[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Droites du plan ; droites et plans de l"espace

Fiche corrigée par Arnaud Bodin

1 Droites dans le plan

Exercice 1SoitPun plan muni d"un repèreR(O;~i;~j), les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans

R. 1.

Donner un v ecteurdirecteur ,la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites

(AB)suivantes : (a)A(2;3)etB(1;4) (b)A(7;2)etB(2;5) (c)A(3;3)etB(3;6) 2.

Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par Aet dirigées par~vavec :

(a)A(2;1)et~v(3;1) (b)A(0;1)et~v(1;2) (c)A(1;1)et~v(1;0) 3. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies comme suit : (a) passant par le point (0;4)et de pente 3, (b) passant par le point (2;3)et parallèle à l"axe desx, (c) passant par le point (2;5)et parallèle à la droiteD: 8x+4y=3. On considère le triangleABCdont les côtés ont pour équations(AB):x+2y=3;(AC):x+y=2;(BC):

2x+3y=4.

1.

Donner les coordonnées des points A;B;C.

2. Donner les coordonnées des milieux A0;B0;C0des segments[BC],[AC]et[AB]respectivement. 3. Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu"elles sont concourantes. Montrer qu"il existe un pointM0équidistant de toutes les droitesDl.

Exercice 4

Déterminer le projeté orthogonal du pointM0(x0;y0)sur la droite(D)d"équation 2x3y=5 ainsi que son

symétrique orthogonal. Exercice 51.T rouverune équation du plan (P)défini par les éléments suivants. (a)A,BetCsont des points de(P) i.A(0;0;1),B(1;0;0)etC(0;1;0). ii.A(1;1;1),B(2;0;1)etC(1;2;4). (b)Aest un point de(P),~uet~vsont des vecteurs directeurs de(P) i.A(1;2;1),~u(4;0;3)et~v(1;3;1). ii.A(1;0;2),~u(2;1;3)et~v(1;4;5). (c)Aest un point de(P),Dest une droite contenue dans(P) i.A(0;0;0)et(D):x+yz+3=0

4xy+2z=0

ii.A(1;1;0)et(D):8 :x=t y=1+2t z=13t (d)DetD0sont des droites contenues dans(P) i.(D):x+yz+3=0 xy2=0et(D0):3xyz+5=0 x+yz+1=0 ii.(D):x+2yz+1=0 x+3y+z4=0et(D0):2x+y3z+7=0

3x+2y+z1=0

2. Montrer que les représentations paramétriques sui vantesdéfinissent le même plan : 8< :x=2+s+2t y=2+2s+t z=1stet8 :x=1+3s0t0 y=3+3s0+t0 z=12s0 On considère la famille de plans(Pm)m2Rdéfinis par les équations cartésiennes : m

2x+(2m1)y+mz=3

1. Déterminer les plans Pmdans chacun des cas suivants : (a)A(1;1;1)2Pm (b)~n(2;52 ;1)est normal àPm. (c)~v(1;1;1)est un vecteur directeur dePm 2. Montrer qu"il e xisteun unique point Qappartenant à tous les plansPm. 2 1.

Déterminer la distance du point Aau plan(P)

(a)A(1;0;2)et(P): 2x+y+z+4=0. (b)A(3;2;1)et(P):x+5y4z=5. 2. Calculer la distance du point A(1;2;3)à la droite(D):2x+y3z=1 x+z=1 1. On considèrelepointA(2;4;1), lesvecteurs!u(1;1;1);!v(2;2;4),!w(3;1;1)etlerepère(A;!u;!v;!w).

On notex0;y0etz0les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de

repère exprimantx;y;zen fonction dex0;y0;z0. 2.

On considère la droite (D):yz=3

x+y=2. Utiliser le changement de repère pour donner une équation deDdans le repère(A;!u;!v;!w). 3. Donner les formules analytiques du changement de repère in verse. 1. Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d"équation 2 x+2yz=1. 2. Définir analytiquement la projection orthogonale sur la droite d"équation x+y+z=1

2xz=2.

