PRODUIT SCALAIRE
Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de ...
1 Produit scalaire et orthogonalité
1.2 Vecteurs orthogonaux. Dans toute la suite on se place dans le cadre d'un espace vectoriel euclidien E
Produit scalaire et orthogonalité dans R
Définition 4 – Vecteurs orthogonaux pour un produit scalaire. Orthoganlité de deux vecteur. On dit que les vecteurs x ? Rn et y ? Rn sont orthogonaux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Vecteurs orthogonaux
Selon la définition des vecteurs orthogonaux on a. ---. Pour 0 ~{U
PRODUIT SCALAIRE
? avec k un nombre réel. II. Produit scalaire et orthogonalité. 1) Vecteurs orthogonaux. Propriété : Les vecteurs <?
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo. I. Produit scalaire et orthogonalité. 1) Vecteurs orthogonaux.
PRODUIT SCALAIRE
Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de ...
Produit scalaire dans le plan Fiche
ramener ainsi à des calculs de produits scalaires sur des vecteurs orthogonaux ou colinéaires. 2. Quels sont les cas particuliers à connaître ?
Projection orthogonale dun vecteur sur un autre dans R
( a) est le vecteur résultant de la projection orthogonale de a sur b. Alors projb par une propriété du produit scalaire. ?? ?
PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques
Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs !"? et (? sont orthogonaux si et seulement si !"? (?=0 Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul la démonstration est évidente Supposons le contraire !"? (?=0 ?!"??×?(??×- (!"? ; (?)=0 - (!"? ; (?)=0 Les vecteurs
Produit scalaire - Maths-coursfr
D’après la définition du produit scalaire est positif ou nul ; Il admet donc une racine carrée que l’on note u•u GG uu• • = u G GG Définition On appelle norme ou longueur du vecteur u associée au produit scalaire (•) et notée G u • G le scalaire : uu••uu2 u •• =?= GGGGG u G 1 1 Le produit scalaire canonique de
Produit scalaire – Fiche de cours
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?u et ?v peut être défini par : ?u??v= 1 2 (??u+?v?2???u?2???v?2) On pourra utiliser la relation suivante : ?u??v= 1 2 (??u?2+??v?2???u??v?2) c Propriétés de bilinéarité - symétrie : ?u??v=?v??u
PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis
Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC?; AC CB? AB AH? AH BC? et OA OB? Exercice n° 4 u et v sont deux vecteurs de même norme Démontrer que les vecteurs u v+ et u v? sont deux vecteurs orthogonaux Exercice n° 5 AB et C sont trois points du plan tels que AB=3 AC=2 et BAC = 3 ? radians
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Produit scalaire – Fiche de cours 1 Le produit scalaire a Définition Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?u et ?v est le re el suivant : ?u??v=?u?????v??cos(u??v) b Autres expressions du produit scalaire - projeté orthogonal ?AB et ?CD sont deux vecteurs C et D se projettent orthogonalement en
Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?
Deux vecteurs vec {u} u et vec {v} v sont orthogonaux si et seulement si : vec {u}.vec {v}=0 u.v = 0 Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
Comment appelle-t-on un produit scalaire?
On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par : - !"?.(?=0, si l'un des deux vecteurs !"? et (? est nul - !"?.(?=?!"??×?(??×,-.(!"? ; (?), dans le cas contraire. !"?.(? se lit "!"? scalaire (?".
Quelle est la norme d'un vecteur?
1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur !"? et deux points A et B tels que !"?=%&"""""?. La norme du vecteur !"?, notée ?!"??, est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit !"? et (? deux vecteurs du plan. On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par :
Quel est le chapitre de produits scalaires et orthogonalité ?
Chapitre 5 : Produit scalaire et Orthogonalité - page 6/14 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (17/02/03) ......................................................................................................................................................................................................
PRODUIT SCALAIRE
La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativementrécent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann
Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre.
Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.Partie 1 : Définition et propriétés
1) Définitions
Définition : Soit deux points í µ et í µ.La norme du vecteur í µí µ
, notée %í µí µ %, est la distance í µí µ.Définition : Soit í µí µ
et í µí µ deux vecteurs.On appelle produit scalaire de í µí µ
par í µí µ , noté í µí µ , le nombre réel défini par :Propriété : í µí µ
Remarques :
• í µí°µâƒ—.í µâƒ—se lit " í µí°µâƒ— scalaire í µâƒ— ».• Si l'un des deux vecteurs í µí°µâƒ— et í µâƒ— est nul, alors í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0,
Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinusVidéo https://youtu.be/dfxz40fK0UI
a) Soit un triangle équilatéral í µí µí µ de côté 5.Calculer le produit scalaire í µí µ
b) Soit í µ le milieu de [í µí µ].Calculer le produit scalaire í µí µ
Correction
a) í µí µ =5×5×cos9 3 =25 ×0,5 = 12,5 2 b) Le produit scalaire í µí µ est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors un point í µ tel que : í µí µDe cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine
le point í µ (voir figure ci-contre). =2,5×5×cosB2í µ
3 C =12,5×(-0,5) = -6,25 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0 est une maladresse à éviter !2) Propriétés
Propriété de symétrie : í µí°µâƒ—.í µâƒ—=í µâƒ—.í µí°µâƒ—Propriétés de bilinéarité :
1) í µí°µâƒ—.
