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produit scalaire:Exercices corrigés

Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l'aide d'une projection orthogonale. • Exercices 10 11

Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE

On pourra rajouter des projetés orthogonaux sur le dessin pour s'aider. Exercice 4 : déterminer une valeur en radian de l'angle de vecteurs ( +?; ...

Déroulement de la leçon : I. Coordonnées dun vecteur : 1) Activité

2; 1 ?1; 2 : 2× ?1 + 1 × 2 = ?2 + 2 = 0; ? sont orthogonaux. 4) Exercice d'application : a) On trouve dans un repère les vecteurs. ; 3 2; 4. Calcule les

FINALE FASCICULE MATHS 3EME ok

Recueil d'exercices d'exercices de Mathématiques. Mathématiques Trouve les coordonnées de deux vecteurs AC et AD orthogonaux au vecteur AB tels que.

Exercices de mathématiques - Exo7

Soit P un plan muni d'un repère R(Oi

Fiche dexercices corrigés – Vecteurs Exercice 1 : On se place dans

et F est le milieu de [AC]. 2. Exprimer en justifiant

Calcul vectoriel – Produit scalaire

DÉMONSTRATIONS CLÉS Exercices 5 et 6 Exercices 15 et 16 • Sujets guidés ... Les vecteurs DC et DA sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont.

ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices

11 déc. 2008 1-2 Exercices avec indications seulement . ... On note F? l'ensemble des vecteurs orthogonaux `a tout vecteur de F .

Math 3 A5

Soit le rapport de la projection orthogonale de (AB) sur (BC) et Vecteurs orthogonaux. 1) Définition ... Exercice 2 : (5 points).

Notes de cours et de travaux dirigés

Vecteurs orthogonaux et sous-espaces orthogonaux . §1 Exercices ... Le vecteur nul 0 est le vecteur orthogonal `a tout vecteur de Rn. En effet ...

Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux - Produit scalaire

Exercice n° 3 ABC est un triangle équilatéral de côté a H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC?; AC CB? AB AH? AH BC? et OA OB? Exercice n° 4 u et v sont deux vecteurs de même norme

Exercices : Orthogonalité dans l’espace

Exercices : Orthogonalité dans l’espace 3 3Orthogonalité I Exercice 13 On se place dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k) On considère les points A(2;5;1) B(3;2;3) et C(3;6;2) 1 Calculer les coordonnées des vecteurs! AB et! AC 2 Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires I Exercice 14 On se place dans un cube ABCDEFGH

VECTEURS ET REPÉRAGE - maths et tiques

Dans chaque cas vérifier si les vecteurs B ? et C? sont colinéaires a) B ? ?6 10 / et C? 9 ?15 / b) B ? 4 9 / et C? 11 23 / Correction a) NOP(B ? ; C?)=R ?6 9 10 ?15 R=(?6)×(?15)?10×9=90?90=0 Les vecteurs B ? et C? sont donc colinéaires b) NOP(B ? ; C?)=R 4 11 9 23 R=4×23?9×11=92?99=?7?0

Chapitre 8 : Vecteurs - e-lyco

Définition : Deux vecteurs (?i ?j) sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires Définition : Soit (?i ?j) une base du plan • Une base est dite orthogonale si les vecteurs (?i ?j) sont orthogonaux • Une base est dite orthonormée si la base (?i ?j) est orthogonale et ??i?=??j?=1

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Part 2 Exercices Exercice 1 Soient aet bdeux vecteurs orthogonaux de R3 Montrer que l'on a a^(a^b) = k ak2 b: Exercice 2 Soit!u = 4! i + ! j + 3! k et!v = 2! i + 3! j ! k: rouvTer un vecteur !w orthogonal à !u et !v Exercice 3 Pour deux vecteurs !u et !v établir l'égalité suivante k!u+ !vk2 k !u !vk2 = 4!u!v: Exercice 4

Quels sont les vecteurs orthogonaux ?

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v. Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?

Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur.

Comment savoir si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ?

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ? v = 0. Remarque : 0 est orthogonal à tout vecteur. Exemple : Soit u et v deux vecteurs tels que ?u? = 3, ?v ? = 4 et ?u + v ? = 5. u ? v = 21 (52 ?42 ?32) = 21(25?16?9) = 0. Donc u et v sont orthogonaux.

