Calcul vectoriel – Produit scalaire
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Montrer qu'il existe un unique point G tel que GA + GB + GC = 0.
S1_DM6 - corrigé
On en déduit que le point K a pour coordonnées (3;1) b) Calculons les coordonnées du point G pour que : GA GB GC= 0. Soit G(x;y) on a :.
Exercices traités_Le plan euclidien
On considère un triangle ABC du plan. a) Montrer l'existence d'un unique point G appelé centre de gravité du trian- gle ABC
Leçon 34 Barycentre de trois ou quatre points ) ( ) ) ( ) ( ) )A ( )B
Il existe un point G unique tel que. 0. GA. GB. GC Soit en passant aux coordonnées : ... 3;0. C . Calculer les coordonnées de G
Université de Li`ege Examen dadmission aux études dingénieur
B respectivement de coordonnées (1 2
VECTEURS ET REPÉRAGE
Trois points du plan non alignés O I et J forment un repère
Barycentre
03?/01?/2011 Á Soit deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) les coordonnées du vecteur ... GA + ?. ??. GB =0 avec ? + ? = 0. On note alors G barycentre des ...
TD BARYCENTRE AVEC CORRECTION
Déterminer les coordonnées du point I dans le 0. AG GB GC. GA GB GC. ? -. +. +. = ?. +. +. = Donc G le barycentre de : {( 1); (
Les droites (AB) et ? sont coplanaires si elles sont parallèles ou
sécantes ; les coordonnées du point d'intersection sont : = ?4 + 2 = ?2. = 4 + 2×2 = 8 BONUS 3) On définit le point G tel que GA + GB + GC + GD = 0.
On considére le sous-espace vectoriel F 1 de R4 formé des solutions
4) En déduire que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires. 5 ) Préciser la décomposition du vecteur de coordonnées (x1x2
Terminale MS Vecteurs A la recherche du point G
On considère que G est le point du plan tel que GA + GB + GC = 0 Partie A 1 Démontrer que pour tout point M du plan MA + MB + MC = 3 MG 2 En déduire que 2 AI = 3 AG; 2 BJ = 3 BG; 2 CK = 3 CG 3 Les points A G I sont-ils alignés ? Justifier 4 Que peut-on dire des médianes du triangle ABC ? Expliquer Partie B Le plan est muni d
Terminale MS Vecteurs A la recherche du point G
On considère que G est le point du plan tel que GA + GB + GC = 0 Partie A 1 Démontrer que pour tout point M du plan MA + MB + MC = 3 MG 2 En déduire que 2 AI = 3 AG; 2 BJ = 3 BG; 2 CK = 3 CG 3 Les points A G I sont-ils alignés ? Justifier 4 Que peut-on dire des médianes du triangle ABC ? Expliquer Partie B Le plan est muni d
Exercices sur les barycentres - SUJETEXA
GA GI 0 En déduire la position de G sur (AI) Exercice 10 ABC est un triangle On note G le barycentre de (A 2) (B 1) et (C 1) Le but de l’exercice est de déterminer la position précise du point G 1) Soit I le milieu de [BC] Démontrer que GB GC 2GI 2) En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on
Géométrie dans l’espace - Plus de bonnes notes
G est le centre de gravité du triangle ABC c’est à dired’après l’exercice précédent que :?GA???+?GB???+?GC??? =??0 On considère le point K tel que : ?KA???+?KB???+?KC???+?KD???=??0 a) Démontrer que : 3?KG???+?KD???=??0 b) En déduire que les points K G et D sont alignés Trouver le réelktel que : ?DK???=k?DG??? puis placer Ksur la ?gure
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose ⃗ =
et ⃗ = , alors ce repère se note également (O, ⃗ ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, ⃗, ⃗) où O est un point et ⃗ et ⃗ sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si ⃗ et ⃗ ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ⃗ et ⃗ sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi
=3⃗+2⃗.Les coordonnées de
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.⃗ O ⃗ Repère orthogonal ⃗ O ⃗ Repère orthonormé ⃗ O ⃗ Repère quelconque ⃗ ⃗ I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, ⃗, ⃗), placer les points . -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs et par lecture graphique.Correction
On a :
=-⃗+5⃗ donc a pour coordonnées . -1 5 =3⃗+2⃗ donc a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points .
/ et .Le vecteur
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs et , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et . 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs ⃗.
/ et ⃗A, et un réel .
On a :
A ⃗
A -⃗.
⃗ et ⃗ sont égaux lorsque =′ et =′. Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3
4
et 3 -4Correction
On a :
3 2 / et -1 53
3×3
3×2
9 6 /, 4 4× -14×5
-4 203
-4 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points .
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.
Correction
est un parallélogramme si et seulement siOn pose .
/ les coordonnées du point .On a alors :
-4-1 3-2 -5 1 / et1-
-2- ADonc : 1-
=-5 et -2- =1 =-5-1 et - =1+2 =6 et =-3.Les coordonnées du point sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que : '-'=0.
Remarque : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : '='.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs ⃗ et ⃗ soient non nuls.Dire que les vecteurs ⃗.
/ et ⃗ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel tel que ⃗ =⃗.Les coordonnées des vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : '=' soit encore '-'=0. Réciproquement, si '-'=0. Le vecteur ⃗ étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que '≠0. Posons alors = . L'égalité '-'=0 s'écrit : '='.Soit : =
Comme on a déjà = ′, on en déduit que ⃗ =⃗.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. 4 -7 / et ⃗. -12 21/ b) ⃗. 5 -2 / et ⃗. 15 -7
Correction
a) '-'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que ⃗=-3⃗.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) '-'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Le nombre '-' est appelé déterminant des vecteurs ⃗ et ⃗.
On note :
Propriété : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. -6 10 / et ⃗. 9 -15 / b) ⃗. 4 9 / et ⃗. 11 23Correction
a) =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires. b) =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites () et () sont parallèles revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.2) Dire que les points , et sont alignés revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
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