[PDF] Vdouine – Première – Enseignement de spécialité – Fonctions

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Vdouine ² Première ² Enseignement de spécialité ² Fonctions trigonométriques

Activités de découverte Page 1

Quelques rappels de définitions

Dans un triangle rectangle, le cosinus G·XQ MQJOH HVP GRQQp SMU OH TXRPLHQP

ADJACENT

HYPOTHENUSE

et le sinus G·XQ MQJOH HVP GRQQp SMU OH TXRPLHQP

OPPOSE

HYPOTHENUSE

Un angle de 45 degrés

On considère le carré ABCD de coté

a dans lequel on a tracé une diagonale.

1. 4XHOOH HVP OM PHVXUH HQ GHJUpV GH O·MQJOH

BAC

2. Exprimer la longueur AC en fonction de

a

3. GpPHUPLQHU OM YMOHXU H[MŃPH GX ŃRVLQXV G·XQ MQJOH

de 45° et la celle GX VLQXV G·XQ MQJOH GH 4DƒB Un angle de 60 degrés et un angle de 30 degrés On considère le triangle équilatéral de coté a dans lequel on a tracé la hauteur issue de C.

1. Quelle est la mesure en degrés de

O·MQJOH

HAC ? Quelle est la mesure en

GHJUpV GH O·MQJOH

ACH

2. Exprimer la longueur AH en fonction

de a . Exprimer la longueur CH en fonction de a

3. Déterminer la valeur exacte du cosinus

G·XQ MQJOH GH 60ƒB Déterminer la valeur

H[MŃPH GX VLQXV G·XQ MQJOH GH 60ƒB

4. GpPHUPLQHU OM YMOHXU H[MŃPH GX ŃRVLQXV G·XQ MQJOH GH 30ƒ et GX VLQXV G·XQ MQJOH GH 30ƒB

Tableau récapitulatif

Récapituler dans le tableau ci-dessous les résultats que vous venez de déterminer.

Angles 30° 45° 60°

Cosinus GH O·MQJOH

Sinus de O·MQJOH

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Activités de découverte Page 2

Conversions

1RXV HIIHŃPXHURQV ŃH PUMYMLO j O·MLGH GHV GHX[ SURSULpPpV VXLYMQPHV :

Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.

Un angle de 360 degrés a pour mesure

2 radians. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité suivant :

Radians

2 5 2 9 5 6 4 3 5

Degrés 90 60 180 30 45 135

Les angles remarquables

Donner la mesure en degrés et en radians des angles au centre de ces quatre polygones réguliers.

On a dessiné des demi-cercles correspondants à des rapporteurs. Indiquer au niveau de chacune

des graduations la mesure en radian. La graduation zéro sera positionnée à droite du rapporteur.

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Activités de découverte Page 3

Pourquoi une nouvelle mesure ?

Enroulement de la droite des réels

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un

cercle de rayon 1 sur lequel chaque point est repéré par un nombre réel TXL ŃRUUHVSRQG j O·MQJOH exprimé en radian formé par le secteur angulaire séparant le point, le centre du cercle O·M[H GHV MNVŃLVVHVB

La mesure en radians permet

G·MVVLPLOHU OH VHŃPHXU MQJXOMLUH j la

ORQJXHXU GH O·MUŃ GH ŃHUŃOH qui lui

correspond. La graduation zéro,

O·RULJLQH, est située sur la droite du

cercle. Le sens direct correspond au sens inverse GHV MLJXLOOHV G·XQH montre. IH VHQV GHV MLJXLOOHV G·XQH montre est appelé sens indirect. Vdouine ² Première ² Enseignement de spécialité ² Fonctions trigonométriques

Activités de découverte Page 4

Quart du cercle trigonométrique

On a dessiné ci-GHVVXV OH TXMUP VXSpULHXU GURLP G·XQ ŃHUŃOH PULJRQRPptrique. Les points A, B et C

sont placés de telle sorte que 3IOA 4IOB et 6IOC . Déterminer OP, OQ et OR.

