[PDF] Terminale S MODULES ET ARGUMENTS OM) +b2 EXERCICE 1





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NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif



I Module et Argument dun nombre complexe

Exemple 1 Calculer le module et l'argument de z1 =1+ i z2 =1+ i?3



V Douine – Terminale – Maths expertes – Nombres complexes

Calculer le module des nombres complexes. 2 z i. = + . 3 4 z i. = ? et. 3. z i. = . Déterminer un module et un argument. 1. Déterminer la forme algébrique des.



Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

1 Représentation géométrique d'un nombre complexe Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Figure 1 – Interprétation géométrique.



LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe

Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif noté U sous- groupe du groupe multiplicatif (C



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si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est ? alors il s'écrit z = r (cos? + i sin? ). EXERCICE 1 Forme trigonométrique et argument. 1.



Neuf arguments en faveur de la formation de laccueil et de l

1. ARGUMENTAIRE EN FAVEUR DU PROGRAMME PRIMOKIZ. INVESTIR DANS LA PETITE ENFANCE: UNE ACTION JUDICIEUSE. Neuf arguments en faveur de.



Exercice 1 : Arguments de main

19 juin 2020 1 Écrire un programme qui affiche tous ses arguments passés en ligne de commande. Solution. #include <stdio.h> int main(int argc char* argv[]) ...



Largument du paralogisme

L'ARGUMENT DU PARALOGISME. Christian Plantin. CNRS Éditions



Votre argument est-il solide ?

31 janv. 2019 Conclusion. Plan. 1 Introduction. 2 Langage formel pour représenter des arguments. 3 Système de raisonnement sur des arguments.



Tautologies Arguments - Department of Computer Science

1 Arguments De nition: An argument has the form A1 A2 An B A1;:::;An are called the premises of the argument; B is called the conclusion An argument is valid if whenever the premises are true then the conclusion is true 2 Logical Implication A formulaAlogically implies B if A )B isatautology Theorem: An argument is valid i the



11 Argument Principle - MIT OpenCourseWare

argument is something with more structure more akin to the logician's notion of derivation : a series of statements with intermediate steps providing the transition from premises to conclusion



11 Argument Principle - MIT OpenCourseWare

1 The argument principle says Ind( ý 1 0) = 1 ? = 2 Likewise has no poles and one zero inside 2 so Ind( ý 2 0) = 1?0 = 1 For 3 a zero of is on the curve i e (?1) = 0 so the argument principle doesn’t apply The image of 3 is shown in the ?gure below – it goes through 0 Re(z ) Im(z ) 1 2 3 1 2 2 1 Re(w ) Im(w ) w f



ARGUMENTATION AND DEBATE AN INTRODUCTION - Writing Arguments

1 accepting it This book is intended as an introduction to major concepts in argumentation logic and public advocacy It is built around the framework of academic debate an activity that is practiced in schools around the world



Chapter 2 - Recognizing and Analyzing Arguments

Arguments are groups of informative sentences that is sentences with truth values We must note however that not every group of sentences that have a truth value constitutes an argument So we are going to have to do some digging to determine whether a given group of true/false sentences does or does not add up to an argument



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California State University Long Beach

What is the argument principle?

11.1 Introduction The argument principle (or principle of the argument) is a consequence of the residue theorem. It connects the winding number of a curve with the number of zeros and poles inside the curve. This is useful for applications (mathematical and otherwise) where we want to know the location of zeros and poles.

What is the analytic proof of the argument principle?

Here is the analytic proof. The argument principle requires the function to have no zeros or poles on So we ?rst show that this is true of ? ? The argument is goes as follows. Zeros: The fact that 0 ? ð

When is an argument valid?

An argument is valid if, whenever the premises are true, then the conclusion is true. 2 Logical Implication A formulaAlogically implies B if A )B isatautology. Theorem: An argument is valid i the conjunction of its premises logically implies the conclusion.

What is the structure of an argument?

argument is something with more structure, more akin to the logician's notion of derivation : a series of statements with intermediate steps providing the transition from premises to conclusion.

Terminale S

MODULES ET ARGUMENTS

· Soitw un vecteur d'affixe z .

On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de l'angleu;w . ·Si M a pour affixe z ,arg(z)=(⃗u;⃗OM) ·Si M est le point du plan complexe d'affixe z , alors |z| représente la distance OM . ·Si z s'écrit z = a + ib , alors ∣z∣= Déterminer le module et l'argument d'un nombre complexeQuelques cas particuliers : Si z est un réel positif , arg(z) = 0 [2 p]Si z est un réel négatif , arg(z) = p [2 p]Si z s'écrit z = ib , avec b > 0 , arg(z) = p/2 [2 p]Si z s'écrit z = ib , avec b < 0 , arg(z) = -p/2 [2 p]

On peut déterminer le module et un argument à l'aide de méthodes géométriques ou par le calcul :

· on détermine r , la valeur du module de z (à l'aide de la formule |z| = a2b2)

· en notant ,

q = arg(z) , on doit avoir r cos(q) = a et r sin(q) = b . Exemple : Pour trouver le module et un argument de z=-33 3i .

