[PDF] SYSTEMES DIFFERENTIELS 6 déc. 2004 Remarque

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SYSTEMES DIFFERENTIELS

P. Pansu

December 6, 2004

1 Motivation

Etude du mouvement d"un syst`emes de masses reli´ees par desressorts, glissant le long d"une poutre

soufflante. Pour simplifier, les ressorts ont mˆeme raideurket les corps mˆeme massem.

Notonsxi(t) l"´ecart par rapport `a la position d"´equilibre pour lei-`eme corps. NotonsX(t) le

vecteur de composantesxi(t). Pour 3 masses, le principe fondamental de la dynamique s"´ecrit mX ??(t) =kAX(t) o`uA=((-2 1 0 1-2 1

0 1-2))

Les physiciens ont compris qu"en g´en´eral, le mouvement est une superposition de mouvements fondamentaux appel´esmodes propres. Ce sont les mouvements o`u tous les corps oscillent `a la

mˆeme fr´equence.ωest une fr´equence propre si et seulement si-ω2est une valeur propre dek

mA.

2 Position du probl`eme

2.1 D´efinition

D´efinition 1Unsyst`eme diff´erentiel lin´eaire `a coefficients constantsd"ordre1`an´equations prend

la formeX?=AX+Bo`uXetBsont des fonctions surR`a valeurs dansRn(i.e., des vecteurs d´ependant du temps),Aune matricen×nind´ependante du temps.Xest l"inconnue,Ble second membre,Ala matrice du syst`eme. Probl`eme. Etant donn´eesAetB, trouver toutes les fonctionsX:R→Rnsolutions de X ?=AX+B.

On s"int´eresse aussi `a des syst`emes diff´erentiels lin´eaires qui se ram`enent `a un syst`eme d"ordre

1.

Exemple 2

?x??(t) =a1x(t) +b1y?(t) +c1x(t) +d1y(t) +b1(t) y ??(t) =a2x(t) +b2y?(t) +c2x(t) +d2y(t) +b2(t), x(0) =x0, x?(0) =x?0, y(0) =y0, y?(0) =y?0.

Ce syst`eme est ´equivalent `a un syst`eme de 4 ´equations dupremier ordre. En effet, on introduit deux

nouvelles fonctions inconnuesz(t) etw(t), qui repr´esentent les vitessesz(t) =x?(t),w(t) =y?(t).On

pose

X(t) =((((x(t)

y(t) z(t) w(t))))) , A=((((0 0 1 00 0 0 1 a

1b1c1d1

a

2b2c2d2))))

, B(t) =((((00 b 1(t) b

2(t)))))

, X0=((((x 0 y 0 x?0y?0)))) 1 Le syst`eme ´equivaut `aX?=AX+Bavec condition initialeX(0) =X0.

Exemple 3

?x??(t) = 2x(t) +x?(t) +b(t) y ?(t) =x(t) +y(t) +x?(t), x(0) =x0, x?(0) =x?0, y(0) =y0.

Ce syst`eme ´equivaut `a un syst`eme `a 3 ´equations du premier ordre. En effet, on introduit une

nouvelle fonction inconnuez(t) qui repr´esente la vitessex?(t). On pose

X(t) =((

x(t) y(t) z(t))) , A=(( 0 0 1 1 1 1

2 0 1))

, B(t) =(( 0 0 b(t))) , X0=(( x 0 y 0 x?0)) Le syst`eme ´equivaut `aX?=AX+Bavec condition initialeX(0) =X0.

3 Principes g´en´eraux

3.1 Lin´earit´e

Les fonctions solutions forment un espace affine.

Proposition 4La solution g´en´erale du syst`emeX?=AX+Bs"obtient en ajoutant `a une solution particuli`ere la solution g´en´erale dusyst`eme lin´eaire homog`ene associ´eX?=AX.

3.2 Existence et unicit´e

Proposition 5SoitIun intervalle deR, soitB:I→Rnun vecteur d´ependant continˆument du temps. Fixonst0?I. Pour tout vecteurX0?Rn, il existe une et une seule solutionX:R→Rn, t?→X(t), deX?=AX+B, telle queX(t0) =X0. Corollaire 6Pour un syst`eme den´equations du premier ordre, l"espace des solutions est un espace affine de dimensionn. Le principe fondamental de la dynamique conduit souvent `a des syst`emes den´equations du second

ordre. Dans ce cas, une solution est d´etermin´ee par sa position et sa vitesse initiales. L"espace des

solutions est de dimension 2n.

