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Géométrie - Chapitre 2

Table des matièresI Rappels et valeurs remarquables2

I 1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

I 2 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

II Repérage sur le cercle trigonométrique 5

II 1 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

II 2 Longueur d"un arc de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

II 3 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

II 4 Repérage sur le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

III Coordonnées d"un point du cercle trigonométrique 9

III 1 Cosinus, sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

III 2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

III 3 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

III 4 Valeurs particulières à connaître sur le premier quart de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

IV Cercle trigonométrique à connaître14C. DU BOIS Première Spécialité 1/ 14 GéométrieTrigonométrieCoursI Rappels et valeurs remarquables

I 1 Rappels

Soit le triangleABCrectangle enA.

cos ^x=ABBC =longueur du côté adjacent à^xlongueur de l"hypoténuse sin ^x=ACBC =longueur du côté opposé à^xlongueur de l"hypoténuse tan ^x=ACAB =longueur du côté opposé à^xlongueur du côté adjacent à^xI 2 Activités

Activité 1 :Dans un triangle équilatéralABC, de longueur de côtéa, soitHle pied de la hauteur issue deA.

1.

Détermine rla mesure des angles

\ABHet\BAH. 2.

C alculerla longu eurAH.

3. En déduire la valeur exacte de cos30,sin30,cos60etsin60. 4. S achantque tanx=sinxcosx, déterminer les valeurs exactes detan30ettan60. Activité 2 :Dans un carréABCD, de longueur de côtéa. 1.

Détermine rla longueur AC.

2.

Détermine rla mesure des angles

[BACet[BCA. 3. En déduire la valeur exacte de cos45,sin45puistan45.C. DU BOIS Première Spécialité 2/ 14 GéométrieTrigonométrieCoursExercices de réinvestissement

I) Valeurs remarquables

Exercice 1 :

1. T racerun triangle BEHrectangle enEtel queEH= 12cm et\BHE= 30. 2.

Montrer que la longueur HBvaut8p3.

3.

T racerla hauteur issue de E, du triangleBEH. Elle coupe le segment [BH] enP. Calculer la longueurPE.

4.

C alculerla longu eurPB.

5.

C alculerl"aire d utriangle BPE.

Exercice 2 :

Le triangleABCest équilatéral etAB= 2cm, le triangleBCDest isocèle rectangle enD. 1. Le p ointHétant le pied de la hauteur issue deAdans le triangleABC, justifier que le point

Dappartient à la droite (AH).

2.

Que vaut l"angle

\ABD? 3.

Déterminer les valeurs exactes de BC,AHetAD.

4. Soit Kle pied de la hauteur issue deDdans le triangleABD. (a)

Montrer que KD=p2sin15

(b) En déduire l"exp ressionde l"aire du triangle ABDen fonction desin15. 5. (a)

Calculer l"aire exacte d estriangles ABHetBDH.

(b)

En déduire l"aire du triangle ABD.

6. Dédu iredes ques tionsp récédentesque sin15=p6p2 4 .C. DU BOIS Première Spécialité 3/ 14 GéométrieTrigonométrieCoursII) Relations trigonométriques

Exercice 1 :Existe-t-il un angle aigubAtel que :

a)cosbA=34 etsinbA=p7 4 b)cosbA=2p5 5 etsinbA=25

Exercice 2 :Calculer la valeur exacte desinbCet detanbCsachant quebCest un angle aigu tel quecosbC=p2

3

Exercice 3 :

1.

On considère

bAun angle aigu.

En utilisant les formules trigonométriques, démontrer l"égalité suivante :1 + tan2bA=1cos

2bA. 2. S oit bBun angle aigu tel quetanbB=12 En utilisant la formule précédente, déterminer la valeur exacte decosbB. 3.

Détermine rensuite la valeur exacte de sinbB.

Exercice 4 :On considèrebAun angle aigu. En utilisant les formules trigonométriques, démontrer l"égalité suivante :

(cosbA+ sinbA)2= 1 + 2sinbAcosbA. Exercice 5 :On lit dans un manuel de trigonométrie quesin15=p6p2 4 1.

V érifierque cos15=p6 +

p2 4 2. En déduire que tan15=2p3.C. DU BOIS Première Spécialité 4/ 14 GéométrieTrigonométrieCoursII Repérage sur le cercle trigonométrique

II 1 Cercle trigonométrique

DEFINITION :

Une unité de mesure étant choisie, on appellecercle trigonométriquetout cercle dont le rayonest égal àune unitéet sur lequel on a choisi un sens de rotationdirect(ou sens

trigonométriqueou senspositif) qui correspond au sens inverse des aiguilles d"une montre.REMARQUE(S) :

L"autre sens de rotation (sens des aiguilles d"une montre) est appelé sensindirectounégatif.II 2 Longueur d"un arc de cercle

Dans le cercle trigonométrique, le rayon étant égal à 1, le périmètre vaut2. C"est la longueur totale de l"arc que forme le cercle.

Il y aproportionnalitéentre la longueur d"un arc de cercle et l"angle au centre qui l"intercepte :Angle au centre dans le cercle trigonométrique360

(un tour complet)180 (un demi-tour)90 (un quart de tour)

Longueur de l"arc intercepté2

2l

Silest la longueur de l"arc intercepté, et l"angle au centre, en degré, dans le cercle trigonométrique, alors on a la relation :l=180

C. DU BOIS Première Spécialité 5/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursII 3 Le radian Les longueurs d"arcs de cercle du paragraphe précédent dépendent de(environ 3,14). Donc, sur cette graduation, la valeur 1 est située entre 4 (environ 0,8) et2 (environ 1,6).