3. Donner l"e xpressionanalytique de la projection sur le plan (P)contenant le pointC(2;1;1)et ayant pour vecteurs directeurs~u(0;1;1)et~u0(2;0;1), selon la droite(AB), oùA(1;1;0)etB(0;1;3).

Indication pourl"exer cice2 NLes médianes sont les droites(AA0),(BB0),(CC0).Indication pourl"exer cice3 NLadistanced"unpointM0(x0;y0)àunedroiteDd"équationax+by+c=0estdonnéeparlaformuled(M0;D)=

jax0+by0+c0jpa

2+b2.4

Correction del"exer cice1 N1.(a) Un v ecteurdirecteur est !ABdont les coordonnées sont(xBxA;yByA) = (3;1). Pour n"importe quel vecteur directeur~v= (xv;yv)la pente est le réelp=yvx v. La pente est indépendante du choix du vecteurdirecteur. Ontrouveicip=13 . Uneéquationparamétriquedeladroitedevecteurdirecteur ~vpassant parA= (xA;yA)est donnée parx=xvt+xA y=yvt+yA:Donc ici pour le vecteur directeur!AB on trouve l"équation paramétrique x=3t+2 y=t+3 Il y a plusieurs façons d"obtenir une équation cartésienneax+by+c=0.

Première méthode.On sait queA= (xA;yA)appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient

l"équationaxA+byA+c=0, idem avecB. On en déduit le système2a+3b+c=0 a+4b+c=0:Les

solutions s"obtiennent à une constante multiplicative près, on peut fixera=1 et on trouve alors

b=3 etc=11. L"équation est doncx+3y11=0. (b)

On trouv e~v=!AB= (5;3),p=35

etx=5t7 y=3t2 ainsi x+75 =t y+23 =tOn en déduitx+75 =y+23 ; d"où l"équation 3x+5y+31=0. (c) On trouve~v=!AB=(0;3), ladroiteestdoncverticale(sapenteestinfinie)uneéquationparamétrique estx=3 y=3t+6. Une équation cartésienne est simplement(x=3). 2. (a)

Equation paramétrique

x=3t+2 y=t+1 Troisième méthode.Pour une droite d"équation cartésienneax+by+c=0, on sait que~n= (a;b) est un vecteur normal à la droite et donc~v= (b;a)est un vecteur directeur (car alors~v~n=

0). Réciproquement si~v= (b;a)est un vecteur directeur alors une équation est de la forme

ax+by+c=0 pour une certaine constantecà déterminer. Ici on nous donne le vecteur directeur~v= (3;1)donc on cherche une équation sous la forme x+3y+c=0. Pour trouverc, on utilise queAappartient à la droite doncxA+3yA+c=0, ce qui conduit àc=1. Ainsi une équation de la droite estx+3y=1. (b)

On trouv e2 xy+1=0.

(c)

Droite horizontale d"équation (y=1).

3.

V oicijuste les résultats :

(a)y=3x+4, (b)y=3, (c)

8 x+4y=4 (les droites parallèles à 8x+4y=3 sont de la forme 8x+4y=c).Correction del"exer cice2 N1.Le point Aest l"intersection des droites(AB)et(AC). Les coordonnées(x;y)deAsont donc solutions du

système :x+2y=3 x+y=2donné par les équations des deux droites. La seule solution est(x;y) = (1;1). On a doncA= (1;1). On fait de même pour obtenir le pointB= (1;2)etC= (2;0). 2. Notons A0lemilieude[BC]alorslescoordonnéessetrouventparlaformulesuivanteA0=(xB+xC2 ;yB+yC2 12 ;1). De même on trouveB0= (32 ;12 )etC0= (0;32 5

3.(a) Les médianes ont pour équations : (AA0):(y=1);(BB0):(3x+5y=7);(CC0):(3x+4y=6).

(b)

Vérifions que les trois médianes sont concourantes (ce qui est vrai quelque soit le triangle). On

calcule d"abord l"intersectionI= (AA0)\(BB0), les coordonnées du pointId"intersection vérifient

donc le systèmey=1

3x+5y=7. On trouveI= (23

;1).

