VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal d'un
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.
VECTEURS ET DROITES
Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
les vecteurs ? ? et '? sont deux à deux orthogonaux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de. P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
Si une droite est orthogonale à un plan son vecteur directeur est le vecteur normal du plan . Ici
1 EQUATIONS DE PLANS DE DROITES
http://www.pierrelux.net/documents/cours/1es/espace_equations.pdf
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Donc les vecteurs 6? et 6? sont orthogonaux. Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal. Vidéo https://youtu.be
Algèbre Linéaire
5 Transformations orthogonales et matrices symétriques L'espace engendré par un vecteur u est appelé droite vectorielle engendré par u et Vect(u) = {?u ...
Orthogonalité et distances dans l’espace - Lumni
Un vecteur normal de la droite est M2?3 2 ?3 5 Un vecteur directeur de la droite est : 12?3 3 2 5 On vérifie que M2? et 12? sont orthogonaux : 12? M2?=2×3+(?3)×2=0 Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Vidéo https://youtu be/oR5QoWCiDIo On considère la droite A passant
Produit scalaire (partie 2) - univ-toulousefr
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur dont la direction est pa-rallèle à celle de (d) Remarque En particulier siA et B sont des points appartenant à la droite (d)alorslevecteur ??? AB est un vecteur directeur de (d) Rappelons également le fait suivant : si ?? u est un vecteur directeur de (d)alorsk?? u
I- Vecteur normal et équation de droite - ac-noumeanc
est normal à un droite (d) signifie que n! est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d) Conséquence : la droite (d) passant par A et de vecteur normal n! est l’ensemble des points M du plan tels que AM!!!!" n " =0 Propriété : Une droite (d) d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur nul n! (a; b) pour vecteur
1) Droites orthogonales - MATHIX
Exposé 47 : Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales droite orthogonale à un plan plan perpendiculaires application Pre requis : - produit scalaire - vecteur directeur d’une droite vecteur normal à un plan Cadre : E espace affine euclidien d’esp Vectoriel associé E 1) Droites orthogonales
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- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P - Démontrons la réciproque : Soit une droite (?) de vecteur directeur ?n orthogonale à deux droites (d1) et (d2) de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs u?1 et u?2
Comment caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs ?
caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs de l’espace par la nullité de leur produit scalaire. Le produit scalaire permet aussi de caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs et de définir les notions de droites orthogonales de l’espace, de droite orthogonale à un plan de l’espace et de projeté orthogonal d’un point sur un plan.
Quel est le vecteur de la droite?
La droite (D) est dirigée par le vecteur ??u(2,?3,?1) et la droite (D! ) est dirigée par le vecteur ??u!
Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?
On dit que F F et G G sont orthogonaux pour ? ? (que l'on note F ?G F ? G) si et seulement si tout vecteur de F F est orthogonal à chaque vecteur de G G, c'est à dire que : Déterminer l'ensemble des vecteurs de R3 R 3 orthogonaux au vecteur e1+e2 +e3 e 1 + e 2 + e 3 pour le produit scalaire canonique.
Est-ce que les vecteurs sont orthogonaux?
Ex 1 ABCD est un losange et de centre o 1)construire le point M le milieu [AB]et N le milieu du [BC]. 2) Construire le point E le symetrique du point o pa... Maths 1ere les vecteurs Pouvez vous me dire si mes résultats sont corrects ? merci 1. Oui les vecteurs u et v sont bien orthogonaux 2. Non le résultat est...
