[PDF] Sans titre L'objectif de ce chapitre

2? dans ? qui vérifie ces propriétés est appelée produit

2≥><+><λ-><λ?λ?VVVUUU?.

0≠U, alors 0,≠> constant. Donc son discriminant est négatif ou nul. Donc

Donc :

Il y a égalité si et seulement si le discriminant est nul, donc si le polynôme admet une racine double, donc s'il existe un réel

λ tel que 0,=>-λ-λ

0=-λVU, donc tel que UVλ=.

Si

0=U, alors les deux membres sont nuls et l'inégalité est vérifiée pour tout V.

Il y a donc égalité si et seulement si

0=U ou UVλ=?λ??, donc si et seulement

si

U et V sont colinéaires.

3) Norme euclidienne

Définition : On appelle norme euclidienne sur 2? l'application qui à tout élément ),(yxU= de 2? associe le réel : 22,yxUUU+=><=. Elle est bien sûr définie car pour tout U de 2? : , 0U U< > ≥.

Fonctions de deux variables - 3 - ECS 1

L'inégalité de Schwarz devient :

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Des propriétés du produit scalaire, on peut déduire les propriétés suivantes :

Propriétés

- Pour tout vecteur U de 2? : 0≥U et 00=?=UU. - Pour tout vecteur U de 2? : UU×λ=λ?λ??. L'inégalité triangulaire est conséquence de l'inégalité de Schwarz : ()()()

222,2,VVUUVUVUVU+><+=>++<=+.

Or

Les termes sont positifs. Donc :

4) Distance euclidienne

Définition : On appelle distance euclidienne sur 2? l'application qui à tous points ),(yxA= et )','(yxB= de 2? associe le réel :

22)'()'(),(yyxxABABBAd-+-=-==.

Des propriétés de la norme, on peut déduire les propriétés suivantes :

Propriétés

- Pour tous points A et B de 2? : 0),(≥BAd. - Pour tous points A et B de 2? : BABAd=?=0),(. - Pour tous points A et B de 2? : ),(),(ABdBAd=. La troisième propriété vient du fait que ABBA-=, donc ABBA=. La quatrième propriété vient de la relation de Chasles

BCABAC+= et de l'inégalité

triangulaire. D'ailleurs elle s'appelle aussi " inégalité triangulaire ».

On en déduit une autre propriété :

Propriété

Donc :

Donc :

5) Boules

Définition : Soit A un point de 2? et un réel 0>r : - L'ensemble {}rMAdMrABA et de rayon r.

Si ),(baA=, on obtient l'ensemble des points ),(yxM= de 2? tels que

Fonctions de deux variables - 4 - ECS 1

Propriétés :

a) L'intersection de deux boules ),(1rAB et ),(2rAB de même centre A est la boule ),(rAB de centre A et de rayon ),(Min21rrr=. b) Si 1A et 2A sont deux points distincts de 2?, il existe un réel 0>r tel que ?=∩),(),(21rABrAB. c) Pour tout point M d'une boule ouverte ),(rAB, il existe un réel 0>ε tel que la boule ouverte ),(εMB soit entièrement contenue dans ),(rAB. Démonstration : La propriété a) est évidente.

Pour la propriété b), il suffit de prendre

),(3 1

21AAdr=.

En effet, pour tout point

),(1rABM? et tout point ),(2rABN?, on a :

Donc :

0),(>≥rNMd. Donc NM≠. Donc ?=∩),(),(21rABrAB.

Pour la propriété c), il suffit de prendre

)],([2

1MAdr-=ε (0> car rMAd<),().

Pour tout

Or ε-=2),(rMAd. Donc : rrNAd<ε-<),(. Donc ),(rABN?. On peut remarquer que cette propriété est fausse pour les boules fermées. En effet, si

M appartient à la frontière de

),(rAB, c'est-à-dire si rMAd=),(, toute boule de centre M et de rayon ε contient des points extérieurs à ),(rAB, par exemple le point

N défini par

AMrMN2

ε= et donc n'est pas contenue dans ),(rAB.

6) Parties ouvertes et fermées

Par analogie avec la propriété c) précédente, on généralise la notion d'" ouvert ».

Définition

: Une partie D de 2? est ouverte si ?=D ou si pour tout DM?, il existe une boule ouverte de centre M contenue dans D. C'est-à-dire : ?=D ou : DMBDM?ε+∞?ε???),([,0].

Exemples

• et 2? sont des parties ouvertes de 2?. • Les boules ouvertes sont des parties ouvertes de 2?. • Les demi-plans {}0/),(2>++?cbyaxyx? et {}0/),(2<++?cbyaxyx? sont des parties ouvertes de

2?. Montrons le pour {}0/),(2>++?=cbyaxyxD?.

Soit DM?, donc 0>++cbyaxMM. Soit ),(εMB une boule ouverte de centre M.

