[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) I. Module et argument d'





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NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif



I Module et Argument dun nombre complexe

Exemple 1 Calculer le module et l'argument de z1 =1+ i z2 =1+ i?3



V Douine – Terminale – Maths expertes – Nombres complexes

Calculer le module des nombres complexes. 2 z i. = + . 3 4 z i. = ? et. 3. z i. = . Déterminer un module et un argument. 1. Déterminer la forme algébrique des.



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LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe

Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif noté U sous- groupe du groupe multiplicatif (C



Terminale S MODULES ET ARGUMENTS OM) +b2 EXERCICE 1

si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est ? alors il s'écrit z = r (cos? + i sin? ). EXERCICE 1 Forme trigonométrique et argument. 1.



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L'ARGUMENT DU PARALOGISME. Christian Plantin. CNRS Éditions



Votre argument est-il solide ?

31 janv. 2019 Conclusion. Plan. 1 Introduction. 2 Langage formel pour représenter des arguments. 3 Système de raisonnement sur des arguments.



Tautologies Arguments - Department of Computer Science

1 Arguments De nition: An argument has the form A1 A2 An B A1;:::;An are called the premises of the argument; B is called the conclusion An argument is valid if whenever the premises are true then the conclusion is true 2 Logical Implication A formulaAlogically implies B if A )B isatautology Theorem: An argument is valid i the



11 Argument Principle - MIT OpenCourseWare

argument is something with more structure more akin to the logician's notion of derivation : a series of statements with intermediate steps providing the transition from premises to conclusion



11 Argument Principle - MIT OpenCourseWare

1 The argument principle says Ind( ý 1 0) = 1 ? = 2 Likewise has no poles and one zero inside 2 so Ind( ý 2 0) = 1?0 = 1 For 3 a zero of is on the curve i e (?1) = 0 so the argument principle doesn’t apply The image of 3 is shown in the ?gure below – it goes through 0 Re(z ) Im(z ) 1 2 3 1 2 2 1 Re(w ) Im(w ) w f



ARGUMENTATION AND DEBATE AN INTRODUCTION - Writing Arguments

1 accepting it This book is intended as an introduction to major concepts in argumentation logic and public advocacy It is built around the framework of academic debate an activity that is practiced in schools around the world



Chapter 2 - Recognizing and Analyzing Arguments

Arguments are groups of informative sentences that is sentences with truth values We must note however that not every group of sentences that have a truth value constitutes an argument So we are going to have to do some digging to determine whether a given group of true/false sentences does or does not add up to an argument



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What is the argument principle?

11.1 Introduction The argument principle (or principle of the argument) is a consequence of the residue theorem. It connects the winding number of a curve with the number of zeros and poles inside the curve. This is useful for applications (mathematical and otherwise) where we want to know the location of zeros and poles.

What is the analytic proof of the argument principle?

Here is the analytic proof. The argument principle requires the function to have no zeros or poles on So we ?rst show that this is true of ? ? The argument is goes as follows. Zeros: The fact that 0 ? ð

When is an argument valid?

An argument is valid if, whenever the premises are true, then the conclusion is true. 2 Logical Implication A formulaAlogically implies B if A )B isatautology. Theorem: An argument is valid i the conjunction of its premises logically implies the conclusion.

What is the structure of an argument?

argument is something with more structure, more akin to the logician's notion of derivation : a series of statements with intermediate steps providing the transition from premises to conclusion.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct

O; u; v . I. Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib . On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a 2 +b 2

. M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM. Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a)

z 2 =zz b) z=z c) -z=z

Démonstrations : a)

zz=a+ib a-ib =a 2 -ib 2 =a 2 -i 2 b 2 =a 2 +b 2 =z 2 b) z=a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z c) -z=-a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z

Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Calculer : a) 3-2i

b) -3i c) 2-i YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2a) 3-2i=3 2 +(-2) 2 =13 b) -3i=-3×i=3×1=3 c) 2-i=2-i=2 2 +-1 2 =2+1=3

2) Argument Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle. On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle

u;OM . Remarques : - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg(z)+2kπ k∈! . On notera arg(z) modulo 2π ou arg(z)2π - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u ;OM n'est pas défini. Exemple : Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Soit z=3+3i . Alors z=3+3i=3 2 +3 2 =18=32 Et arg(z)= 4 2π . Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul. a) z est un nombre réel ⇔arg(z)=0π , b) z est un imaginaire pur ⇔arg(z)= 2 . c) arg(z)=-arg(z) d) arg(-z)=arg(z)+π

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Démonstrations : a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe 1) Définition Propriété : Soit

z=a+ib un nombre complexe non nul. On pose :

θ=arg(z)

On a alors :

a=zcosθ et b=zsinθ . Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture z=zcosθ+isinθ avec

θ=arg(z)

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4 Ecrire le nombre complexe

z=3+i sous sa forme trigonométrique. - On commence par calculer le module de z : z=3+1=2 - En calculant z z , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire : z z 3 2 1 2 i

On cherche donc un argument θ

de z tel que : cosθ= 3 2 et sinθ= 1 2 . Comme cos 6 3 2 et sin 6 1 2 , on a : z z =cos 6 +isin 6

Donc :

z=2cos 6 +isin 6 avec arg(z)= 6 2π

. Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus : 2) Propriétés Inégalité triangulaire : Soit z et z ' deux nombres complexes.

Démonstration : Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul. Produit

zz'=zz' arg(zz')=arg(z)+arg(z')

Puissance

z n =z n arg(z n )=narg(z)

Inverse

1 z 1 z arg 1 z =-arg(z)

Quotient

z z' z z' arg z z' =arg(z)-arg(z')

Démonstration pour le produit : On pose

θ=arg(z)

et

θ'=arg(z')

zz'=zcosθ+isinθ z'cosθ'+isinθ' =zz'cosθcosθ'-sinθsinθ' +isinθcosθ'+cosθsinθ' =zz'cosθ+θ' +isinθ+θ'

Donc le module de

zz' est zz' et un argument de zz' est

θ+θ'=arg(z)+arg(z')

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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