VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal d'un
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.
VECTEURS ET DROITES
Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
les vecteurs ? ? et '? sont deux à deux orthogonaux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de. P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
Si une droite est orthogonale à un plan son vecteur directeur est le vecteur normal du plan . Ici
1 EQUATIONS DE PLANS DE DROITES
http://www.pierrelux.net/documents/cours/1es/espace_equations.pdf
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Donc les vecteurs 6? et 6? sont orthogonaux. Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal. Vidéo https://youtu.be
Algèbre Linéaire
5 Transformations orthogonales et matrices symétriques L'espace engendré par un vecteur u est appelé droite vectorielle engendré par u et Vect(u) = {?u ...
Orthogonalité et distances dans l’espace - Lumni
Un vecteur normal de la droite est M2?3 2 ?3 5 Un vecteur directeur de la droite est : 12?3 3 2 5 On vérifie que M2? et 12? sont orthogonaux : 12? M2?=2×3+(?3)×2=0 Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Vidéo https://youtu be/oR5QoWCiDIo On considère la droite A passant
Produit scalaire (partie 2) - univ-toulousefr
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur dont la direction est pa-rallèle à celle de (d) Remarque En particulier siA et B sont des points appartenant à la droite (d)alorslevecteur ??? AB est un vecteur directeur de (d) Rappelons également le fait suivant : si ?? u est un vecteur directeur de (d)alorsk?? u
I- Vecteur normal et équation de droite - ac-noumeanc
est normal à un droite (d) signifie que n! est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d) Conséquence : la droite (d) passant par A et de vecteur normal n! est l’ensemble des points M du plan tels que AM!!!!" n " =0 Propriété : Une droite (d) d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur nul n! (a; b) pour vecteur
1) Droites orthogonales - MATHIX
Exposé 47 : Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales droite orthogonale à un plan plan perpendiculaires application Pre requis : - produit scalaire - vecteur directeur d’une droite vecteur normal à un plan Cadre : E espace affine euclidien d’esp Vectoriel associé E 1) Droites orthogonales
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- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P - Démontrons la réciproque : Soit une droite (?) de vecteur directeur ?n orthogonale à deux droites (d1) et (d2) de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs u?1 et u?2
Comment caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs ?
caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs de l’espace par la nullité de leur produit scalaire. Le produit scalaire permet aussi de caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs et de définir les notions de droites orthogonales de l’espace, de droite orthogonale à un plan de l’espace et de projeté orthogonal d’un point sur un plan.
Quel est le vecteur de la droite?
La droite (D) est dirigée par le vecteur ??u(2,?3,?1) et la droite (D! ) est dirigée par le vecteur ??u!
Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?
On dit que F F et G G sont orthogonaux pour ? ? (que l'on note F ?G F ? G) si et seulement si tout vecteur de F F est orthogonal à chaque vecteur de G G, c'est à dire que : Déterminer l'ensemble des vecteurs de R3 R 3 orthogonaux au vecteur e1+e2 +e3 e 1 + e 2 + e 3 pour le produit scalaire canonique.
Est-ce que les vecteurs sont orthogonaux?
Ex 1 ABCD est un losange et de centre o 1)construire le point M le milieu [AB]et N le milieu du [BC]. 2) Construire le point E le symetrique du point o pa... Maths 1ere les vecteurs Pouvez vous me dire si mes résultats sont corrects ? merci 1. Oui les vecteurs u et v sont bien orthogonaux 2. Non le résultat est...
ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace1) Définition et propriétés
Définition : Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=
et . Il existe un plan contenant les points , et .On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗=
dans le plan . On retrouve alors dans l'espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : 0 1. =2 2 est le projeté orthogonal du point sur la droite (). On a :Propriétés algébriques :
Symétrie : ⃗.⃗=⃗.⃗ Bilinéarité : ⃗. =⃗.⃗+⃗.⃗ et ⃗. =⃗.⃗, avec ∈ℝ Identités remarquables : +2⃗.⃗+ Formule de polarisation : 2Propriété d'orthogonalité :
⃗.⃗=0⟺⃗ et ⃗ sont orthogonaux Méthode : Calculer le produit scalaire dans l'espaceVidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
est un cube d'arête .Calculer les produits scalaires :
a) b) c)Correction
a) , étant le projeté orthogonal de sur (). b) =0 car et sont orthogonaux. c) Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalitéVidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw
Soit un tétraèdre régulier d'arêtes de longueur . Démontrer que les arêtes [] et [] sont orthogonales.Correction
On va prouver que
=0. 1Dans le triangle équilatéral ABD, on a :
1 =××cosK 3 N= 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral que : 2 2Ainsi :
=0Les vecteurs
et sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [] et [] sont orthogonales. 32) Produit scalaire dans un repère orthonormé
Définitions :
Une base ⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormée si :
- les vecteurs ⃗,⃗ et sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs ⃗,⃗ et sont unitaires, soit : =1, =1 et 2 2=1. Un repère ;⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormé, si sa base ⃗,⃗,
1 est orthonormée.
Propriétés : Dans un repère orthonormé de l'espace ;⃗,⃗,
1 : Soit ⃗ et ⃗Y [ deux vecteurs de l'espace. +′ et Soit Y [ et Y [ deux points de l'espace.Démonstration :
1 En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple =1, ⃗.⃗= =1 et ⃗.⃗=⃗.⃗=0 On a, en particulier : Et : 2 2 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnéesVidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace ; 1.I est le milieu du segment [].
