[PDF] Université de Li`ege Examen dadmission aux études dingénieur

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Universit

e de Liege

Examen d'admission aux

etudes d'ing enieur civil

Geometrie et geometrie analytique

Seconde session 2019CONSIGNES A RESPECTER OBLIGATOIREMENT : .L'examen dure2h30 .Surchacune de vos feuilles, indiquer votrenom en lettres majusculeset votreprenom en lettres minuscules(sauf la premiere, en majuscule) .Utiliser desfeuilles separees pour chaque questionetindiquer le numero de la question sur la(les) feuille(s) .Justiertoutes vos demarches.Question 1 Dans un repere orthonorme du plan, on donne la parabolePpar son equation cartesienne x

2= 4y:

1. Representer la parabole.

2. Determiner l'equation cartesienne d'une tangente quelconque a la courbeP. (Attention,

l'equation doit ^etre valable pour n'importe quelle tangente aP.)

3. Determiner le lieu des points qui sont l'intersection de deux tangentes aPorthogonales

entre elles. Question 2Dans un repere orthonorme de l'espace, on considere la droited1, passant par les pointsAet Brespectivement de coordonnees (1;2;3) et (1;0;2), et la droited2, passant par les pointsC;D respectivement de coordonnees (0;1;7) et (2;0;5).

1. Determiner l'equation cartesienne du plan parallele a la droited1et contenant la droite

d 2.

2. Determiner des equations parametriques et des equations cartesiennes de la droited3passant

parCet orthogonale ad1etd2. 1

Examen de geometrie du 1er juillet 2019

Corrige de la question 2

Question 2SoitGle centre de gravite du triangleABC. Demontrer que l'on a kABk2+kBCk2+kCAk2kGAk2+kGBk2+kGCk2= 3 oukXYkdesigne la longueur du segment joignant le pointXau pointY.Reponse L'hypothese est la donnee d'un triangleABCdont on designe parGle centre de gravite.

La these est de montrer que l'on a

kABk2+kBCk2+kCAk2kGAk2+kGBk2+kGCk2= 3: Voici une maniere de proceder pour demontrer la these. Tout d'abord, on peut noter que la longueur du segment joignant deux points est aussi la norme (longueur) des vecteurs joignant les deux points (l'ordre des points n'a pas d'importance). Cela etant, puisqueGest le centre de gravite du triangleABC, pour tout pointXon a 3 !XG=!XA+!XB+!XC: Dans le cas particulier ouX=G, cette relation donne !GA+!GB+!GC=!0 qui fournit !GA+!GB+!GC 2= 0:

Cette expression se developpe comme suit

!GA 2+ !GB 2+ !GC

2+ 2!GA:!GB+ 2!GA:!GC+ 2!GB:!GC= 0

ou, de maniere equivalente (*) !GA 2+ !GB 2+ !GC

2= 2!AG:!GB+ 2!AG:!GC+ 2!BG:!GC:

Exprimons maintenant la valeur dekABk2+kBCk2+kCAk2(numerateur apparaissant dans la these) en fonction de vecteurs faisant intervenir le centre de graviteG. On a kABk2+kBCk2+kCAk2 =k!ABk2+k!BCk2+k!CAk2 =k!AG+!GBk2+k!BG+!GCk2+k!CG+!GAk2 =k!AGk2+k!GBk2+k!BGk2+k!GCk2+k!CGk2+k!GAk2+ 2!AG:!GB+ 2!BG:!GC+ 2!CG:!GA = 2k!AGk2+ 2k!GBk2+ 2k!GCk2+ 2!AG:!GB+ 2!BG:!GC+ 2!CG:!GA:

En utilisant l'egalite obtenue en (*), on obtient

kABk2+kBCk2+kCAk2= 2k!AGk2+ 2k!GBk2+ 2k!GCk2+k!AGk2+k!GBk2+k!GCk2 = 3 k!AGk2+k!GBk2+k!GCk2 = 3 kGAk2+kGBk2+kGCk2 et donc on a l'egalite que l'on devait demontrer. 2

Universit´edeLi`ege

Examend'admissiona ux´etudesd'ing´enieurcivil

G´eom´etrieetg´eom´etrieanalytiqu e

Secondesession2019

Corrig´e

Question1

Dansunrep` ereorth onorm´eduplan,ondonnelapar abolePparson´e quationc art´esienne x 2 =4y.

1.R epr´esenterlaparabole.

2.D´ eterminerl'´equationcart´esienned'u netangentequelconque`alacourbe P.( Attention,

l'´equationdoitˆetrevalablepourn 'importequ elletangente`aP.)

3.D´ eterminerlelieudespointsquisontl'i nterse ctiondedeuxt angentes`aPorthogonales

entreelles.

Exempleder´esolution

1.Lacou rbePestlarepr ´esent ationgraphiquedelafonctionf(x)=x

2 /4,x2R.Laf onct ion f´etantd´erivable dansR,l atangent eaugraphiquedefaup ointdecoordonn´ ees(x 0 ,y 0 )=(x 0 ,x 2 0 /4) apou rcoe cientangulaireDf(x 0 )=x 0 /2;l'´e quationcart´esiennedecettetan genteestdonc y x 2 0 4 x 0 2(xx 0 ouen core y=mxm 2 enposant m= x0 2 .Il s'ensu itquelestangentes`aPsontlesdr oitesd'´eq uationscart´esiennes y=mxm 2 o`umestunparam `etrer ´eel.

