PRODUIT SCALAIRE
Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de ...
1 Produit scalaire et orthogonalité
1.2 Vecteurs orthogonaux. Dans toute la suite on se place dans le cadre d'un espace vectoriel euclidien E
Produit scalaire et orthogonalité dans R
Définition 4 – Vecteurs orthogonaux pour un produit scalaire. Orthoganlité de deux vecteur. On dit que les vecteurs x ? Rn et y ? Rn sont orthogonaux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Vecteurs orthogonaux
Selon la définition des vecteurs orthogonaux on a. ---. Pour 0 ~{U
PRODUIT SCALAIRE
? avec k un nombre réel. II. Produit scalaire et orthogonalité. 1) Vecteurs orthogonaux. Propriété : Les vecteurs <?
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo. I. Produit scalaire et orthogonalité. 1) Vecteurs orthogonaux.
PRODUIT SCALAIRE
Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de ...
Produit scalaire dans le plan Fiche
ramener ainsi à des calculs de produits scalaires sur des vecteurs orthogonaux ou colinéaires. 2. Quels sont les cas particuliers à connaître ?
Projection orthogonale dun vecteur sur un autre dans R
( a) est le vecteur résultant de la projection orthogonale de a sur b. Alors projb par une propriété du produit scalaire. ?? ?
PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques
Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs !"? et (? sont orthogonaux si et seulement si !"? (?=0 Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul la démonstration est évidente Supposons le contraire !"? (?=0 ?!"??×?(??×- (!"? ; (?)=0 - (!"? ; (?)=0 Les vecteurs
Produit scalaire - Maths-coursfr
D’après la définition du produit scalaire est positif ou nul ; Il admet donc une racine carrée que l’on note u•u GG uu• • = u G GG Définition On appelle norme ou longueur du vecteur u associée au produit scalaire (•) et notée G u • G le scalaire : uu••uu2 u •• =?= GGGGG u G 1 1 Le produit scalaire canonique de
Produit scalaire – Fiche de cours
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?u et ?v peut être défini par : ?u??v= 1 2 (??u+?v?2???u?2???v?2) On pourra utiliser la relation suivante : ?u??v= 1 2 (??u?2+??v?2???u??v?2) c Propriétés de bilinéarité - symétrie : ?u??v=?v??u
PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis
Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC?; AC CB? AB AH? AH BC? et OA OB? Exercice n° 4 u et v sont deux vecteurs de même norme Démontrer que les vecteurs u v+ et u v? sont deux vecteurs orthogonaux Exercice n° 5 AB et C sont trois points du plan tels que AB=3 AC=2 et BAC = 3 ? radians
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Produit scalaire – Fiche de cours 1 Le produit scalaire a Définition Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?u et ?v est le re el suivant : ?u??v=?u?????v??cos(u??v) b Autres expressions du produit scalaire - projeté orthogonal ?AB et ?CD sont deux vecteurs C et D se projettent orthogonalement en
Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?
Deux vecteurs vec {u} u et vec {v} v sont orthogonaux si et seulement si : vec {u}.vec {v}=0 u.v = 0 Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
Comment appelle-t-on un produit scalaire?
On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par : - !"?.(?=0, si l'un des deux vecteurs !"? et (? est nul - !"?.(?=?!"??×?(??×,-.(!"? ; (?), dans le cas contraire. !"?.(? se lit "!"? scalaire (?".
Quelle est la norme d'un vecteur?
1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur !"? et deux points A et B tels que !"?=%&"""""?. La norme du vecteur !"?, notée ?!"??, est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit !"? et (? deux vecteurs du plan. On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par :
Quel est le chapitre de produits scalaires et orthogonalité ?
Chapitre 5 : Produit scalaire et Orthogonalité - page 6/14 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (17/02/03) ......................................................................................................................................................................................................
PRODUIT SCALAIRE
La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.I. Définition et propriétés
1) Norme d'un vecteur
Définition : Soit un vecteur í µí±¢âƒ— et deux points A et B tels que í µí±¢âƒ—=í µí µ
La norme du vecteur í µí±¢âƒ—, notée
, est la distance AB.2) Définition du produit scalaire
Définition : Soit í µí±¢âƒ— et í µâƒ— deux vecteurs du plan.On appelle produit scalaire de í µí±¢âƒ— par í µâƒ—, noté í µí±¢âƒ—.í µâƒ—, le
nombre réel défini par :- í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=0, si l'un des deux vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ— est nul
, dans le cas contraire. í µí±¢âƒ—.í µâƒ—se lit "í µí±¢âƒ— scalaire í µâƒ—".Remarque :
Si í µí µ
et í µí µ sont deux représentants des vecteurs non nuls í µí±¢âƒ— et í µâƒ— alors : 8 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide du cosinusVidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs
Soit un triangle équilatéral ABC de côté a. Calculer, en fonction de a, le produit scalaire í µí µ 8 =í µÃ—í µÃ—cos60°×0,5
2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=0 est une maladresse à éviter !3) Propriété de symétrie du produit scalaire
Propriété de symétrie : Pour tout vecteur í µí±¢âƒ— et í µâƒ—, on a : í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=í µâƒ—.í µí±¢âƒ—
Démonstration :
On suppose que í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire).
