[PDF] Fonction de deux variables Proposition 3.8 : Continuité d'

View - Download Fonction de deux variables

Previous PDF

Next PDF

Fonction de deux variables

Table des matières

1 Topologie deR22

1.1 L"ensembleR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Ouverts, fermés, bornés deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Généralités sur les fonctions de deux variables 4

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4 Continuité d"une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Calcul différentiel d"ordre16

3.1 Dérivées partielles d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.2 Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

4 Calcul différentiel d"ordre28

4.1 Dérivées partielles d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

4.2 Fonctions de classeC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

4.3 Développement limité d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

5 Extrema d"une fonction de deux variables réelles 10

5.1 Définitions, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

5.2 Condition nécessaire d"extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.3 Condition suffisante d"extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6 Annexe : Fonction de production de Cobb-Douglas 17

1

1 Topologie deR2

1.1 L"ensembleR2

On rappelle queR2désigne l"ensemble des couples(x,y)de réels.Définition 1.1 :Distance euclidienne de deux points deR2SoientA= (xA,yA)etB= (xB,yB)deux points deR2. On appelledistance deAàBle réeld(A,B)

défini par : d(A,B) =?(xB-xA)2+ (yB-yA)2.

On note aussid(A,B) =d((xA,yA),(xB,yB)).Propriété 1.2 :Propriétés des distancesSoientAetBdeux points deR2, on a

•Séparation : d(A,B) = 0??A=B. •Symétrie : d(A,B) =d(B,A). •Inégalité triangulaire :

B(A,r) =?

M?R2|d(A,M)< r?

.De même, on appelle boule ferméede centreAet de rayonrl"ensemble B f(A,r) =? .2

Définition 1.4 :Produit cartésienSoientEetFsont deux parties deR, alorsle produit cartésienE×Fest la partie (ou sous-ensemble)

deR2défini par :

E×F=?

(x,y)?R2|x?Eety?F? .1.2 Ouverts, fermés, bornés deR2Définition 1.5 :Ouvert deR2 SoitUune partie deR2. On dit queUest unepartie ouvertesi pour toutA?U, il exister >0tel que

B(A,r)?U.Exemple 1.

L"ensembleR2, toute boule ouverte et tout ensemble de la forme]a,b[×]c,d[(oùa,b,cetd

sont réels ou infinis), sont des ouverts deR2.Définition 1.6 :Fermé deR2SoitUune partie deR2. On dit queUest une partie ferméesiU=R2\Uest une partie ouverte.Exemple 2.

Toute boule fermée et tout ensemble de la forme[a,b]×[c,d](oùa,b,cetdsont réels ou

infinis), sont des fermés deR2.Définition 1.7 :Borné deR2SoitUune partie deR2. On dit queUest une partie bornées"il existeM >0tel que

Autrement dit,Uest bornée si elle est incluse dans une boule fermée de centre(0,0).Exemple 3.Poura,b,cetdréels,]a,b[×]c,d[et[a,b]×[c,d]sont des ensembles bornés.

Exemple 4.

Représenter les sous-ensembles suivants deR2et indiquer s"ils sont ouverts, fermés et/ou bornés. 1.C=? (x,y)?R2|0< x <1et0< y <1? 2.D=? 3.E=? 4.F=? (x,y)?R2|x2+y2>1oux >0? 5.G=? 6.H=? 3

2 Généralités sur les fonctions de deux variables

2.1 DéfinitionDéfinition 2.1 :Fonction de deux variablesOn appellefonction de deux variables, toute fonctionfdéfinie sur une partieUdeR2à valeurs dansR:

f:U?R2→R (x,y)?→f(x,y)Exemple 5.On définit les fonctions suivantes : f: (x,y)?→11 +x2+y2, g: (x,y)?→e-(x+y)2, h: (x,y)?→x? (ln(x))2+?y-2?

Les fonctionsfetgsont des fonctions deR2dansR, à chaque couple(x,y)deR2, elles associent un nombre

réel. La fonctionhest une fonction définie surR?+×[2,+∞[à valeurs dansR.