Pour tout

Pour tout réel z,

Donc :

Or :

Donc :

)()(bacbyaxcbyaxMMNN+ε-++≥++.

Donc si

)(2bacbyax MM +++=ε, alors 0)(2

1>++≥++cbyaxcbyax

MMNN.

Donc il existe

0>ε tel que tout ),(ε?MBN appartienne à D : DMB?ε),(.

Donc {}0/),(2>++?=cbyaxyxD? est une partie ouverte de 2?.

Fonctions de deux variables - 5 - ECS 1

Mais les boules fermées ne sont pas des parties ouvertes de 2?. Par contre, si D est le complémentaire d'une boule fermée ),(rABf, c'est-à-dire si {}rMAdMD>?=),(/2?, on peut montrer que D est une partie ouverte.

En effet, pour tout

DM? on peut poser ]),([2

1rMAd-=ε (donc 0>).

Alors :

Donc ε-≥),(),(MAdNAd. Or : ε+=2),(rMAd. Donc : rrNAd>ε+≥),(. Donc

DN?. Donc DMBDM?ε+∞?ε???),([,0].

Donc D est une partie ouverte de

2?. On en déduit une généralisation de la notion de " fermé ».

Définition

: Une partie D de 2? est fermée si son complémentaire DD-=2? est une partie ouverte de 2?.

Exemples :

• Les boules fermées sont des parties fermées de 2?. • ? et 2? sont des parties à la fois ouvertes et fermées de 2?. des parties fermées de 2?.

Propriétés

a) La réunion d'un nombre fini ou infini de parties ouvertes est une partie ouverte. b) L'intersection d'un nombre fini de parties ouvertes est une partie ouverte.

Démonstration :

a)

Soit IiiD?)( une famille d'ouverts de 2? et U

Iii DD =. Si ?=D, alors D est un ouvert. Sinon, soit DM?. Donc il existe Ii? tel que iDM?. Comme iD est un ouvert de

2?, il existe un réel 0>ε tel que iDMB?ε),( . Or DDi?. Donc

DMB?ε),(. Donc D est un ouvert.

b) n i i DD 1= =. Soit DM?. Donc pour tout TPni,1?, on a iDM?. Comme, pour tout TPni,1?, iD est un ouvert de 2?, il existe un réel 0 >εi tel que iiDMB?ε),( . Donc DMB n i i =I

1),(. Or on a vu

que

1ε=ε

=MBMB n i iI si ),...,(Inf1nεε=ε. Comme les iε sont en nombre fini, ε est l'un des iε et donc 0>ε. Donc DMB?ε),(. Donc D est un ouvert.

Remarque

: Par contre, dans le cas d'une intersection d'un nombre infini d'ouverts, le minimum ε ne serait pas forcément atteint et on pourrait avoir 0=ε. Donc une intersection d'un nombre infini d'ouverts n'est pas forcément un ouvert.

Conséquences

a) La réunion d'un nombre fini de parties fermées est une partie fermée. b) L'intersection d'un nombre fini ou infini de parties fermées est une partie fermée. C'est évident par passage au complémentaire.

7) Parties bornées

Fonctions de deux variables - 6 - ECS 1

Or ),(MOdM=, donc cela signifie qu'il existe une boule ),(KOBf contenant D. Il n'y a pas unicité de K, donc la boule peut être ouverte ou fermée.

Plus généralement, s'il existe une boule

),(rAB telle que ),(rABD?, alors pour tout point

Théorème

: Une partie D de 2? est bornée si et seulement si il existe une boule contenant D.

Exemples :

• Les boules ouvertes ou fermées sont des parties bornées de 2?. • Tout segment ],[BA est une partie bornée de 2?. • Les droites et les demi-plans ne sont pas des parties bornées de 2?.

Propriétés

a) L'intersection d'un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée. b) La réunion d'un nombre fini de parties bornées est une partie bornée. L'intersection est contenue dans n'importe quelle partie, donc dans une boule. Si U n i i DD

1== et si pour tout TPni,1?, les parties iD sont bornées, donc s'il existe

0 >ir tel que ),(iirOBD?, alors ),(rOBD? avec ),...,Max(1nrrr=.

8) Parties convexes

Définition : Une partie D de 2? est convexe si : DNMDNM???],[),(2. Cela revient à dire que : DtNMttDNM?+-????)1(]1,0[),(2.

Exemples :

• De manière évidente, les segments et les droites sont convexes. • Les boules ouvertes ou fermées sont convexes. En effet, si ),(rABD= et 2),(DNM?, on a : rAM< et rAN<. Soit ]1,0[?t et tNMtP+-=)1(. Donc : ANtAMtAP+-=)1(.