2.Enutil isantl'expressionpr´ec´ed entepourl'´equationd'unetangente,onobti entqu'unpointP(x,y)es tunpointd ulieus ietseulement siile xisteunr´eel nonnulmtelque

y=mxm 2 y= 1 m x 1 m 2 Cela´etant,p ourx,yr´eelsetmr´eelnonnul,ona(⌧´eliminationduparam `etrem) y=mxm 2 y= 1 m x 1 m 2 y=mxm 2 m 2 y=mx1 y=mxm 2 (1+m 2 )y=(m 2 +1) )y=1 Onpeut doncdirequ'u npointPdulie uadescoordonn´ ees cart´esie nnes(x,y)quiv´erifient y=1 D´emontronsmaintenantqueladroi ted'´equationcart´esienney=1estbienlelieu:vuce quipr´ec` ede,ilreste`amontrerquetoutpoint P(x 0 ,1)de cetted roitesetrouve`al 'intersection dedeux tangentes`alac ourbeP

,ce stangentes´ etantorthogonales.Vucequip r´ec`ede((*)),c elarevient`amontrerl'exis tence d'unr´eelnonnulmtelque

1=mx 0 m 2 1= 1 m x 0 1 m 2 ,m 2 x 0 m1=0 2

Etantdonn´ex

0 ,ce tte´equationdusec onddegr´eenmposs`edee↵ectivementdeuxsolutionsr´eelles (etlepro duitde cesdeuxsolutionsest´egal `a1).

Question2

Dansunrep` ereorth onorm´edel'espace,onconsi d`ereladroited 1 ,pas santparlespointsAet Brespectivementdecoordonn´ees(1,2,3)et (1,0,2),etla droited 2 ,pas santparlespointsC,D respectivementdecoordonn´ees(0,1,7)et (2,0,5).

1.D´ eterminerl'´equationcart´esiennedup lan

parall`ele`aladroited 1 etcont enantladroite d 2

2.D´ eterminerdes´equationsparam´etrique setdes´eq uationscart´esiennesdeladr oited

3 passant parCetorthogon ale`ad 1 etd 2

Exempleder´esolutio n

1.L'´enonc´epermetdedirequel esvecteurs

ABet

CD,r espectivementdecomposantes(2,2,1)

et(2 ,1,2),sontd euxvecteu rsdirecteur sduplan⇧.Com meceux-cine sontpasparall`elesetque leplanc ontientlad roited 2 (doncenpartic ulierl epointC(0,1,7)),l'´equ ationcart´esienneduplan peutˆetredi rectementobtenue enexprimantl'annulationdud´eterminant suivant(quiexprime queP(x,y,z)app artientauplansietseulement sil esvecteur s CP, ABet

CDsontlin´e airement

d´ependants) det 0 x22 y121 z712 1 A

Onasuccessiv ement

det 0 x22 y121 z712 1 A =x(4+1) (y1)(42) +(z7)(24) =3x+6y6z6+42 =3(x2y+2z12).

Ils'en suitquel'´equationdemand´e eest

x2y+2z=12.

2.Ladr oited

3 doitˆetre orthogonale`ad 1 et` ad 2 ;par d´efin itionduplan ,un vecteu rdirecteur ded 3 estdoncfou rniparunve cteurnormalauplan, `asavoi rparexe mple~n(1,2,2).Cela ´etant, commed 3 passeparC(0,1,7),des´ equationspar am´etriquessont 8 x=0+r1=r y=1+r.(2)=1 2r, z=7+r.2=7+2r r2R etdes´ equationscar t´esiennessont x 1 y1 2 z7 2 3

Résolution:

Examendeg´eom´ etriedu 1erjuillet2019

Corrig´edelaquestion2

Question2

SoitGlecent redegravit´edutrian gleABC.D´ emontrerquel'ona kABk 2 +kBCk 2 +kCAk 2 kGAk 2 +kGBk 2 +kGCk 2 =3 o`ukXYkd´esignelalongueurdusegme ntjoign antlepointXaup ointY.

R´eponse

L'hypoth`eseestladonn´eed'untrian gleABC

dontond´es igne parGlecen tredegravit´e.

Lath `eseestdemontrerqu el'ona

kABk 2 +kBCk 2 +kCAk 2 kGAk 2 +kGBk 2 +kGCk 2 =3. Voiciunemani`e redeproc ´ederpourd´emontrerlath `ese. Toutd'abord, onpeutnoterquelalongu eur dusegmentjoign antdeuxpointse staussilan orme (longueur)desvecteursjoignan tlesdeuxp oints(l'ordredespointsn'ap asd'importance). Cela´etant,pu isqueGestlecen tredegr avit´edutriangleABC,p ourtoutpoint Xona 3 XG= XA+ XB+ XC.

Danslecaspar ticuli ero`u X=G,ce tterelationdonne

GA+ GB+ GC= 0 quifournit GA+ GB+ GC 2 =0.

Cetteexpressions ed´eveloppecommesuit

GA 2 GB 2 GC 2 +2 GA. GB+2 GA. GC+2 GB. GC=0 ou,deman i`ere´ equivalente(*) GA 2 GB 2 GC 2 =2 AG. !GB+2 AG. GC+2 BG. GC.

Exprimonsmaintenantlavaleur dekABk

2 +kBCk 2 +kCAk 2 (num´erateurapparaissantdans lath`e se)enfonctiondevecteur sfaisant intervenirlecentr edegrav it´eG.Ona kABk 2 +kBCk 2 +kCAk 2 =k ABk 2 +k BCk 2 +kquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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