Exemple 6.

En économie, les fonctions de production de Cobb-Douglas, sont les fonctions qui, à deux

variables réelles (la quantité de travailLet le capital investiK), associent la production totalefdéfinie par :

f(L,K) =cLαK1-α,avecα,c >0.

Dans le cadre du modèle de la concurrence pure et parfaite,αcorrespond à la répartition des revenus entre le

travail et le capital.

2.2 Fonctions polynomialesDéfinition 2.2 :Fonction polynomialeOn appelle fonction monômedeR2dansRtoute fonction de la forme

(x,y)?→axiyj,aveca?Reti,j?N.

On appelle fonction polynomialedeR2dansRtoute somme finie de fonctions monômes.Exemple 7.(x,y)?→x2y+y3-2xy2+ 5x-3est une fonction polynomiale.

2.3 Représentation graphiqueDéfinition 2.3 :Graphe

Soitfune fonction de deux variables définie surU?R2. On appellegraphe defl"ensemble des points de l"espaceR3défini par : {(x,y,z)?U×R|z=f(x,y)}Remarque 2.4 :Nappe Le graphe d"une fonction deR2dansRest une surface (ou nappe) de l"espaceR3usuel. Cette nappe a pour équationz=f(x,y).4

Méthode 2.5 :Comment tracer une nappe avecfplot3d?On construit le vecteurxdes abscisses et le vecteurydes ordonnées, on déclare la fonctionfdont on veut

tracer la nappe, puis on utilise la commandefplot3d(x,y,f).Exemple 8.Tracer dans Scilab la fonctionf: (x,y)?→x3-4xy2sur[-1,1]2.

--> function z=f(x,y); z=x^3-4*x*y^2, endfunction --> x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1; fplot3d(x,y,f)Définition 2.6 :Ligne de niveau

Soitfune fonction de deux variables définie surU?R2. Pourλ?R, on appelleligne de niveauλdef,

l"ensemble des points de l"espaceR2défini par : {(x,y)?U|λ=f(x,y)} Les lignes de niveau d"une fonction deU?R2dansRsont des courbes.Exemple 9. Sifdésigne l"altitude au point de coordonnées(x,y), sur les cartes topographiques, les lignes de niveaux defreprésentent l"altimétrie.5

2.4 Continuité d"une fonction de deux variables

Définition 2.7 :Continuité en un point deR2Soitf:U→Rune fonction définie sur une partieUdeR2etM0?U. On dit quefestcontinue enM0si

f(M)-→M→M0f(M0).

Autrement dit si

•Toute fonction polynomiale deR2dansRest continue surR2. Soientf,gdeux fonctions continues définies sur une partieUdeR2etλ?R, alorsλf,f+g,fg etfg (signe s"annule pas surU) sont continues surU.Propriété 2.10 :Continuité et composition Soientfune fonction continue sur une partieUdeR2et à valeurs dansI?Ret?:I→Rune fonction

continue, alors?◦fest continue surU.Exemple 10.Montrer que la fonctionfdéfinie parf(x,y) = ln?1 +x2+ey?est continue surR2.

3 Calcul différentiel d"ordre1

3.1 Dérivées partielles d"ordre1Définition 3.1 :Dérivée partielle d"ordre1par rapport à la première variable en un point deR2

Soitfune fonction deU?R2dansR. Pour(x0,y0)?U, si la fonctiong:x?→f(x,y0)est dérivable

enx0, alors on dit quefestdérivable par rapport à la première variable en(x0,y0). On note alors la

dérivée partielle d"ordre1defpar rapport à la première variable en(x0,y0)par :

1(f)(x0,y0) =g?(x0).Remarque 3.2 :Dérivée partielle d"ordre1par rapport à la deuxième variable en un point deR2

De même, on définit la dérivée partielle d"ordre1defpar rapport à la deuxième variable en(x0,y0)par

∂2(f)(x0,y0).Exemple 11. Soitfla fonction définie surR2parf(x,y) =y e-x2-y. Calculer les dérivées partielles d"ordre 1def. 6