Donc :

• Les demi-plans ouverts ou fermés sont convexes. Soit {}0/),(2>++?=cbyaxyxD? et 2),(DNM?, on a 0>++cbyaxMM et

0 >++cbyaxNN. Soit ]1,0[?t et tNMtP+-=)1( donc ???+-=+-=NMPNMPtyytytxxtx )1()1(

Donc )())(1(

cbyaxtcbyaxtcbyaxNNMMPP+++++-=++. Si [1,0]?t, tous les termes sont strictement positifs, donc 0>++cbyaxPP et donc DP?. Si 0=t, alors MP= donc DP?, et si 1=t, NP= donc DP?. • Si f est une fonction convexe, alors {})(/),(2xfyyxD≥?=? est convexe.

En effet, si

2),(DNM?, on a : )(MMxfy≥ et )(NNxfy≥.

Soit ]1,0[?t et tNMtP+-=)1(. Donc ???+-=+-=NMPNMPtyytytxxtx )1()1(

Or la fonction est convexe, donc : )()()1()(

Donc

Fonctions de deux variables - 7 - ECS 1

Il y a même équivalence entre " la fonction f est convexe » et " l'ensemble {})(/),(2xfyyxD≥?=? est convexe ».

Propriété

L'intersection d'un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée.

Mais c'est faux pour la réunion.

II - Fonctions définies sur ????2

1) Graphe d'une fonction

Définition : Si f est une fonction définie sur une partie D non vide de 2?, on appelle graphe de f l'ensemble {}),(et ),(/),,(3yxfzDyxzyx=???. Le graphe d'une fonction de 2 variables est donc une partie de 3?. Exemple 1 : Si cbyaxyxf++=),( avec )0,0(),(≠ba, son graphe est un plan de 3?. Exemple 2 : Si 22),(yxyxf+=, son graphe est un paraboloïde de 3?. Exemple 3 : Si 22),(yxyxf-=, son graphe est un hyperboloïde de 3?.

2) Courbes de niveau

L'exemple le plus courant est celui des cartes IGN où l'on trouve des lignes joignant les points de même altitude en montagne.

Définition

: Etant donné un réel k, on appelle courbe de niveau k d'une fonction f de deux variables l'ensemble {}kyxfDyxfk=?=),(/),(L. Ces courbes de niveau sont représentées dans le plan. Bien sûr, deux courbes de niveaux différents ne se coupent pas. Et certaines courbes de niveau peuvent être vides. Exemple 1 : Si cbyaxyxf++=),(, alors {}0/),(2=-++?=kcbyaxyxk?L. On obtient une famille de droites parallèles si )0,0(),(≠ba. Exemple 2 : Si 22),(yxyxf+=, alors {}kyxyxk=+?=222/),(?L. On obtient une famille de cercles concentriques pour les réels

0≥k et ? si 0 Exemple 3 : Si xyyxf=),(, alors {}kxyyxk=?=/),(2?Lon obtient une famille d'hyperboles équilatères.

Exemple 4 : Si )ln()2ln(),(yxyxyxf+-+-=, alors

???>+>+-??002),(yxyxDyxf et ???++-=?=kk keexyyx12)1(/),(

2?L. On obtient encore une famille de droites.

Elles ne sont pas parallèles, mais passent toutes par le point )1,1(- qui n'appartient pas

à l'ensemble de définition.

III - Continuité et limites sur ????2

1) Limite en un point

Une fonction f est définie au voisinage d'un point 2??A si pour tout 0>r, la boule ),(rAB contient au moins un point de l'ensemble de définition fD. On élimine ainsi les points isolés. La fonction peut ou non être définie en A.

Pour tout

),(yxM=, on notera )(),(Mfyxf= pour simplifier.

Définition

: Soit f une fonction définie au voisinage de 2??A. On dit que la fonction

Fonctions de deux variables - 8 - ECS 1

C'est une extension de la notion de limite dans ?, la distance remplaçant la valeur absolue (qui est la distance dans Les propriétés sont analogues à celles des limites de fonctions d'une variable.

Théorème

: Si une fonction f admet une limite en A, cette limite est unique. Démonstration : On fait un raisonnement par l'absurde.

Supposons que

f admette deux limites distinctes 1l et 2l en A.

Puisque

21ll≠, 213

1ll-=ε est strictement positif.

Donc :

Et : Si ),(Min21αα=α, ),(),(),(21α∩α=αABABAB, et donc :

Or, pour tout

Donc :

Donc l'hypothèse

21ll≠ est fausse. Il y a unicité de la limite.

On peut remarquer que c'est la même démonstration que pour les fonctions d'une variable en remplaçant les intervalles par des boules.

Notation

: On note l=→)(limMfAM ou l=)(limMfA. Les théorèmes d'opérations sur les limites finies sont les mêmes que pour les fonctions d'une variable. Les démonstrations sont analogues en remplaçant les intervalles par des boules.

Théorème

: Soient f et g deux fonction définie sur une partie D de 2?. Si l=→)(limMfAM et ')(liml=→MgAM, alors : ')]()([limll+=+→MgMfAMquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50