalede vecteurs deRnne contenant pasle vecteur nul -→0,alorsla famille (u1, ..., up)est unelibredeRn.Éléments de preuve:

5.Vecteur orthogonal à un sous-espaceDéfinition 5| Vecteur orthogonal à un sous-espace

Soitxun vecteur deRnetFunsous-espacedeRn.

On dit que le vecteurxestorthogonalàFlorsqu"il est orthogonal àtoutvecteur deF.

Ainsi, on a :(xest orthogonal àF)⇔(∀f∈F,⟨x|f⟩= 0)Théorème 5| Famille génératrice et orthogonalité

SoitFun sous-espace vectoriel deRntel queF= Vect (f1,...,fp).

Un vecteurx∈Rn

est orthogonal àF ∀i∈J1;pK,⟨x|fi⟩= 0Méthode 1| Vecteur orthogonal à un sous-espace Pour montrer qu"un vecteurxdeRnest orthogonal à un sous-espaceFdeRn, on peut :

Étape 1 :chercher une familleF= (f1, ..., fp)génératrice deF, c"est à direF= Vect (f1,...,fp).

Étape 2 :montrer que pour touti∈J1;pK, le vecteurxest orthogonal au vecteurfi, c"est à dire :

∀i∈J1;pK,⟨x|fi⟩= 0Application 1|Réf.4065On munitR4de son produit scalaire canonique et on considère le sous-espaceFdeR4donné par :

F=(x,y,z,t)∈R4,2x-t= 0, x+ 2y-z= 0

Montrer que le vecteur

-→u= (1,-2,1,-1)est orthogonal àF.CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:358AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeDéfinition 6| Sous-espace orthogonaux

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deRn.

On dit queFetGsont orthogonaux lorsque :∀(f,g)∈F×G,⟨f|g⟩= 0

Lorsque ce sera le cas, on noteraF⊥G.Exemple 2| Deux sous-espaces orthogonaux deR3Montrer queH=(x,y,z)∈R3, x+y+z= 0etG= Vect ((1,1,1))sont deux sous-espaces ortho-

gonaux deR3.6.Orthogonal d"un sous-espace vectorielDéfinition 7| Orthogonal d"un sous-espace

SoitFunsous-espacevectoriel deRn.

On appelleorthogonaldeFet on noteF

⊥, l"ensemble défini par : F ⊥={x∈E,∀f∈F,⟨x|f⟩= 0}On retiendra donc que :F ⊥est l"ensemble desvecteurs orthogonauxà tousles vecteurs deF

Il vient notamment que :E⊥=n-→0o

etn-→0o ⊥=E.Théorème 6| Structure vectorielle de l"orthogonal

SiFun sous-espace vectoriel deRn,alorsF⊥est unsous-espacevectoriel deRn.Éléments de preuve:

F ⊥⊂E:par définition deF⊥.

-→0∈F⊥:en effet, le vecteur nul étant orthogonal à tous les vecteurs deRn, il est orthogonal à tous les vecteurs de

F.

Stabilité deF⊥par combinaison linéaire :soientu1∈F⊥,u2∈F⊥etλ∈R. On posew=λu1+u2. Pour tout

f∈F, on a :Doncλu1+u2∈F⊥ce qui est ce que l"on voulait.CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:359AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRn

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e& 2eannéeProposition 6| Propriétés de l"orthogonal SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels orthogonaux deRn.SiF⊥G,alorsF∩G=n-→0o.

Éléments de preuve:

Soitx∈F∩G. Il vient que⟨x|x⟩= 0carx∈Fetx∈G avecF⊥G. Donc∥x∥= 0ce qui donnex=-→0. D"où l"inclusion

F∩G⊂n-→0o

, l"inclusion réciproque étant triviale.F∩F⊥=n-→0oÉléments de preuve: PuisqueFetF⊥sont orthogonaux d"après le point précédent, il vient queF∩F⊥=n-→0o .F⊂F⊥⊥.

Éléments de preuve:

Par définition,

F⊥⊥=n

u∈E,∀f∈F⊥,⟨u|f⟩= 0o

Soit alorsx∈F. Montrons quex∈

F⊥⊥, c"est à dire que :∀f∈F⊥,⟨x|f⟩= 0.

Soit alorsf∈F⊥. Commex∈F, etf∈F⊥, il vient que⟨x|f⟩= 0, doncx∈

F⊥⊥d"où

l"inclusion voulue.Application 2|Réf.4067On munitR4de son produit scalaire canonique et on considère le sous-espaceFdeR4donné par :F=(x,y,z,t)∈R4,2x-t= 0, x+ 2y-z= 0.

Déterminer une base deF⊥.CPGE-BL | 1

e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:3510AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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