Définition 3.3 :Dérivée partielle d"ordre1Sifest dérivable en tout point d"une partieUdeR2, on note∂1(f)la fonction définie surUpar

1(f) :U→R

(x,y)?→∂1(f)(x,y)

De même, on note∂2(f)la fonction définie surUpar :(x,y)?→∂2(f)(x,y).Méthode 3.4 :Comment calculer des dérivées partielles d"ordre1?•Pour dériver une fonctionfde deux variables par rapport à la première variable, on fixe la variable

y(qui joue alors le rôle d"une constante), puis on dérive par rapport àx. On obtient ainsi la dérivée

partielle defpar rapport àx, que l"on note∂1(f). •De même, pour∂2(f)en échangeant les rôles des variablesxety.Exemple 12. Soitfla fonction définie surR2parf(x,y) = 2x3-x2y+ 5xy-7. Calculer les dérivées

partielles d"ordre1def.Définition 3.5 :Gradient defOn appelle gradient defen(x,y)le vecteur deM2,1(R)défini par

?(f)(x,y) =?∂

1(f)(x,y)

2(f)(x,y)?

On lit "nabla defen(x,y)".Propriété 3.6 :Vecteurs gradients et lignes de niveauLes vecteurs gradients sont orthogonaux aux lignes de niveau.

Exemple 13.function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction; xarrows([1;1.5],[0;0]);7

3.2 Fonctions de classeC1Définition 3.7 :ClasseC1On dit quefestde classeC1sur une partieUdeR2, sifadmet des dérivées partielles surUet que

∂1(f)et∂2(f)sont continues surU.Proposition 3.8 :Continuité d"une fonction de classeC1Toute fonction de classeC1surUest continue surU.Propriété 3.9 :Fonction polynomialeToute fonction polynomiale deR2dansRest de classeC1surR2.Propriété 3.10 :ClasseC1et opérations

Les sommes, combinaisons linéaires, produits et quotients bien définis de fonctions de classeC1surU,

sont de classeC1surU.Propriété 3.11 :ClasseC1et composition Soientfune fonction de classeC1sur une partieUdeR2et à valeurs dansI?Ret?:I→Rune fonction de classeC1, alors?◦fest de classeC1surU.4 Calcul différentiel d"ordre2

4.1 Dérivées partielles d"ordre2Définition 4.1 :Dérivées partielles d"ordre2Soitfune fonction admettant des dérivées partielles d"ordre1surU?R2.

Si∂1(f)admet une dérivée partielle d"ordre1par rapport à la première variable surU, alors on

dit quefpossède une dérivée partielle d"ordre2par rapport à la première variable surU, et on la

note

21,1(f) =∂1(∂1(f)).

Si∂1(f)admet une dérivée partielle d"ordre1par rapport à la deuxième variable surU, alors

on dit quefpossède une dérivée partielle d"ordre2par rapport à la première variable puis par

rapport à la deuxième variable surU, et on la note

22,1(f) =∂2(∂1(f)).

•De même, on définit :

21,2(f) =∂1(∂2(f))et∂22,2(f) =∂2(∂2(f)).Exemple 14.

Reprenonsfla fonction définie surR2parf(x,y) =y e-x2-y. Calculer les dérivées partielles

d"ordre2def.Méthode 4.2 :Comment calculer des dérivées partielles d"ordre2?Soitf:U?R2→Radmettant une dérivée partielle première suivant la première et deuxième variable.

•Pour calculer∂21,1(f)et∂22,1(f): On calcule d"ab ord∂1(f)qui est une fonction de deux variables.

On calcule ensuite la dérivée partielle d"ordre1de∂1(f)par rapport àxpour obtenir∂21,1(f)

et par rapport àypour obtenir∂22,1(f). •Pour calculer∂22,1(f)et∂22,2(f): On calcule d"ab ord∂2(f)qui est une fonction de deux variables.