Les vecteurs
et sont-ils orthogonaux ?Correction
On a :
Y 1 1 1 [ et Y 1-0 0-1 0,5-0 [ soit Y 1 -1 0,5Alors :
=1×1+1× -1 +1×0,5=0,5.Les vecteurs
et ne sont pas orthogonaux. 4Partie 2 : Orthogonalité
1) Orthogonalité de deux droites
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.Exemple :
est un cube. - Les droites () et () sont perpendiculaires. - Les droites () et () sont orthogonales.Remarques :
- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Propriété : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de . 5Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les
droites de .Démonstration :
Soit une droite de vecteur directeur ⃗ orthogonale à deux droites sécantes
et de . Soit ⃗ et ⃗ des vecteurs directeurs respectifs de etAlors ⃗ et ⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur ⃗.
Soit une droite quelconque Δ de de vecteur directeur⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à .⃗ peut se décomposer en fonction de ⃗ et ⃗ qui constituent une base de (car non
colinéaires).Il existe donc deux réels et tels que ⃗=⃗+⃗.
Donc ⃗.⃗=⃗.⃗+⃗.⃗=0, car ⃗ est orthogonal avec ⃗ et ⃗.
Donc ⃗ est orthogonal au vecteur ⃗.Et donc est orthogonale à Δ.
Exemple :
est un cube. () est perpendiculaire aux droites () et (). () et () sont sécantes et définissent le plan (). Donc () est orthogonal au plan (). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonalesVidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs
est un triangle équilatéral. est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite passant par est orthogonale au plan (). La pyramide est telle que soit un point de la droite . Démontrer que les droites () et () sont orthogonales.Correction
La droite est orthogonale au plan (). La droite est donc orthogonale à toutes les droites du plan ().Comme la droite () appartient au plan (), la droite est orthogonale à la droite ().
Par ailleurs, la droite () est perpendiculaire à la droite (). 6Ainsi, () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () : () et .
Donc () est orthogonale au plan ().Et donc la droite () est orthogonale à toutes les droites du plan ().
La droite () appartient au plan () donc la droite () est orthogonale à la droite ().
Partie 3 : Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan si ⃗ est un vecteur
directeur d'une droite orthogonale au plan .Propriété : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan , s'il est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires de la direction de . Propriété : Soit un point et un vecteur ⃗ non nul de l'espace. L'ensemble des points tels que .⃗=0 est le plan passant par et de vecteur normal 7 Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
est un cube.Démontrer que le vecteur
est normal au plan ().Correction
On considère le repère orthonormé ; 1.Dans ce repère : Y
1 0 0 [,Y 0 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 0 1 1On a ainsi :
Y 0 -1 1 Y 0 1 1 [ et Y -1 0 0 [, donc : =0×0-1×1+1×1=0 =0× -1 -1×0+1×0=0Donc
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (), il est donc normal à
Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, on donne : Y 1 2 -2 [, Y -1 3 1 [ et Y 2 0 -2 Déterminer un vecteur normal au plan ().Correction
On a :
Y -2 1 3 [ et Y 1 -2 0Soit un vecteur ⃗
orthogonal au plan (). Il est tel que : =0 =0 soit g -2++3=0 -2=0 ⟺g -2×2++3=0 =2 n u v 8 ⟺g -3+3=0 =2 ⟺g =2 Prenons par exemple, =1 (arbitrairement choisi) alors =1 et =2.Le vecteur ⃗Y
2 1 1 [ est donc normal au plan ().Remarque :
La solution n'est pas unique. Tout vecteur colinéaire à ⃗ est solution.2) Projections orthogonales
Définitions :
Soit un point et une droite de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point appartenant à tel que la
droite () soit perpendiculaire à la droite . Soit un point et un plan de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur le plan est le point appartenant à tel que la
droite () soit orthogonale au plan .Propriété : Le projeté orthogonal d'un point sur un plan est le point de le plus proche
de .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/c7mxA0TbVFU
Soit le projeté orthogonal du point sur le plan P. Supposons qu'il existe un point du plan P plus proche de que l'est le point . proche de .Donc
9Or, () est orthogonale à P, donc () est orthogonale à toute droite de P.
En particulier, () est perpendiculaire à (). Le triangle est donc rectangle en . D'après l'égalité de Pythagore, on a :Donc
Donc
On en déduit que est le point du plan le plus proche du point .Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un plan
Vidéo https://youtu.be/1b9FtX4sCmQ
Soit un cube . On considère le repère orthonormé ;
1.a) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan ().
b) En déduire la distance du point au plan ().Correction
a) On cherche à déterminer les coordonnées du point . Dans le repère orthonormé ;1, on a :
Y 1 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 1 1 1On a alors :
Y -1 1 0 Y 1 0 -1 Y -1 Y -1 -1 -1 Or, () est orthogonale au plan donc le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Soit : =0 -1× -1 +1× -1 +0× -1 =0 -+1+-1=0 =0 1× -1 +0× -1 -1 -1 =0 -1-+1=0On a ainsi : ==
De plus,
est orthogonal au vecteur , soit : 10 =0 -1 -1 -1 =0 -1 -1 -1 =0 car == -1 -1++ =0 -13-1
=0 Donc 3-1=0 car -1≠0 sinon et sont confondus, ce qui est impossible.Soit : =
On en déduit les coordonnées de : K
1 3 1 3 1 3 N. b) Et ainsi : n o1- 1 3 p +o1- 1 3 p +o1- 1 3 p n3×o
2 3 p 2 33≈1,155
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