Le module de z est

=927=6 .

En notant ,

q = arg(z) , on doit donc avoir 6 cosq = -3 et 6 sinq = 3 Ö3 , donc cosq = -1/2 et sinq = Ö3/2 .

La valeur de

q dans ]-p ; p] qui correspond à ces valeurs est q = 2p/3 .

Forme trigonométrique :

si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est q, alors il s'écrit z = r (cosq + i sinq )

EXERCICE 1 Forme trigonométrique et argument

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres

z1=5; z2=-4i z3=3-3i ;

2. Donner la forme trigonométrique de z4=4+4i

3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O;u;v .

On note A , B et C les points d'affixes respectives zA=cosπ

4+isinπ

4 ;zB=-3etzC=6-6i3 .

Déterminer les valeurs de OA , OB et OC , puis une mesure de u;OA; u;OB et u;OC.

EXERCICE 2 Calculs de distances

· Rappel : La distance AB est égale à ∣zB-zA∣ ; Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;⃗u;⃗v) .

1. On considère les points A , B et C d'affixes respectives zA=-1+i,

zB=3-2i et zC=2+5i .

Déterminer la nature du triangle ABC .

2. On désigne par A , B et C les points d'affixes respectives

zA=4+5

2i ; zB=4-5

2i et zC=2+3

2i .

Montrer que le triangle ABC est rectangle .

EXERCICE 3 Affixes de vecteurs , affixe d'un milieu

· Le vecteur

ABa pour affixezB-zA;· Le milieu I du segment [AB] a pour affixezAzB 2; Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;⃗u;⃗v) .

1. On note D , E , F et G les points d'affixes zD=i; zE=4-i,zF=-6-iet

zG=-2-3i . a) Déterminer les affixe respectives des vecteurs ⃗DE et ⃗FG . Que peut-on en conclure ?

b) Le vérifier en calculant l'affixe de K le milieu de [DG] et celle de L , milieu de [EF] .

2. On note A , B et C les points d'affixes respectives zA=1+i, zB=5-2iet zC=4iet

⃗w le vecteur d'affixe 2 - 3 i .

Déterminer les affixes des points suivants :

a) D est le point défini par ⃗AD=⃗w b) E tel que ABCE soit un parallélogramme c) F est défini par ⃗BF=2⃗AB-3⃗ACd) G est le centre de gravité du triangle ABC . EXERCICE 4 langage géométrique, langage des complexes

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(O;⃗u;⃗v).

A , B , C et D sont quatre points d'affixes zA , zB , zC et zD respectivement . En langage géométriqueDans le langage des complexes

C appartient à la médiatrice de [AB]

| zA - zB| = 5

B appartient au cercle de centre A et de rayon 2

D appartient au cercle de centre C passant par B

A est le symétrique de C par rapport à l'axe réel zA+zC

2=zB+zD

2 | zA - zB| = | zB - zC| = | zA - zC| A est l'image de D par la translation de vecteur ⃗BC zB=zD+zC-zAzD-zA=2 3 (zB+zC 2-zA)

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

O;u;v.

On note A et B les points d'affixes respectives zA=3i et zB=1+i . M est un point d'affixe z .

Donner une interprétation géométrique de chacun des nombres suivants : a) z-3ib) ∣z-1-i∣c) arg(z-3i)d) z+1+i

2e) ∣z-1-i

z-3i∣EXERCICE 5 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;⃗u;⃗v). On note A le point d'affixe -i . A tout point M d'affixe z distinct de A est associé le point M ' d'affixe z' définie par : z'=(3+i)(z-3) z+i.

1. On note B le point d'affixe 4 + 2i . Déterminer le point B ' associé à B .

2.a) Montrer que , pour tout z ¹ -i ,

z'-(1+i)=2(z-(4+2i)) z+i . b) Justifier que B'M'=BM AM . En déduire que si M appartient à la médiatrice du segment [AB] , alors M ' appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon .

EXERCICE 6

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;⃗u;⃗v)

On note A le point d'affixe i .

A tout point M du plan , d'affixe z , distinct de A , on associe le point M' , d'affixe z'=z2 i-z .

1. Déterminer les points M confondus avec leur image M ' .

2. Trouver une relation simple liant les longueurs OM , AM et OM ' .

En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M ' soient situés sur un même cercle de centre O .

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