On calcule ensuite la dérivée partielle d"ordre1de∂2(f)par rapport àxpour obtenir∂21,2(f)

et par rapport àypour obtenir∂22,2(f).8

Méthode 4.2 :Comment calculer des dérivées partielles d"ordre2?Soitf:U?R2→Radmettant une dérivée partielle première suivant la première et deuxième variable.

•Pour calculer∂21,1(f)et∂22,1(f): On calcule d"ab ord∂1(f)qui est une fonction de deux variables.

-On calcule ensuite la dérivée partielle d"ordre1de∂1(f)par rapport àxpour obtenir∂21,1(f)

et par rapport àypour obtenir∂22,1(f). •Pour calculer∂22,1(f)et∂22,2(f): On calcule d"ab ord∂2(f)qui est une fonction de deux variables.

On calcule ensuite la dérivée partielle d"ordre1de∂2(f)par rapport àxpour obtenir∂21,2(f)

et par rapport àypour obtenir∂22,2(f).Exemple 15. Reprenonsfla fonction définie surR2parf(x,y) = 2x3-x2y+5xy-7. Calculer les dérivées

partielles d"ordre2def.Définition 4.3 :Matrice hessienneOn appelle matrice hessienne defen(x,y)la matrice deM2(R)définie par

2(f)(x,y) =?∂21,1(f)(x,y)∂21,2(f)(x,y)

22,1(f)(x,y)∂22,2(f)(x,y)?

On lit "nabla deux defen(x,y)".4.2 Fonctions de classeC2Définition 4.4 :ClasseC2 On dit quefest de classeC2sur une partieUdeR2, sifadmet des dérivées partielles d"ordre2surUet

que chacune de ces quatre dérivées partielles est continue surU.Proposition 4.5 :ClasseC1d"une fonction de classeC2Toute fonction de classeC2surUest de classeC1surU.Propriété 4.6 :Fonction polynomialeToute fonction polynomiale deR2dansRest de classeC2surR2.Propriété 4.7 :ClasseC2et opérations

Les sommes, combinaisons linéaires, produits et quotients bien définis de fonctions de classeC2surU,

sont de classeC2surU.Propriété 4.8 :ClasseC2et composition Soientfune fonction de classeC2sur une partieUdeR2et à valeurs dansI?Ret?:I→Rune

fonction de classeC2, alors?◦fest de classeC2surU.Théorème 4.9 :Théorème de SchwarzSifune fonction de classeC2surU?R2, alors

?(x,y)?U, ∂22,1(f)(x,y) =∂21,2(f)(x,y).9 Théorème 4.9 :Théorème de SchwarzSifune fonction de classeC2surU?R2, alors

?(x,y)?U, ∂22,1(f)(x,y) =∂21,2(f)(x,y).Remarque 4.10 :Matrice hessienne symétrique pour une fonction de classeC2Sifune fonction de classeC2surU?R2, sa matrice hessienne en tout point(x,y)deUest symétrique.4.3 Développement limité d"ordre2Définition 4.11 :Développement limité d"ordre2d"une fonction de deux variablesSoientf:U→Rune fonction de classeC2et(x0,y0)?U.

On appelle développement limité d"ordre2defen(x0,y0), l"égalité suivante : pour tout(x,y)?U

f(x,y) =f(x0,y0) +∂1(f)(x0,y0)(x-x0) +∂2(f)(x0,y0)(y-y0) 12 ∂21,1(f)(x0,y0)(x-x0)2+ 2∂21,2(f)(x0,y0)(x-x0)(y-y0) +∂22,2(f)(x0,y0)(y-y0)2? (x-x0)2+ (y-y0)2?