Comment calculer les coordonnées des vecteurs?

Exercice n°14 1) On calcule les coordonnées des vecteurs 1 1 1 B A B A B A x x AB y y z z ? = ? =? ? = 2 1 0 C A C A C A x x AC y y z z ? =? ? = ? = Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires car il n’existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions 2 1 0 k k k ? =? ? ?? = ?? =

UNIVERSIT´ECLAUDEBERNARDLYON1

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Enseignement de math

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des parcours de la Licence d"informatique

ANALYSE MATRICIELLE

ET ALG

`EBRE LIN´EAIRE

APPLIQU

´EESB

- Notes de cours et de travaux dirig

´es -

- Printemps 2020 - - Plan de continuit

´e p´edagogique -

--- Notes partielles ---

Philippe Malbos

malbos@math.univ-lyon1.fr ii

Table des mati

`eres

1 Les syst

`emes d"´equations lin´eaires et la d

´ecomposition matricielle LU 1

1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Orthogonalit

´e 1

1 Vecteurs orthogonaux et sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sous-espaces remarquables associ

´es`a une matrice . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 3 D

´ecomposition matricielle QR 1

1 Cosinus et projection sur une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Projections orthogonale et m

´ethode des moindres carr´es . . . . . . . . . . . . .5

3 Bases orthonorm

´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

4 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 4 M ´ethodes it´eratives pour la r´esolution des syst`emes lin´eaires 1

1 Les m

´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 M ´ethode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 3 M ´ethode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1

2TABLE DES MATI`ERES

CHAPITRE

1Les syst

`emes d"´equations lin´eaires et la d

´ecomposition matricielle LU

Sommaire1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 [Chapitre abord

´e en pr´esentiel]

x1 Exercices

1.1.1. Exercice.-

`A quelle condition une matrice triangulaire est-elle inversible?

1.1.2. Exercice.-Calculer les produitsFGHetHGF, avec

F=2 6

641 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 13

75;G=2

641 0 0 0

0 1 0 0

0 2 1 0

0 0 0 13

75;H=2

641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 2 13

7 75:

1.1.3. Exercice.-

`A quelle condition la matriceasuivante est-elle inversible? A=2

41 0 0

1 1 0 01 13 52
4d 10 0 0d20

0 0d33

52
411 0
0 11

0 0 13

5 R

´esoudre le syst`eme suivant

Lc=b;avecb=2

40
0 13 5 etL=2

41 0 0

1 1 0 01 13 5 En d

´eduire la solution du syst`emeAx=b.

1 2 CHAPITRE 1. LES SYST`EMES D"´EQUATIONS LIN´EAIRES

ET LA D´ECOMPOSITION MATRICIELLE LU

1.1.4. Exercice.-Factoriser la matrice

A=2

42 3 3

0 5 7

6 9 83

5 sous la formeLU, puis r´esoudre le syst`eme suivant Ax=2 42
2 53
5

1.1.5. Exercice.-Factoriser sous formeLUles matrices suivantes

A=2 1 8 7 ;A=2

43 1 1

1 3 1

1 1 33

5 ;A=2

41 1 1

1 4 4

1 4 83

1.1.6. Exercice.-R´esoudre en utilisant des d´ecompositionLUet des matrices de permuta-

tion des lignes, les syst `emes suivants 8< :x+ 4y+ 2z=2

2x8y+ 3z= 32

y+z= 18 :y+z= 0 x+y= 0 x+y+z= 1

1.1.7. Exercice.-Calculer les factorisationsPA=LUpour les matrices suivantes

A=2

40 1 1

1 0 1

2 3 43

5 ;A=2

41 2 1

2 4 2

1 1 13

1.1.8. Exercice.-Factoriser sous formeLUla matrice suivante

A=2 6

64a a a a

a b b b a b c c a b c d3 7 75:

1.1.9. Exercice.-Factoriser sous formeLUles matrices suivantes

A=2

41 1 0

1 2 1

0 1 23

5 ;A=2 4a a0 a a+b b

0b b+c3

CHAPITRE

2Orthogonalit

´e Sommaire1 Vecteurs orthogonaux et sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . .1