Il ne reste plus qu"à vérifier queIappartient à la droite(CC0)d"équation 3x+4y=6. En effet

3xI+4yI=6 doncI2(CC0).

Conclusion : les médianes sont concourantes au pointI= (23

;1).Correction del"exer cice3 NNous savons que la distance d"un pointM0(x0;y0)à une droiteDd"équationax+by+c=0 est donnée par la

formuled(M0;D) =jax0+by0+c0jpa 2+b2. Pour une droiteDlla formule donne :d(M0;Dl) =j(1l2)x0+2ly0(4l+2)jp(1l2)2+4l2.

Analyse.

On cherche un pointM0= (x0;y0)tel que pour toutl,d(M0;Dl) =koùk2Rest une constante.

L"égalitéd(M0;Dl)2=k2conduit à

(1l2)x0+2ly0(4l+2) 2=k2 (1l2)2+4l2

pour toutl2R. Nos inconnues sontx0;y0;k. On regarde l"égalité comme une égalité de deux polynômes en

la variablel.

Pour ne pas avoir à tout développer on raffine un peu : on identifie les termes de plus haut degré enl4:

x

20l4=k2l4doncx20=k2.

En évaluant l"égalité pourl=0 cela donne(x02)2=k2. On en déduit(x02)2=x20dont la seule solution

estx0=1. Ainsik=1 (cark>0). L"égalité pourl= +1 donne(2y06)2=4k2et pourl=1 donne(2y0+2)2=4k2. La seule solution est y 0=2.

Synthèse.Vérifions que le point de coordonnéesM0= (1;2)est situé à une distancek=1 de toutes les droites

D l.

Pour(x0;y0) = (1;2), on trouve :d(M0;Dl) =j(1l2)+4l(4l+2)jp(1l2)2+4l2=jl2+1jp(l2+1)2=jl2+1jjl2+1j=1. DoncM0= (1;2)

est bien équidistant de toutes les droitesDl.Correction del"exer cice4 N(D)est une droite de vecteur normal~n= (2;3). Le projeté orthogonalp(M0)deM0sur(D)est de la forme

M

0+l:~noùlest un réel à déterminer. Le pointM0+l:~na pour coordonnées(x0+2l;y03l).

M

0+l:~n2(D)()2(x0+2l)3(y03l) =5()l=2x0+3y0+513

p(M0)a pour coordonnéesx0+22x0+3y0+513 ;y032x0+3y0+513 ou encorep(M0) =9x0+6y0+1013 ;6x0+4y01513 autrement dits(M0) =M0+2l:~n(pour lelobtenu ci-dessus). Ses coordonnées sont doncs(M0) =x0+42x0+3y0+513 ;y062x0+3y0+513 ou encore5x0+12y0+2013 ;12x05y03013 .Correction del"exer cice5 N6

1.(a) Une équation d"un plan est ax+by+cz+d=0. Si un point appartient à un plan cela donne une

condition linéaire sura;b;c;d. Si l"on nous donne trois point cela donne un système linéaire de

trois équations à trois inconnues (car l"équation est unique à un facteur multplicatif non nul près).

On trouve :

i.x+y+z1=0 ii.

3 x+3y+z7=0

(b)~n=~u^~vest normal au plan. Si~n= (a;b;c)alors une équation du plan estax+by+cz+d=0. On trouve : i.9x+7y+12z17=0 ii.

17 x+13y7z3=0

(c) T rouverdeux points B;Cde la droiteD. Le vecteurs~u=!ABet~v=!ACsont des vecteurs directeurs deP. Procédé ensuite comme la question précédente. On obtient : i. P are xempleB= (0;6;3)etC= (1;0;2)appartiennent àD. On trouve l"équation 4x y+2z=0. ii. P are xempleB= (0;1;1)(poutt=0) etC= (1;1;2)(pourt=1) appartiennent àD. On trouve l"équation 2xy1=0. (d) T rouverun point AdeDet deux pointsB;Cde la droiteD0. Le vecteurs~u=!ABet~v=!ACsont des vecteurs directeurs deP. Puis procédé comme avant. 2. Les plans sont définis paramétriquement par (P):(2;2;1)+s(1;2;1)+t(2;1;1)donc deux des vecteurs directeurs sont~u= (1;2;1)et~v= (2;1;1). Un vecteur normal à(P)est alors~n=~u^~v= (1;1;3). Pourleplan(P0)définipar(1;3;1)+s0(3;3;2)+t0(1;1;0), ilapourvecteursdirecteurs~u0=(3;3;2) et~v0= (1;1;0). Un vecteur normal à(P0)est alors~n0=~u0^~v0= (2;2;6).