ε(x,y)

oùεdésigne une fonction continue qui s"annule en(x0,y0).Proposition 4.12 :Développement limité d"ordre2d"une fonction de deux variablesLe développement limité d"ordre2defenM0= (x0,y0)est unique. On peut également l"écrire

f(M) =f(M0) +t?(f)(M0).(M-M0) +12 t(M-M0)?2(f)(M0)(M-M0) +d?M0,M?2ε(M)

oùεdésigne une fonction continue qui s"annule enM0.5 Extrema d"une fonction de deux variables réelles

5.1 Définitions, premières propriétésDéfinition 5.1 :Minimum globalSoitf:U→R. On dit que(x0,y0)?Uest un minimum globalpourfsi

?(x,y)?U, f(x,y)≥f(x0,y0).Exemple 16.On définit la fonctionfsur[-1,1]2par ?(x,y)?[-1,1]2, f(x,y) =x2+y2. On observe quefadmet un minimum global en(0,0)sur[-1,1]2. function [z]=F(x,y), z=x^2 + y^2, endfunction; x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F); 10 Définition 5.2 :Maximum globalSoitf:U→R. On dit que(x0,y0)?Uest un maximum globalpourfsi ?(x,y)?[-1,1]2, f(x,y) =-(x2+y2). On observe quefadmet un maximum global en(0,0)sur[-1,1]2. function [z]=F(x,y), z=-(x^2 + y^2), endfunction; x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F);11

Définition 5.3 :Minimum localSoitf:U→R. On dit que(x0,y0)?Uest un minimum localpourfs"il exister >0tel que

?(x,y)?B((x0,y0),r)∩U, f(x,y)≥f(x0,y0).Exemple 18.On définit la fonctionfsur[-1,4]2par ?(x,y)?[-1,4]2, f(x,y) = 3(x4+y4)-16(x3+y3) + 18(x2+y2). On observe quefadmet un minimum global sur[-1,4]2, ainsi que plusieurs minima locaux. function [z]=F(x,y), z=3*x^4-16*x^3+18*x^2+3*y^4-16*y^3+18*y^2, endfunction; x=linspace(-1,4,31); y=linspace(-1,4,31); fplot3d(x,y,F);

Définition 5.4 :Maximum localSoitf:U→R. On dit que(x0,y0)?Uest un maximum localpourfs"il exister >0tel que

Contrairement à un extremum local, l"inégalité est vraie sur toutUpour un extremum global. Un

extremum global est également un extremum local.Exemple 19.On définit la fonctionfsur[-1,1]2par

?(x,y)?[-1,1]2, f(x,y) =x2-y2.

On observe quefadmet un point selle en(0,0).

function [z]=F(x,y), z=x^2 - y^2, endfunction; x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F); 12

Théorème 5.6 :Fonction continue sur un fermé bornéUne fonction continue sur une partieUfermée et bornée deR2est bornée surUet elle atteint ses bornes

(i.e.il existe un maximum global et un minimum global).Remarque 5.7 :Théorème des bornes

Ce théorème rappelle le théorème des bornes pour des fonctions deRdansR: "Toute fonction d"une

variable continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes".5.2 Condition nécessaire d"extremum local

Définition 5.8 :Point critique

Soitfune fonction admettant des dérivées partielles d"ordre1surU. On dit que(x,y)?Uest un point critiquedefsurUsi ?(f)(x,y) =?0 0? .Exemple 20. Pour(x,y)?R2, on considèref(x,y) =x2+y2. La fonctionfest une fonction polynomiale et est donc de classeC1surR2. Ainsi pour(x,y)?R2

1(f)(x,y) = 2xet∂2(f)(x,y) = 2y.

Puisque?(f)(0,0) =?0

0? , le point(0,0)est un point critique defsurR2. 13

Proposition 5.9 :Condition nécessaire d"extremum localSoit une fonctionfde classeC1sur un ouvertUdeR2.

Mest un extremum (local ou global) defsurU?Mest un point critique def.Remarque 5.10 :Attention !La réciproque de cette proposition est fausse.

Exemple 21.Pour(x,y)?R2, on considèref(x,y) =x3. Alors pour tout(x,y)?R2, ?(f)(x,y) =?2x2 0?