Chapitre12
Produitscalaire(par tie2)
Danscechap itre,n ousallonspoursuivrel'étude géométrique(du produits calaire)enta méeplus
tôtdans l'annéetoute nfaisantlelienavecles notionsvu esencla ssedeseconde(vecteu rdirecteu r, équationcartésiennesdedro ites).Anouveau,danscequisu it,nou smunironsleplan d'unrepère (O, i, j);lescoordonnéesdespointsquenousallonsconsidérerparlas uiteserontexp riméesdans cerep ère.12.1Rap pelssurlesdroitesetlesv ecteursdi recteurs
Voicidebrefs rappel sconcernantles droitesdansleplan.12.1.1Equati oncartésienned'unedroi te
Définition12.1.1.Touteéquatio ndelaforme
(E):ax+by+c=0 avec(a,b,c)#R 3 estappelé eéquationcartésien ned'unedroite. Proposition42.Atoutedroite(d)duplan ilestpos sibl ed'associerun eéquationcartésienneoù leco uple(a,b)$=(0,0)etré ciproquement. Remarque.1.U nedroite(d)peutadmettreplusieursreprésentationscartésiennes.2.Le séquationsc artésiennespeuvents'éc riresousformed'équationréduitededroite:
y=mx+p oùm#Restlecoe !cientdirecteu rdeladroiteetp#Restl'o rdonnéeàl'origine. •Si( d)estparallèleàl'axe(Oy)alors(d)auneéquationdelaforme x=k aveck#R. 101102CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)
12.1.2Vecte urdirecteur
Leli enentredro itesetcalculvector iels'e"ectueviala notiondevecte urdire cteur. Définition12.1.2.Unv ecteurdirecteurd'unedr oite(d)estunvect eurdont ladirectionest pa- rallèleàcellede(d). Remarque.Enpart iculier,siAetBsontdespoi ntsappart enantàladroite(d)alorslevecteur AB estunvect eurdirect eurde(d).Ra ppelonségalementlefaitsuiv ant:si uestunvect eurdirect eur de(d)alorsk uaveck#R l'estégalem ent. Voyonsàprésentde que llemanièreilestpossi bled'o btenirunve cteurdirecteuràpartir d'uneéquationcartésiennededroi te.
Proposition43.Soit(d)unedro itedupland'équatio ncartés ienneax+by+c=0,avec (a,b,c)#R 3 ,alors u(!b;a)estunvect eurdire cteurde(d). Remarque.Iles tmêmeposs ibled'avoirl acaractérisationsuivant edespointsMappartenantàla droite(d).M#(d)%&
uetAMsontcolin éaires.
avec uunve cteurdirecteurdeladroit eetA#(d). Exemple12.1.1.Dansunrepè re,dét erminonsuneéquationc artésiennedeladroite(d)définie parlep ointA(!1;1)etd evecte urdirec teur u(3;2).Puisque
uestunv ecteurdir ecteurde(d),c elasignifiequ ecettedroiteadmetuneéqu ation cartésiennedelaforme(E):2 x!3y+c=0pouruncertainc#R.Deplus,lepointA#(d) dontsescoo rdonnéesvéri fientl'équation(E).Au trementdit,2'(!1)!3'(!3)+c=0d'oùc=5. Enfin,voiciunec onditiondeparallé lismeent redeuxdroitesàpartirdeleursvecteursdirecteurs. Proposition44(Conditiondeparallélisme).Deuxdroit essontparallèlessietse ulementsi leurs vecteursdirecteurss ontcolinéaires. Remarque.Cetteconditi onpeutsevérifieràl'aidedudé terminant: det( u, v)= xx yy =xy !yx. Lorsquecelui-civaut0, lesvecteursimpliqués sontcolinéaires.12.1.RAPPEL SSURLESDROITES ETLESVECTEURS DIRECTEU RS103
Exemple12.1.2.1.Con sidéronslesdroitessuivantes: d:4x!6y+1=0etd :!6x+9y+3=0 Alors u=(6;4)dirigedet v=(!9;!6)di riged .Deplus,det( u; v)=!36+36!2=0, ainsilesvecte urssontcolin éairesetlesdroitessontdonc parallèles.2.Con sidéronslesdroitessuivantes:
d:2x!y!3=0etd :!x!y+3=0 Alors u=(1;2)dirigedet v=(1;!1)di riged .Deplus,det( u; v)=!1!2=!3$=0, ainsilesvect eursnesontp ascolinéairesetlesdroitesson tdoncsécantes.SoitA(x;y)lepoint d'intersectiondecelles-ci,déterminonscesco ordo nnéesenrés olvantlesystèmesuivant2x!y!3=0
!x!y+3=02x!y!3=0
2'(!x!y+3)=2'0
2x!y!3=0:L
1 !2x!2y+6=0:L 2 Observonsàprésentquel'addit ion(membreàmembre)del aligneL 1 aveclalign eL 2 supprime lav ariablexdel 'équationetpermetdetrouverlava leurdey.Ene"et, (2x!y!3)+( !2x!2y+6)=0%&!3y+3=0%&y=1.Ainsi,ensubstituan tlaval eurdeydanslal igneL
1 (parexemp le),nousendéduisonsque2x!1!3=0%&x=2.