Les vecteurs normaux~net~n0sont colinéaires donc les plans(P)et(P0)sont parallèles (ou confondus).

Maintenant le pointA= (2;2;1)appartient à(P)(on a faits=0 ett=0). Il appartient aussi à(P0)(en prenants0=0 ett0=1).

Bilan.(P)et(P0)sont parallèles et ont un point commun : ils sont égaux !Correction del"exer cice6 N1.(a) Un point Aappartient à un plan d"équationax+by+cz+d=0 si et seulement siaxA+byA+

cz A+d=0. DoncA(1;1;1)2Pmsi et seulement sim2+(2m1)+m=3. Ce qui équivaut à m

2+3m4=0. Les deux solutions sontm=1 etm=4. DoncAappartient aux plansP1etP4

et pas aux autres. (b) Un plan d"équation ax+by+cz+d=0 a pour vecteur normal~n=(a;b;c). Donc si~n=(2;52 ;1) est un vecteur normal àPmune équation cartésienne est de la forme 2x52 yz+d=0. Or une équation dePmestm2x+(2m1)y+mz3=0. Ces deux équations sont égales à un facteur multiplicatif prèsl2R: 2x52 yz+d=lm2x+(2m1)y+mz3. On en déduit 2=lm2, 52
=l(2m1)et1=lm. En divisant la première égalité par la troisième on trouve :m=2.

D"oùl=12

. La seconde égalité est alors vérifiée.

Le seul plan ayant~npour vecteur normal estP2.

(c) Un v ecteurest direct eurdu plan Psi et seulement si le produit scalaire~v~n=0. Ici~n= (m2;2m

1;m). Donc~v= (1;1;1)est vecteur directeur si et seulement sim2+2m1+m=0. Ce qui

équivaut àm2+3m1=0. Les deux plans qui ont pour vecteur directeur~vsont les plans ayant le paramètrem=3p13 2 2.

Nous allons prendre 3 plans de la f amille(Pm), calculer leur point d"intersection et finalement montrer

que ce point appartient aux autres plans. 7 Prenons trois paramètre "au hasard"m=0,m=1,m=1. Un point qui appartient à ces trois plans doit vérifier les trois équations :8< :y=3 x+y+z=3 x3yz=3

Il ne reste plus qu"à vérifier que ce point appartient à tous les plansPm: c"est le cas carm20+(2m1)

(3)+m63=0.

pour toutm. En considérant que c"est une égalité polynomiale enm(x0;y0;z0sont fixés) on en déduit que

m

2x0+(2m1)y0+mz03 est le polynôme nul :x0m2+(2y0+z0)my03=0. Ces coefficients sont

nuls :x0=0 (le coefficient dem2), 2y0+z0=0 (le coefficient dem),y03=0 (le terme constant).

On trouve bien sûr le même point d"intersection de tous les plans :Q= (0;3;6).Correction del"exer cice7 N1.La distance d"un point A= (x0;y0;z0)à un planPd"équationax+by+cz+d=0 est donnée par la

formule : d(A;P) =jax0+by0+cz0+djpa

2+b2+c2:

On trouve donc

(a)d(A;P) =j21+10+12+4jp2

2+12+12=8p6

=4p6 3 (b)d(A;P) =2p42 2.

T rouvonsd"abord une équation paramétrique de la droite D. On pose par exemplez=tet on exprimex

etyen fonction det. Partant du système2x+y3z=1 x+z=1on trouvex=1tety=3+t. La droite Dest donc l"ensemble des pointMt= (1t;3+t;t)(tparcourantR).