Ainsi(0,0)est un point critique, cependant(0,0)n"est pas un extremum local.Remarque 5.11 :L"ensemble de départ doit être un ouvert pour appliquer la proposition précédenteSiUn"est pas un ouvert, alorsfpeut avoir un extremum (local ou global) en un point autre qu"un point

critique.Exemple 22. Pour(x,y)?[0,1]×[0,1], on considèref(x,y) =x+y. Alors pour tout(x,y)?[0,1]×[0,1], (1,1)est donc un maximum global pourfsurU, cependant on a?(f)(1,1) =?1 1?

.Méthode 5.12 :Comment trouver les points critiques?Soitfde classeC1sur un ouvertU. On résout le système pour(x,y)?U

?(f)(x,y) = 0??∂

1(f)(x,y) = 0,

2(f)(x,y) = 0.

Les solutions (ce sont les points critiques def) sont les seuls points en lesquelsfpeut admettre un

extremum (à vérifier ensuite).Exemple 23.Déterminer les points critiques de la fonctionfdéfinie surR?+×Rpar

f(x,y) =x? ln2(x) +y2? 14

5.3 Condition suffisante d"extremum local

Proposition 5.13 :Condition suffisante d"extremum localSoit une fonctionfde classeC2sur un ouvertUdeR2et(x0,y0)un point critique defsurU. Soientλ1

etλ2les valeurs propres de?2(f)(x0,y0), on a3cas :

1>0etλ2>0?fadmet un minimum local en(x0,y0).

1<0etλ2<0?fadmet un maximum local en(x0,y0).

1etλ2sont non nulles et de signes opposés?fn"a pas d"extremum en(x0,y0) :

le point(x0,y0)est un point col (ou point selle).Démonstration.Voici une idée de la preuve de cette proposition :

Comme(x0,y0)est un point critique def, le développement limité d"ordre2defen(x0,y0)s"écrit avec

εdésigne une fonction continue qui s"annule en(x0,y0) f(x,y)-f(x0,y0) =12 t?x-x0 y-y0?

2(f)(x0,y0)?x-x0

y-y0? +d?(x0,y0),(x,y)?2ε(x,y)

Comme la fonctionfest de classeC2en(x0,y0), la matrice?2(f)(x0,y0)est donc symétrique. Par conséquent,

la matrice?2(f)(x0,y0)est diagonalisable, il existe donc une matricePinversible et une matriceDdiagonale

telles que

2(f)(x0,y0) =PDP-1=P?λ

10

0λ2?

P -1

Les valeurs propresλ1etλ2permettent alors de déterminer localement autour du point(x0,y0)le signe de

f(x,y)-f(x0,y0).Remarque 5.14 :Valeur propre de la hessienne nulleSi une valeur propre de?2(f)(x0,y0)est nulle, on ne peut rien déduire de l"étude de la hessienne.Remarque 5.15 :Extremum local pas nécessairement global

Attention, cette proposition énonce des conditions suffisantes pour qu"un point critique defsoit un

extremum local, mais cela ne prouve pas que cet extremum est global.Méthode 5.16 :Comment savoir sifa un extremum local en un point critique?

Pour vérifier si un point critique(x0,y0)d"une fonctionfde classeC2est un extremum local, il faut

calculer les dérivées partielles secondes defen(x0,y0). Puis on forme la matrice hessienne defen(x0,y0)

?2(f)(x0,y0) =?∂21,1(f)(x0,y0)∂21,2(f)(x0,y0)

22,1(f)(x0,y0)∂22,2(f)(x0,y0)?

On détermine les valeurs propres de?2(f)(x0,y0), puis on utilise la proposition précédente pour déterminer

si(x0,y0)est un extremum local.Exemple 24.On reprend l"exemple précédent : ?(x,y)?R?+×R, f(x,y) =x? ln2(x) +y2? Déterminer si les points critiques(1,0)et?e-2,0?sont des extrema locaux. 15

Méthode 5.17 :Comment montrer qu"un extremum est global?Soitfune fonction définie sur une partieUdeR2. Pour montrer quefa un maximum global en un point

(x0,y0)deU, il suffit de montrer que pour tout(x,y)?U, on a De même pour un minimum global, il faut montrer que pour tout(x,y)?U, on a f(x,y)≥f(x0,y0).Exemple 25.On reprend l"exemple précédent : ?(x,y)?R?+×R, f(x,y) =x? ln2(x) +y2?