Définitions

Soit C un cercle trigonométrique de centre O. A tout nombre réel x correspond un unique point M du cercle. Le nombre x

HVP XQH PHVXUH HQ UMGLMQ GH O·MQJOH

AOM cosx est O·MNVŃLVVH de M sinx est O·RUGRQQpH de M Compléter le tableau donnant les valeurs du cosinus et du sinus des angles remarquables. 0 6 4 3 2 cosx sinx Vdouine ² Première ² Enseignement de spécialité ² Fonctions trigonométriques

Activités de découverte Page 5

Vers la fonction cosinus

C est un cercle trigonométrique de centre O. A tout nombre réel x correspond un unique point M du cercle C. Le nombre x est une mesure en radian de

O·MQJOH

AOM

Définition

cosx est O·MNVŃLVVH de M

Tableau de valeurs

Compléter le tableau de valeurs suivant en indiquant dans la seconde ligne la valeur du cosinus. 5 6 3 4 2 3 2 3 4 6 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 Vdouine ² Première ² Enseignement de spécialité ² Fonctions trigonométriques

Activités de découverte Page 6

Tracé de la courbe représentative

1. Dans le UHSqUH SURSRVp HP j O·MLGH GX PMNOHMX GH YMOHXUV tracer la courbe du cosinus.

2. Comment sont placés deux points de la courbe ayant leurs abscisses opposées ?

3. (PMNOLU OH PMNOHMX GH YMULMPLRQ GH OM IRQŃPLRQ VXU O·LQPHUYMOOH

4. EtablLU OH PMNOHMX GH VLJQH GH ŃHPPH IRQŃPLRQ VXU O·LQPHUYMOOH

La fonction cosinus

5pVROXPLRQ G·pTXMPLRQV PULJRQRPpPULTXHV

5. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

cos 1x

VXU O·LQPHUYMOOH

6. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

1cos2x

VXU O·LQPHUYMOOH

7. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

cos 0x

VXU O·LQPHUYMOOH

8. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

1cos2x

VXU O·LQPHUYMOOH

Périodicité

9. On dit que cette fonction est périodique. Pourquoi ? Quelle est la période ?

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Activités de découverte Page 7

Vers la fonction sinus

C est un cercle trigonométrique de centre O. A tout nombre réel x correspond un unique point M du cercle C. Le nombre x est une mesure en radian de

O·MQJOH

AOM

Définition

sinx est O·RUGRQQpH de M

Tableau de valeurs

Compléter le tableau de valeurs suivant en indiquant dans la seconde ligne la valeur du sinus. 5 6 3 4 2 3 2 3 4 6 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 Vdouine ² Première ² Enseignement de spécialité ² Fonctions trigonométriques

Activités de découverte Page 8

Tracé de la courbe représentative

1. GMQV OH UHSqUH SURSRVp HP j O·MLGH GX PMNOHMX GH YMOHXUV tracer la courbe du sinus.

2. Comment sont placés deux points de la courbe ayant leurs abscisses opposées ?

3. (PMNOLU OH PMNOHMX GH YMULMPLRQ GH OM IRQŃPLRQ VXU O·LQPHUYMOOH

4. (PMNOLU OH PMNOHMX GH VLJQH GH ŃHPPH IRQŃPLRQ VXU O·LQPHUYMOOH

La fonction sinus

Résolution G·pTXMPLRQV PULJRQRPpPULTXHV

5. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

sin 1x

VXU O·LQPHUYMOOH

6. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

1sin2x

VXU O·LQPHUYMOOH

7. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

sin 0x

VXU O·LQPHUYMOOH

8. 5pVRXGUH O·pTXMPLRQ

1sin2x

VXU O·LQPHUYMOOH

Périodicité

9. On dit que cette fonction est périodique. Pourquoi ? Quelle est la période ?

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Activités de découverte Page 9

Relations trigonométriques

Le cercle C tracé ci-dessus est un cercle trigonométrique. On considère le point M du cercle ayant pour coordonnées

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