La distanceAMtvérifie donc

AM Minimiser cette distance c"est trouver le minimum de la fonctiond(t) =3t24t+10. Il est donc atteint pourt0vérifiantd0(t0) =0, donc pourt0=23 . La distance entreAet la droiteDest donc la longueur AM t0=pd(t0) =q26 3 . Au passage on a obtenu la perpendiculaire àDpassant parAc"est la droite (AMt0).

Autre méthode.

Il existe une formule pour calculer directement la distance. Si~vest un vecteur directeur deDetM0un point deDalors d(A;D) =k~v^!AM0kk~vk: On a paramétré la droiteDpar les pointsMt= (1;3;0)+t(1;1;1). DoncM0= (1;3;0)2Det~v= (1;1;1)est un vecteur directeur deD. On a alors!AM0= (0;1;3)et~v^!AM0= (4;3;1): on obtient : d(A;D) =k~v^!AM0kk~vk=p26p3 :Correction del"exer cice8 N8

1.Notons Rle repère initial(0;~i;~j;~k). Dire qu"un pointMdu plan a pour coordonnées(x;y;z)dansR

signifie!OM=x~i+y~j+z~k.

SiR0désigne un autre repère(A;~u;~v;~w)alors le même pointMa pour coordonnées(x0;y0;z0)dansR0

signifie !AM=x0~u+y0~v+z0~w. La formule de changement c"est simplement écrire les coordonnées de l"égalité !OM=!OA+!AM. 0 @x y z1 A =0 @2 4 11 A +x0~u+y0~v+z0~w Mais on connaît les coordonnées de~u;~v;~wdansR: 0 @x y z1 A =0 @2 4 11 A +x00 @1 1 11 A +y00 @2 2 41
A +z00 @3 1 11 A D"où l"égalité de changement de repère : (S)8 :x=2+x0+2y0+3z0 y=4+x0+2y0z0 z=1+x04y0+z0 2.

Dans l"équation de la droit e(D)yz=3

x+y=2dans le repèreRon remplacex;y;zpar la formule(S) obtenue à la question précédente.

On obtient :

Ce qui donne une équation de(D)dans le repèreR0:

6y02z0=0

2x0+4y0+2z0=0ou encore3y0z0=0

x

0+2y0+z0=0

En particulier en faisant(x0;y0;z0) = (0;0;0)on remarque que cette droite passe parA. 3. Nous a vionsobtenu l"ég alité(S)de changement de repère deR0versRqui s"écrit : 8< :x+2=x0+2y0+3z0 y4=x0+2y0z0 z1=x04y0+z0=)8 :X=x0+2y0+3z0

Y=x0+2y0z0

Z=x04y0+z0

Où l"on a notéX=x+2,Y=y4,Z=z1. On inverse le système par la méthode de Gauss pour obtenir après calculs :8< :x 0=112

X+7Y+4Z

y 0=112 X+Y2Z z 0=112 3X3Y Donc 8< :x 0=112 x+7y+4z30 y 0=112 x+y2z z 0=112

3x3y+18

Avec les matrices cela se fait ainsi : le système(S)devient 0 @x+2 y4 z11 A =M0 @x0 y 0 z 01 A oùM=0 @1 2 3 1 21 14 11 A 9 Ainsi 0 @x0 y 0 z 01 A =M10 @x+2 y4 z11 A oùM1=112 0 @1 7 4 1 12 33 01
A

:Correction del"exer cice9 N1.Notons Ple plan d"équation 2x+2yz=1. Et soitM0= (x0;y0;z0)un point quelconque.~n= (2;2;1)

est un vecteur normal au plan. On cherchep(M0)appartenant au plan sous la formeM0+l~n. p(M0)2P()M0+l~n2P ()(x0;y0;z0)+l(2;2;1)2P ()(x0+2l;y0+2l;z0l)2P ()2(x0+2l)+2(y0+2l)(z0l) =1 ()l=12x02y0+z09

En posantl0=12x02y0+z09

, le projeté orthogonal deM0surPest défini parp(M0) = (x0+2l0;y0+

2l0;z0l0).

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