Déterminer si(1,0)est un minimum global def.

Exemple 26.

Une société fabrique des pièces mécaniques. Cette fabrication dépend de deux paramètres

indépendants strictement positifs,xety. Le coût unitaire d"une pièce est donné par la fonctionc

?(x,y)?(R?+)2, c(x,y) = 2x2+y2. Le taux de pièces défectueuses est donné par la fonctionτ: ?(x,y)?(R?+)2, τ(x,y) =11 +x2y2.

Le but de cet exercice est de maximiser le processus de fabrication de ces pièces. Pour ce faire, on cherchera

à minimiser la fonctionfégale au coût unitaire moyen d"une pièce, c"est-à-dire le rapport du coût unitaire

d"une pièce par le taux de pièces non défectueuses : ?(x,y)?(R?+)2, f(x,y) =c(x,y)1-τ(x,y)=2y

2+ 2x2+1x

2+y2. 16

6 Annexe : Fonction de production de Cobb-Douglas

ContexteEn 1928, Cobb et Douglas ont cherché une fonctionfde classeC1définie de(R?+)2à valeurs dansR?+, qui

caractérise la production d"un système économique en fonction du travailLet du capital investiK:

(L,K)?→f(L,K).

Nous recourons aux dérivées partielles pour expliquer comment la forme particulière de leur modèle provient

de certaines hypothèses.

La dérivée partielle∂1(f)(L,K)est le taux de variation de la production par rapport à la quantité de

main d"oeuvreL. On l"appelleproductivité marginale du travail. C"est la variation de la production

engendrée par l"ajout d"un travailleur supplémentaire.

De même, la dérivée partielle∂2(f)(L,K)est le taux de variation de la production par rapport

au capitalK. On l"appelleproductivité marginale du capital. C"est la variation de la production engendrée par l"utilisation d"une unité de capital supplémentaire . Les hypothèses de Cobb et Douglas s"énoncent comme suit. (i)Production nulle sans apport : si le travail ou le capital s"annule, alors la production s"annule aussi.

Par conséquent,

?(L,K)?(R?+)2,limx→0+f(x,K) = limy→0+f(L,y) = 0. (ii)Productivité marginale du travail : la productivité marginale du travail est proportionnelle à la pro- duction par unité du travail. Il existe doncα >0tel que ?(L,K)?(R?+)2, ∂1(f)(L,K) =αf(L,K)L (iii)Productivité marginale du capital : la productivité marginale du capital est proportionnelle à la production par unité du capital. Il existe doncβ >0tel que ?(L,K)?(R?+)2, ∂2(f)(L,K) =βf(L,K)K (iv)Rendements d"échelle constants : si le travail et le capital augmentent d"un même facteurm >0, alors la production augmente aussi du facteurm: ?(L,K)?(R?+)2, f(mL,mK) =mf(L,K).

Cette dernière contrainte n"est pas toujours vérifiée; quand elle ne l"est pas, on parle de Cobb-Douglas

généralisé.

Les hypothèses(ii)et(iii)ont été motivées par la constatation de Paul Douglas que la part du revenu

du travail (α≈0.7) dans le revenu total (somme de la rémunération des travailleurs et du capital) était

demeurée constante sur une longue période. En d"autres termes, à mesure que l"économie croissait, le revenu

des travailleurs et des détenteurs du capital augmentait approximativement au même rythme. Douglas a donc

demandé à Cobb de construire une fonction de production conduisant à des parts distributives constantes

lorsque chacun des facteurs était rémunéré à hauteur de sa productivité marginale. Une telle fonction de

production devrait avoir les propriétés suivantes : revenu du travail=L×production marginale du travail=αf(L,K), revenu du capital=K×production marginale du capital= (1-α)f(L,K).