2 Sous-espaces remarquables associ

´es`a une matrice . . . . . . . . . . . . .5

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 x1 Vecteurs orthogonaux et sous-espaces orthogonaux

2.1.1. Norme d"un vecteur deR2.-Soitxun vecteur deR2. Consid´erons la base canonique

Can=1 0 ;0 1 de l"espaceR2. Dans cette base, le vecteurxse d´ecompose de fac¸on unique sous la forme : x=x11 0 +x20 1

On appellenorme du vecteurxle r´eel

kxk=qx

21+x22:

2.1.2. Exemple.-On consid`ere le vecteurx=1

2.1.3. .-Consid´eronsRnmuni de sa base canonique

Can= (c1;c2;:::;cn);

2CHAPITRE 2. ORTHOGONALIT´E

o `u, pour1in,ciest le vecteur dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui qui est`a lai eme ligne qui est´egal`a1: c i=2 6

666640

1... 03 7

77775i

Soitxun vecteur deRnexprim´e dans la base canonique : x=x1c1+x2c2+:::+xncn=2 6 4x 1... x n3 7 5:

2.1.4. Norme d"un vecteur deRn.-Lanorme du vecteurxest le scalaire d´efini par

kxk2=x21+x22+:::+x2n:

Matriciellement, cela s"

´ecrit´egalement

kxk2=x>x=x1x2xn2 6 4x 1... x n3 7 5

2.1.5. Exemple.-Consid´erons le vecteurx=2

41
2 33
5

Consid

´erons le vecteurx=2

41
2 33
5

2.1.6. Vecteurs orthogonaux.-Comment tester l"orthogonalit´e de deux vecteurs?

x=1 2 ety=4 2 On a x >y=1 2 4 2 =4 + 4 = 0 Les c

ˆot´es d"un trinagle rectangle sontx,yetxy.

Le th ´eor`eme de Pythagore montre l"´egalit´e suivante : kxk2+kyk2=kxyk2:

Avecx=2

6 4x 1... x n3 7

5ety=2

6 4y 1... y n3 7

5, cette formule donne

(x21+:::+x2n) + (y21+:::+y2n) = (x1y1)2+:::+ (xnyn)2 Soit (x21+:::+x2n)+(y21+:::+y2n) = (x21+:::+x2n)+(y21+:::+y2n)2x1y1:::2xnyn:

CHAPITRE 2. ORTHOGONALIT

´E3

2.1.7. Le produit scalaire et orthogonalit

´e.-On appelleproduit scalairedes vecteursxet

y, le scalaire hx;yi=x1y1+:::+xnyn=x>y=x1x2xn2 6 4y 1... y n3 7 5 =x1y1+:::+xnyn:

On pourra remarquer quekxk2=hx;xi.

Deux vecteursxetysont ditsorthogonauxsi

x >y= 0: Remarques.Le seul vecteur orthogonal`a lui-mˆeme est le vecteur nul. En effet, sixest un vecteur deRntel quehx;xi= 0. Alorsx>x= 0et donckxk2= 0. D"o`ukxk= 0et donc x=0. Le vecteur nul0est le vecteur orthogonal`a tout vecteur deRn. En effet, pour tout vecteur xdeRn, on a h0;xi=0>x=002 6 4x 1... x n3 7 5 = 0:

2.1.8 Proposition.-Soientv1;:::;vkdes vecteurs non nuls deRntels que

v >ivj= 0;pour touti6=j: Alors les vecteursv1;:::;vksont lin´eairement ind´ependants.

Preuve.On doit montrer que

1v1+:::+kvk=0implique1=:::=k= 0:

Supposons donc que

1v1+:::+kvk=0:

On a v >1(1v1+:::+kvk) =0; soit

1v>1v1+:::+kv>1vk=0

Commev>1vj= 0, pour toutj6= 1, on en d´eduit que

1v>1v1= 0:

Soit1kv1k2= 0. Orv16=0, donckv1k26= 0. D"o`u1= 0.