4) Opérations sur les produits scalaires
Propriétés de bilinéarité : Pour tous vecteursí µí±¢âƒ—, í µâƒ— et í µí±¢í±¢âƒ—, on a :
1) í µí±¢âƒ—.
=í µí±¢âƒ—.í µâƒ—+í µí±¢âƒ—.í µí±¢í±¢âƒ— 2) í µí±¢âƒ—. =í µí µí±¢âƒ—.í µâƒ—, avec k un nombre réel. - Admis - Calculer un produit scalaire à l'aide de la bilinéarité :Vidéo https://youtu.be/P0nKS-cTEO0
5) Identités remarquables
Propriétés : Pour tous vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ—, on a : 1) 2) 3)Démonstration pour le 2) :
II. Produit scalaire et norme
1) Propriétés
Soit un vecteurí µí±¢âƒ—, on a :
×cos0=
et í µí±¢âƒ—.í µí±¢âƒ—=í µí±¢âƒ—On a ainsi : í µí±¢âƒ—
3 Propriété : Soit í µí±¢âƒ— et í µâƒ— deux vecteurs. On a : et í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=Démonstration de la première formule :
-2í µí±¢âƒ—.í µâƒ—+Donc í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=
Propriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :Démonstration :
FEí µí µ
F Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des normes On considère la figure ci-contre, calculer le produit scalaire í µí µ 1 2 6 +7 -3 = 382) Théorème d'Al Kashi
A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 1430) vit sous la protection du prince Ulugh- Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (1424), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2p avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes :2p ≈ 6,283 185 307 179 586 5
4 Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure : -2í µí µcosí µDémonstration :
Vidéo https://youtu.be/34OJiQ_4-N4
=í µí µcosí µ etDonc :
=í µí µcosí µSoit : í µ
=2í µí µcosí µSoit encore : í µ
-2í µí µcosí µ Méthode : Appliquer le théorème d'Al KashiVidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc
On considère la figure ci-contre, calculer la mesure de l'angle í µí µí µ 8 au degré près.D'après le théorème d'Al Kashi, on a :
8 4 =6 +5 -2×6×5×cosí µí µí µ 816=36+25-60cosí µí µí µ
860cosí µí µí µ
8 =36+25-1660cosí µí µí µ
8 =45 cosí µí µí µ 8 cosí µí µí µ 8 8 ≈41° 5III. Produit scalaire et orthogonalité
1) Vecteurs orthogonaux
Propriété : Les vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont orthogonaux si et seulement si í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=0.
Démonstration :
Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.Supposons le contraire.
í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=0 =0 =0 ⟺ Les vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont orthogonaux2) Projection orthogonale
Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété : Soit í µí±¢âƒ— et í µâƒ— deux vecteurs non nuls du plan tels que í µí±¢âƒ—=í µí µ et í µâƒ—=í µí µH est le projeté orthogonal du point B sur la
droite (OA). On a : í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=í µí µDémonstration :
En effet, les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont orthogonaux donc í µí µ =0. 6 Méthode : Calculer un produit scalaire par projectionVidéo https://youtu.be/2eTsaa2vVnI
Soit un carré ABCD de côté c.
Calculer, en fonction de c, les produits scalaires : a) í µí µ b) í µí µ c) í µí µ a) Par projection, on a : b) í µí µ =0 car les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. c) í µí µ3) Transformation de l'expression í µí µ
Propriété : L'ensemble des points M vérifiant l'égalité í µí µ =0 est le cercle de diamètre [AB].Démonstration :
Soit O le milieu du segment [AB].
On a :
=0 @=0 Comme O est le milieu de [AB], on a : í µí µSoit :
@=0 =0 car =0Soit : í µí µ
soit encore í µí µ=í µí µ. M appartient donc au cercle de centre O et de rayon OA, c'est-à -dire le cercle de diamètre [AB]. Propriété : Un point M, distinct de A et B, appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si le triangle ABM est rectangle en M.Justification : í µí µ
=0 si et seulement si les vecteurs et í µí µ sont orthogonaux. 7 IV. Produit scalaire dans un repère orthonorméLe plan est muni d'un repère orthonormé
Propriété : Soit í µí±¢âƒ— et í µâƒ— deux vecteurs de coordonnées respectives
et On a : í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=í µí µDémonstration :
car =1, le repère étant normé, et í µâƒ—.í µâƒ—=í µâƒ—.í µâƒ—=0, le repère étant orthogonal. Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnéesVidéo https://youtu.be/aOLRbG0IibY
Vidéo https://youtu.be/cTtV4DsoMLQ
Soit í µí±¢âƒ—
5;-4 et í µâƒ— -3;7 deux vecteurs. Calculer í µí±¢âƒ—.í µâƒ— í µí±¢âƒ—.í µâƒ—=5× -3 -4×7=-15-28=-43
Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaireVidéo https://youtu.be/ca_pW79ik9A
Calculer la mesure de l'angle >í µí µ
@ en lisant les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère.On a :
4-(-1)
2-1 4-23-(-1)
×cos>í µí µ
520×cos>í µí µ
=2130×cos>í µí µ
8On a également : í µí µ
5;-1 et í µí µ -2;-4 , donc : =5 x (-2) + (-1) x (-4) = -6On a ainsi : 2
130×cos>í µí µ
@=-6Et donc : cos>í µí µ
Et : >í µí µ
@≈105,3°.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] économie et démographie economie approfondie
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