Ainsi construite, la fonction de Cobb-Douglas met en avant que les parts distributives des facteurs ne

dépendent que du paramètreαet non des volumes de capital et de travail utilisés. 17

Questions

1.On suppose le capital fixé égal àK0. En utilisant l"hypothèse(ii), montrer qu"il existe un réelα >0

et une fonction?1vérifiant : ?L?R?+, f(L,K0) =Lα?1(K0). 2.

On suppose le travail fixé égal àL0. En utilisant l"hypothèse(iii), montrer qu"il existe un réelβ >0

et une fonction?2vérifiant : ?K?R?+, f(L0,K) =Kα?2(L0). 3.

Montrer qu"une fonction de production de Cobb-Douglas vérifiant les quatres hypothèses(i),(ii),

(iii)et(iv)ci-dessus s"écrit : ?(L,K)?(R?+)2, f(L,K) =cLαK1-α, pour des valeurs deαque l"on précisera.

Corrigé

1. On notegla fonctionL?→f(L,K0). Commefest de classeC1sur(R?+)2,gest de classeC1surR?+. D"après l"hypothèse(ii), il existeα >0tel que ?L?R?+, g?(L) =αg(L)L Commefne s"annule pas sur(R?+)2,gne s"annule pas surR?+, ainsi?L?R?+, g ?(L)g(L)=α1L ?(ln(g(L)))?=α(ln(L))?= (ln(Lα))? ? ?CK0>0tel queln(g(L)) = ln(Lα) +CK0 Doncg(L) =LαeCK0, il existe donc une fonction?1telle que ?L?R?+, f(L,K0) =Lα?1(K0). 2. On notehla fonctionK?→f(L0,K). Commefest de classeC1sur(R?+)2,hest de classeC1sur R?+. D"après l"hypothèse(iii), il existeβ >0tel que ?K?R?+, h?(K) =αh(K)K Commefne s"annule pas sur(R?+)2,hne s"annule pas surR?+, ainsi?K?R?+, h ?(L)h(L)=β1K ?(ln(h(L)))?=β(ln(K))?=? ln?

Kβ???

? ?CL0>0tel queln(h(K)) = ln?

Kβ?

+CL0 Donch(K) =KβeCL0, il existe donc une fonction?2telle que ?K?R?+, f(L0,K) =Kβ?2(L0). 3. D"après les questions précéden tes,p ourtout (L,K)?(R?+)2, f(L,K) =Lα?1(K) =Kβ?2(L). 18 PourK= 1,?2(L) =Lα?1(1)on a et, pourL= 1, on a?1(K) =Kβ?2(1); donc f(L,K) =?2(1)LαKβ=?1(1)LαKβ.

Il existe donc une constantec >0telle que

?(L,K)?(R?+)2, f(L,K) =cLαKβ. D"après l"hypothèse(iv), on af(mL,mK) =mf(L,K), ce qui se traduit par : ?(L,K)?(R?+)2, f(mL,mK) =cmα+βLαKβ=cmLαKβ.

Doncα+β= 1. Ainsi

?(L,K)?(R?+)2, f(L,K) =cLαK1-α.Précisons l"ensemble des valeurs deαpour les quelles cette relation est vérifiée; l"hypothèse(i)nous

informe que ?(L,K)?(R?+)2,limx→0+f(x,K) = limy→0+f(L,y) = 0. Donc ?(L,K)?(R?+)2,limx→0+cxαK1-α= limy→0+cLαy1-α= 0. Il faut donc queαet1-αsoient strictement positifs; il en résulte queα?]0,1[.19quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] continuturi simulare 2017

[PDF] continuturi simulare evaluare nationala 2017

[PDF] contoh struktur skala upah perusahaan

[PDF] contraception hormonale masculine svt

[PDF] contraction de texte corrigé pdf

[PDF] contraction de texte hec 2004

[PDF] contraction de texte introduction

[PDF] contraction de texte isc

[PDF] contraction des longueurs formule

[PDF] contraction hec 1997

[PDF] contraction hec l homme révolté

[PDF] contraction musculaire pdf

[PDF] contraction musculaire spé svt

[PDF] contragestif

[PDF] contrat aesh 2018