On proc

`ede de la mˆeme fac¸on pour2;:::;ket montrer que

1=2=:::=k= 0:

4CHAPITRE 2. ORTHOGONALIT´E

Exemple.La base canonique deRn

Can= (c1;c2;:::;cn);

forme une base deRnde vecteurs orthogonaux deux-`a-deux. En effet, pour touti6=j, on a c >icj= 0. Les vecteurscisont´egalementunitaires, c"est-`a-dire sont de norme´egale`a1: kcik= 1;pour tout1in:

2.1.9. Sous-espaces orthogonaux.-On veut´etendre la notion d"orthogonalit´e entre vecteurs

en une notion d"orthogonalit ´e entre sous-espaces.´Etant donn´es deux sous-espacesVetWde R n, l"id´ee queVsoitorthogonal`aWs"exprime en disant que tout vecteur deVest orthogonal a tout vecteur deW. Exemples.Les sous-espaces vectoriels deR3sont de dimension0,1,2ou3. i)l"espace vectoriel nulf0g, de dimension0, est orthogonal`a tous les sous-espaces. En effet, on a0>x= 0, pour toutx2R3. ii)Soientuetvdeux vecteurs deR3. Soit

Ru=fu2R32Rg

la droite port ´ee paruet soitRvla droite port´ee parvd´efinie de la mˆeme fac¸on. Les deux droites sont orthogonales siu>v= 0. iii)Soit

R(u;u0) =fu+0u0j;02Rg

le plan engendr ´ee par deux vecteursuetu0. Une droiteRvengendr´e par un vecteurvest orthogonale `a ce plan siv>w= 0pour tout vecteurwdu planR(u;u0). Autrement dit, si v >u= 0;etv>u0= 0: iv)Deux plans ne peuvent pasˆetre orthogonaux. En effet, soit ils sont parall`eles, soit ils se coupent en une droite.

2.1.10. Orthogonalit

´e de deux sous-espaces.-Deux sous-espaces vectorielsVetWdeRn sont ditsorthogonauxsi tout vecteur deVest orthogonal`a tout vecteur deW. C"est-`a-dire si v >w= 0;pour toutv2Vet toutw2W.

On note alorsV?W.

2.1.11 Proposition.-SoitVun sous-espace vectoriel deRn. Alors les sous-espacesV

etV?sont en somme directe.

CHAPITRE 2. ORTHOGONALIT

´E5

2.1.12. Exemples.-On se place dansR4. Consid´erons le planV=R(u;v)et la droite

W=Rw, avec

u=2 6 641
0 0 03 7

75;v=2

6 641
1 0quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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[PDF] Notes de cours et de travaux dirigés

Quels sont les vecteurs orthogonaux ?

Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?

Comment savoir si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ?

Comment calculer les coordonnées des vecteurs?

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Table des mati

1 Les syst

´ecomposition matricielle LU 1

1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Orthogonalit

´e 1

1 Vecteurs orthogonaux et sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sous-espaces remarquables associ

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ecomposition matricielle QR 1

1 Cosinus et projection sur une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Projections orthogonale et m

3 Bases orthonorm

4 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Les m

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2TABLE DES MATI`ERES

CHAPITRE

1Les syst

´ecomposition matricielle LU

´e en pr´esentiel]

1.1.1. Exercice.-

1.1.2. Exercice.-Calculer les produitsFGHetHGF, avec

641 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 13

75;G=2

641 0 0 0

0 1 0 0

0 2 1 0

0 0 0 13

75;H=2

641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 2 13

1.1.3. Exercice.-

41 0 0

0 0d33

0 0 13

´esoudre le syst`eme suivant

Lc=b;avecb=2

41 0 0

´eduire la solution du syst`emeAx=b.

ET LA D´ECOMPOSITION MATRICIELLE LU

1.1.4. Exercice.-Factoriser la matrice

42 3 3

6 9 83

1.1.5. Exercice.-Factoriser sous formeLUles matrices suivantes

43 1 1

1 1 33

41 1 1

1 4 83

1.1.6. Exercice.-R´esoudre en utilisant des d´ecompositionLUet des matrices de permuta-

2x8y+ 3z= 32

1.1.7. Exercice.-Calculer les factorisationsPA=LUpour les matrices suivantes

40 1 1

2 3 43

41 2 1

1 1 13

1.1.8. Exercice.-Factoriser sous formeLUla matrice suivante

64a a a a