Cette longueur d"arc égale à 1 est interceptée par unangle au centre particulier, car dans ce cas, le rayon du cercle trigonomé-

trique et la longueur de l"arc de cercle sont tous les deux égaux à 1 (unité).

C"est pourquoi, on choisit de donner à cet angle particulier la valeur de 1 dans une nouvelle unité. L"unité ne peut être le degré car

cet angle se situe entre45et90. Cette nouvelle unité estle radian(du latin radius qui signifie rayon).DEFINITION :

SoitCun cercle trigonométrique.

Leradian(de symbole : rad) est la mesure d"un angle au centre qui intercepte sur le cercleCun arc de longueur 1.C. DU BOIS Première Spécialité 6/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursII 4 Repérage sur le cercle trigonométrique

On considère une droite D graduée avec les unités de longueurs d"arc (du paragraphe précédent), dépendantes de.

Cette droite est placée de manière à êtretangenteau cercle trigonométrique en un point A qui est l"originede cette droite graduée

(figure 1). Onenroulecette droite graduée autour du cercle trigonométrique (figure 2).

On obtient ainsi autour du cercle trigonométrique une graduation qui donne les longueurs des arcs interceptés par les angles au centre

correspondants (figure 3).

La demi-droite [AI), formée des points d"abscisses positives, s"enroule dans le sens direct, alors que l"autre demi-droite s"enroule dans

le sens indirect.PROPRIETE :

A tout réelxcorrespond un unique point P sur la droite D, et à chaque point P de D correspond un unique point M de C.

Donc à chaque réelxcorrespond un unique point M de C : on dit quexrepère le point M ou que M est le point de C associé

àx. On le note M(x).C. DU BOIS Première Spécialité 7/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursREMARQUE(S) :

La droite D étant infinie, elle s"enroule en une infinité de tours autour du cercle C, en repassant à chaque tour par le point M.

Chaque tour ayant une longueur égale à2, on peut associer au point M une infinité de réels :x,x+ 2,x+ 4,x2,

x4...

Donc si M est un point de C repéré par un réelx, alors les réels s"écrivant sous la formex+ 2k,k2Z, repèrent aussi M.Exercices :60 p 224C. DU BOIS Première Spécialité 8/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursIII Coordonnées d"un point du cercle trigonométrique

III 1 Cosinus, sinus

DEFINITION :

Soient(O;!{ ;!|)un repère orthonormé direct et C le cercle trigonométrique associé.

Soientx2Ret M le point de C associé àx.

On appellecosinusde x etsinusde x, notéscosxetsinx,l"abscisse et l"ordonnéede M dans le repère(O;!{ ;!|). On note : M(cosx;sinx)ou bien encore :!OM= cosx!i+ sinx!j.III 2 Propriétés

PROPRIETE :

Pour tout nombre réelxet pour tout entier relatifk:(cosx)2+(sinx)2= 116cosx61et16sinx61 cos(x+k2) = cosxetsin(x+k2) = sinxDEMONSTRATION :

Immédiat : théorème de Pythagore (ou définition de la norme) dans un repère orthonormé, définition coordonnées des points du

cercle trigonométrique et enroulement de la droite des réels.C. DU BOIS Première Spécialité 9/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursExemple :Calculersin3 sachant quecos3 =12 .C. DU BOIS Première Spécialité 10/ 14 GéométrieTrigonométrieCoursCorrection :Comme pour toutxréel,(cosx)2+ (sinx)2= 1, on a cos3 2+ sin3 2= 1

Ainsi,

sin3 2= 1 cos3 2 soit sin3

2= 112

2 = 114 =34

Doncsin3

=p3 2 ousin3 =p3 2 Or 3

2]0 ;[doncsin3

>0.

En conclusion,sin3

=p3 2 .REMARQUE(S) : De la même façon, on calcule la valeur exacte desinxquand on connaîtcosx.

Si la mesure principale dex2h

2 ;2 i , alorscosx0sinoncosx <0.

Notation :On note souventcos2xetsin2xau lieu de(cosx)2et(sinx)2.C. DU BOIS Première Spécialité 11/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursIII 3 Angles associés

PROPRIETE :

Pour tout nombre réelx:

cos(x) = cosx sin(x) =sinx( cos(x) =cosx sin(x) = sinx cos(+x) =cosx sin(+x) =sinx8 :cos2 x = sinx sin2 x = cosx8 :cos2 +x =sinx sin2 +x = cosxC. DU BOIS Première Spécialité 12/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursIII 4 Valeurs particulières à connaître sur le premier quart de cercle

angle au centre (en degré)030 45
60
90
x, arc de cercle intercepté0 6 4 3 2 cosx1p3 2p2 21
20 sinx01 2p2 2p3 21

C. DU BOIS Première Spécialité 13/ 14

GéométrieTrigonométrieCoursIV Cercle trigonométrique à connaître

Sur l"intervalle];](intervalle de travail privilégié) :Exercices :62-64-68-80 p 225C. DU BOIS Première Spécialité 14/ 14

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