Remarque.Lamét hodeemployéesurledeux ièmeexempleporteleno mde"pivotdeGau ss»etpermetderésoudre simple mentdessystèmesd'équati onslinéaires.L'avantaged ecetteprocédure
estquel leesttrèsrobusteet segénéra lisefacil ementàdessystèmespluscomplex es(3inconnue s,
troiséquation sparexemple). Exercicesàtraiter:7,9,15 (qu estionsaetb)page266et17page267(danslaq ue stion1, remplacezlemotperpendiculairesparséc antes).104CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)
12.2Droi teetproduitsc alaire
Ense conde,vousavezétudiélan otiondeparall élismeàl'aidedev ect eursdirecteurs.Plustôt
dansl'a nnée,nousavonsrencontrél anotion deproduitscalairequi permetd'abord erlanotion d'anglesdroit.Nousallo nsmaintenantvoir commentre lierproduitscalair eetdroites.12.2.1Vecteu rnormalàunedroite
Définition12.2.1.Direqu'unv ecteurnonnul
nestnorm alàunedroite(d)signifiequelevecteur nestorth ogonalàtoutvecteurdirecteur ude(d). Remarque.Encon séquencedececi,ilestpossiblede reformule r,entermesvect oriels,desnotions degé ométrieducollège: 1.S i nestunvect eurnorm alà(d)et uunve cteurdirecteurde(d),no usavons nestunvect eurdirect eurdetoutedro ite(d )perpendiculaireà(d). uestunvect eurnorm alàtoutedroi te(d )perpendiculaireà(d).2.Soi ent(d)et(d
)deuxdroitesayantrespectivement net n pourvecteu rsnormaux, uet u pourvecteu rsdirecteurs.Ilestéléme ntairedevérifierlespropriétéssuivantes. d(d n· n =0%& u· u =0%& net u sontcoliné aires u=(3;2) estunv ecteurdir ecteur.Iln'estpa sdi!ciledevéri fierqueleve cteur n=(2;!3)e stunvecte ur normalàcettedroit e. Exerciceàtraiter:exercice18page27 9et58pa ge282.12.2.2Vecte urnormaletéquationdedroi te
Nousavion sdéterminédeséquatio nscartésiennesdedroitesàl'aidedevecteurdirecteur,nous allonsvoirqu'il estpossibl edefairedemêmeàl 'aided'unv ecteurnormal . Proposition45.Unedr oite(d)apo uruneéquatio ncartésien nedelaformeax+by+c=0(avec a$=0oub$=0)sietseulementsi n=(a,b)estunve cteurnor malà(d).12.2.DRO ITEETPRODUITSCALAIRE 105
Remarque.Voiciquelques conséquencesdecetteprop osition.Soient(d)et(d )deuxdroitesadmet- tantleséqu ationscarté siennesrespectives: (d):ax+by+c=0et (d ):a x+b y+c =0.1.(d)((d
)%&aa +bb =0%& n· n =0.Autrementdit,lesdroitessont perpendiculairessietseulementsileursvecteur snorma uxsontorthog onaux.2.(d)//(d
)%&ab !ba =0%&det( n; n )=0.Autrementdit,lesdroitessont parallèlessietseulementsileur svecte ursnorm auxsontcolinéaires. Cege nredeconsidérat ionspe rmetnotammentdedéterminerlesco ordonnéesd'unprojetéor- thogonal. Exemple12.2.2.SoientA(!4;4)unp ointdup lanet(d)unedroited'équationcartésienne!2x+ (d). Lebu testlesuiv ant:no usallo nsdéterminerl'équationcar tésiennedeladroite(AH),no us PuisqueHestlep rojetéo rthogonaldeAsur(d),l esdroites( AH)et(d)sontperpendiculaires. Enpart iculier,toutvecteurnormalà(d)seraunvecteurdirecteurde(AH).Or n=(!2;5)est unv ecteurnormalà(d),il dirige donc(AH).Puisque
ndirige(AH),no ussavonsquec ettedroiteadmetuneéq uationcarté siennede la forme5x+2y+c=0av ecc#R.