=í µí°µâƒ—.í µâƒ—+í µí°µâƒ—.í µí°µí°µâƒ— 2) í µí°µâƒ—. =í µí µí°µâƒ—.í µâƒ—, avec í µ un nombre réel.Identités remarquables :
1) +2í µí°µâƒ—.í µâƒ—+ 2) 3) Méthode : Appliquer les propriétés du produit scalaireVidéo https://youtu.be/_SDj-fG1S18
Vidéo https://youtu.be/P0nKS-cTEO0
Soit í µí°µâƒ—et í µâƒ— deux vecteurs de normes respectives 2 et 3 et tels que : í µí°µâƒ—.í µâƒ—=1.
Calculer : 1)
2) í µí°µâƒ—.
3) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.
3í µí°µâƒ—-í µâƒ—
Correction
1)2)í µí°µâƒ—.
3) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.
3í µí°µâƒ—-í µâƒ—
=í µí°µâƒ—.í µí°µâƒ—+í µí°µâƒ—.í µâƒ— =-6í µâƒ—.í µí°µâƒ—+2í µâƒ—.í µâƒ—
+í µí°µâƒ—.í µâƒ— =-6í µâƒ—.í µí°µâƒ—+2 =2 -3 =2 +1 =-6í µí°µâƒ—.í µâƒ—+2 =-5 =5 =-6×1+2×3 =12 3Partie 2 : Produit scalaire et orthogonalité
1) Projeté orthogonal
Propriété : Les vecteurs í µí°µâƒ— et í µâƒ— sont orthogonaux si et seulement si í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0.
Démonstration :
Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.Supposons le contraire.
í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0 =0 =0 ⟺ Les vecteurs í µí°µâƒ— et í µâƒ— sont orthogonauxDéfinition : Soit une droite d et un point M.
Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.Propriété : Soit í µí µ
et í µí µ deux vecteurs non nuls. í µ est le projeté orthogonal du point í µ sur la droite (í µí µ).On a : í µí µ
Démonstration :
/, d'après la relation de Chasles.En effet, les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont orthogonaux donc í µí µ =0. 4 Méthode : Calculer un produit scalaire par projectionVidéo https://youtu.be/2eTsaa2vVnI
Vidéo https://youtu.be/K4Izn5xB_Qk
Vidéo https://youtu.be/-Hr28g0PFu0
Soit un carré í µí µí µí µ de côté 4.Calculer les produits scalaires :
a) í µí µ b) í µí µ c) í µí µCorrection
a) í µ est le projeté orthogonal de í µ sur (í µí µ), alors : =4 =16 b) í µí µ =0 car les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. c) Comme í µí µ , on a : =-16 Partie 3 : Produit scalaire dans un repère orthonorméLe plan est muni d'un repère orthonormé
Propriété : Soit í µí°µâƒ—9
< et í µâƒ—BC deux vecteurs.
On a : í µí°µâƒ—.í µâƒ—=í µí µ +í µí µâ€² et Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (1)Vidéo https://youtu.be/aOLRbG0IibY
Soit í µí°µâƒ—9
5 -4 < et í µâƒ—9 -3 7 < deux vecteurs. Calculer í µí°µâƒ—.í µâƒ—Correction
í µí°µâƒ—.í µâƒ—=5× -3 -4×7=-15-28=-43
Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (2)Vidéo https://youtu.be/cTtV4DsoMLQ
On considère quatre points í µ9
2 1 <, í µ9 5 3 <, í µ9 1 4 < et í µ9 5 -2 Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont perpendiculaires. 5Correction
- Calculons les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ 9 5-2 3-1 <=9 3 2 < et í µí µ 9 5-1 -2-4 <=9 4 -6 - Calculons le produit scalaire des deux vecteurs : =3×4+2× -6 =12-12=0 - Le produit scalaire est nul donc les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. Et donc, les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont perpendiculaires. Méthode : Appliquer plusieurs formules du produit scalaireVidéo https://youtu.be/Ok6dZG8WIL8
Calculer la mesure de l'angle í µí µí µ
en calculant le produit scalaire í µí µ de deux façons. On pourra lire les coordonnées des points í µ, í µ, í µ et í µ dans le repère ci-contre.Correction
En calculant le produit scalaire í µí µ avec la formule du cosinus, on a :Or : í µí µ=
5 +1 25+1=26
Y 2 +4 4+16= 20
Donc : í µí µ
26×
20×cosí± í µí µí µ
520×cosí± í µí µí µ
En calculant le produit scalaire í µí µ avec la formule des coordonnées, on a : 9 5 -1 < et í µí µ 9quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] économie et démographie economie approfondie
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