PuisqueA#(AH),no ussavonségal ementque
5x A +2y A +c=0%&!20+8 +c=0%&c=12. Remarque:nousaurionspu ob tenirdirecte mentl'équationcartésiennede(AH)enrem arquant lefa itsuivant:siM(x,y)#(AH)alors AMet nsontcoliné aires(puisque ndirige(AH)).106CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)
Autrement,ditdet(
AM; coordonnéespourtrouverl'équat ioncartésien nede(AH). Maintenantquenousavonsleséquati onscar tésienne sdedeuxdroitessécantes,ilneresteplusqu'àdéterm inerlescoordonnéesdupointd'in tersectio nH.Celles-civérifientlesystèmesuivant
!2x+5y+1=0L 15x+2y+12=0L
2Ilco nvientdemultiplierL
1 par5et L 2 par2des ort eque L 1 +L 2 fassedisparai trelavariablex. !10x+25y+5=0L 110x+4y+24=0L
2 DoncL 1 +L 2 entraineque29y+29=0%&y=!1.Ens ubs tituantcerésultatdansL 1 ,on trouvequex=! 20 10 =!2.Enré sum é,lescoordonnéesdeHsont(!2;!1). Exercicesàtraiter:21(q uestionaetb),22,23(questionsa et d),25et 27page279;59 page282.12.3.CERC LEETPRODUITSCALAI RE107
12.3Cerc leetproduitscalair e
Danscequi suit,n ousallons voirqueleprodu itscalairees tégalementunoutilquiper met d'obtenirdeséquationsdece rcles.12.3.1Equat iond'uncercledéfinipars oncentreetson rayon
Iles tpossible demontrerquelescercless ontdes ensemblesdupla ncaractér isésparleurcentre etleu rrayon. Définition12.3.1.L'équationcartésienned'unce rcleCdec entreI(x 0 ;y 0 )etd erayon restC:(x!x
0 2 +(y!y 0 2 =r 2 (12.3.1) I(x 0 ;y 0 rM(x;y)
Remarque.Observonsqu'ils'agitsimp lementd'unefor mulationalternativedufaitsuiva nt: M(x;y) estunp ointdu cercleCéquivautàIM 2 =r 2Exemple12.3.1.1.L' équation(x+1)
2 +(y!2) 2 dece ntreI(!1;2)etde rayonr= 12=2 3.2.Mon tronsquel'équationx
2 +y 2 cercle.Pourcela ,ilsu!tdefaireapparaitredescarrésenutilisantdesargumentsde forme canoniques. x 2 +y 2 !4x+2y!4=0 (x!2) 2 !4+(y+1) 2 !1!4=0 (x!2) 2 +(y+1) 2 =9 Ils' agitdoncd'uncercle decentreI(2;!1)et derayonr=3. Remarque.Toutcercl eadmetuneéquationd elaformex 2 +y 2 +ax+by+c=0maislaréciproque estfaus se.Parexemple,ilestposs ibledemo ntrerquel'ensembledespoint sM(x;y)telque x 2 +y 2 +2x!2y+3=0 estl'en semblevide.Cen'estdontpasl' équationcartés ienned'un cercle .108CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)
Exercicesàtraiter:30et 33page280.
Danslasect ionsui vante,nousallonsprés enteruneautrefaçondecar actériser uncercle.12.3.CERC LEETPRODUITSCALAI RE109
12.3.2Equati ond'uncercledéfinipars ondiamètre
Iles tpossibl ededéfiniruncercleàparti rdel'u ndesesdiamètres[AB]. Proposition46.Mestunp ointdu cercleCéquivautàMA·
MB=0.(12.3.2)
Remarque.1.Ce résult atpermetd'obtenirl'éq uationd'uncercleà partirded euxdes espoints, diamétralementopposés,AetB.2.Ce résultat n'estriend'autrequ'u nenouvelleformulati ond' unenotionvueaucollè ge.En
e"et,rapp elonslethéorèmeassocié: Théorème47.SoientA,BetMtroispointsdis tinctsduplan. ABMestrecta ngleenM%&lecen treducerclecirconscr itautr iangleABMestlemili eud usegment[AB]. Démonstration.Unedémo nstrationdececipeuts'obtenirenraiso nnants urlesan gles.No- tammentenobservantq uelestr iangles#AMet#BMsontisocèle senM:enparticulier,les anglesàlabaseson tégau x. Parsuit e,dansnotreconfigu ration,ABMestrectan gleenM.Autrementdit,(AM)((MB); ilsu !tensuitedetraduirececientermevectorielpourobtenir(12.3.2).3.Forc ément,lecentreducercle#correspondaumilieudusegment[AB]etlerayonvaut
R= AB 2 SiA(x A ;y A ),B(x B ;y B duce rcleadmettant[AB]commediamètre.Pourcela,ilsu!td'utiliserlescoordonnées:MA·
MB=0%&(x
A !x)(x b !x)+(y A !y)(y B !y)=0 etens uitedéveloppercettenou velleexpressionpourenfinf airapparai trel'équationd'unc ercle. Exemple12.3.2.SoientA(1;1)etB(!2;3)les extrémités d'undiamètred'uncercleC.Détermi-nonsuneéqua tio ncartésiennedecelui-ci.So itM(x;y)#C,d'aprèslerésultatprécédentilsu!tde
calculerMA·
MB.Ici,nousavons
MA·
MB=(1!x)(!2!x)+(1!y)(3!y)=x
2 +y 2 +x!4y+1110CHAPITRE12.PRODUITS CALAIRE(PAR TIE2)
Doncl'équ ation
MA·
MB=0estéquivalenteàx
2 +y 2 +x!4y+1=0.Ilestimportantdevérifier aumoi nsunefoisqu'i ls'agitbien del'équat iond'uncercle: x 2 +y 2 +x!4y+1=0%&(x+ 1 2 2 +(y!2) 2 13 4 =0Ils' agitbiendel'équati ond'uncercl ederay on
13 2 etde centreI(! 1 2 ;2). Rappelonsqu'unedroite(T)esttangenteàuncercleC(decentr eIetde rayonr)enunpoint A#Csiel lepasseparAetsi toutvect eurdirecteurde(T)estorthogonalàIA.Voyonscomment
détermineruneéquationcartési ennede (T). Exemple12.3.3.SoientCunce rcled'équationcarté sienne(x!2) 2 +(y+1) 2 =9(i.e.decentre I(2;!1)et derayonr=3)etA(3,9;1,4)un pointd ucercle.Nousch erchonsà déterminerl'équatio n del atangen te(T)àCaupoi ntA.Pourcela,o bservonsque
IAestunvect eurnorm alà(T).D eplus, M(x;y)#(T)sietseulement si AMetIAsontorthog onaux.Autrementdit,
AM·
IA=0 %&(x!3,8)'1,8+(y!1,4)'2,4=0 %&1,8x+2,4y!10,2=0. Encon clusion,1,8x+2,4y!10,2=0estuneéquationcartésiennede(T). Exercicesàtraiter:32,29page 280et46page 280;72 ,73p age283.12.4.AUT RESAPPLICATIONSGÉOM ÉTRIQUES111
12.4Autre sapplicationsgéométr iques
Enfin,pourconcl ureceprogrammet raitonsdeuxapplicationsgéométriquesreposantsuruneutilisationduproduitscalaire.Lespro prié tésduproduitscalairequenousallonsu tilisern' emploient
pasdeco ordo nnées,cesapplicationspeuventalor ssemblerdéconnectéesduresteduchapitre.12.4.1Théorè med'Al-Kashi
Danscequi suitABCdésigneuntriangles cal ène(quelconque).Selonl'usa ge,nousposon sBC=a,AC =betAB=c.
Lesan glesdesommetsrespect ifsA,BetCsontnotés
A, Bet C. Plustôtdansl 'année, nousavionsu tilisélesformulessuivantespourcalcul erdesprodu its scalaires: 1.AB·
AC= 1 2 AB 2 +AC 2 !CB 2 (12.4.1) 2.AB·
AC=AB'AC'cos(
AB,AC).(12.4.2)
Enfon ctionducontexte,nousu tilis ionsl'uneoul'autredansnos calculs ;notonsquenous avonsplusempl oyéladeuxièm eformule(combinéeà unproj etéorthogonal)quelapremière. Grâceàceci,no usal lonsobtenirune"généra lisati on»duthéorèmedePytha gore. Théorème48(Al-Kashi).SoitABCuntri anglescalènealors a 2 =b 2 +c 2 !2bccos( A). Remarque.1.R emarquonslefaitsuivantsiABCestuntr iangl erectangleenAnousret rouvons l'égalitéentrelescar résdeslongueurs duThéo rèmedePythagore.Ene"et,dans cecas a 2 =b 2 +c 2 !2bccos(quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] rapport jury agregation externe eps 2016
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