4 Trajectoires des syst`emes homog`enes de deux ´equations

du premier ordre

4.1 Position du probl`eme

On va donner une repr´esentation graphique des solutions desyst`emesX?=AXo`uAest une matrice 2×2.

D´efinition 7Unetrajectoired"un syst`eme diff´erentiel est l"ensemble des positions prises par une

solution. C"est une courbe dans le plan dont on a oubli´e la param´etrisation, sauf l"orientation.

Objectif. Etant donn´eA, tracer suffisamment de trajectoires pour donner une id´ee fid`ele de l"ensemble. 2

4.2 PrincipesOn notewle champ de vecteurs d´efini parw(x,y) =A?x

y? •Les trajectoires sont tangentes au champw. •Deux trajectoires non confondues ne se coupent pas. •Deux solutions port´ees par la mˆeme trajectoire diff`erentd"une translation du temps.

•L"image d"une trajectoire par une homoth´etie de centre l"origine est encore une trajectoire.

4.3 M´ethode graphique

•On commence par repr´esenter par des fl`eches la direction etle sens du champ de vecteurs en

quelques points. Par homog´en´e¨ıt´e,w(λx,λy) =λw(x,y), la direction et le sens du champ

sont constants le long de chaque demi-droite issue de l"origine. Le sens change mais pas la direction lorsqu"on traverse l"origine. On trace les droites (isoclines) le long desquellesswest horizontal (resp. vertical). Eventuellement, on repr´esente le champ le long d"autres droites. •On trace une trajectoire en respectant la tangence au champ.Le quadrant NE, NO, SO, SE vers lequel pointe la vitesse est constant entre les isoclines.

±101

±11

Le champwTrac´e `a la main Trac´e de l"ordinateur

Trajectoires pour la matriceA=?2 11 1?

4.4 M´ethode utilisant les vecteurs propres

4.4.1 Trajectoires rectilignes

Remarque 8Sivest un vecteur propre deA, relatif `a une valeur propreλ?= 0, la demi-droite

issue de l"origine et de vecteur directeurvest une trajectoire, orient´ee vers l"infini siλ >0, vers

l"origine siλ <0. Siλ= 0, chaque point de la droite vectorielle engendr´ee parvest une trajectoire.

4.4.2 R`egles utiles au trac´e

•SiA?=μAavecμ?= 0, les matricesAetA?ont les mˆemes trajectoires, avec la mˆeme orientation siμ >0, avec l"orientation oppos´ee siμ <0. •SiA?=P-1AP, les trajectoires deAs"obtiennent en transportant au moyen de l"endomor- phisme de matricePles trajectoires deA?, i.e. par un changement lin´eaire de coordonn´ees.

Exemple 9SoientA=?0 11 0?

etA?=?1 00-1? 3 Aa pour valeurs propres 1 et-1, les droites propres sont les bissectrices des axes. Ellesportent 5

trajectoires sp´eciales, l"origine et quatre demi-droites. En diagonalisantA, on trouve une matrice

inversibleP=?1 11-1? telle queP-1AP=A?. On reconnaˆıt la matrice d"une similitude d"angle

π/2 et de rapport⎷

2. PourA?, les deux axes, qui sont les droites propres, portent 5 trajectoires sp´eciales, l"origine et quatre demi-droites. Si (x0,y0) n"est pas sur un axe, alorsx(t) =x0etety(t) =y0e-tne changent pas de signe, et leur produit est constant. La trajectoire de (x0,y0) est donc une branche d"hyperbole, d"o`u la figure. Les trajectoires non rectilignes deAsont les images de ces hyperboles parP.

±101

±11±101

±11

Trajectoires deA?=P-1APTrajectoires deA

Remarque 10La matriceAcorrespond `a l"´equation diff´erentielle du second ordrex??-x= 0, i.e. au mouvement d"un point le long d"une droite, dans le champ de potentielV(x) =-1 2x2.

On voit que l"origine est un ´equilibreinstable, puisque la plupart des trajectoires qui passent au

voisinage s"en ´eloignent. Il y a pourtant deux trajectoires (rectilignes) qui convergent vers 0 en

temps infini.

4.4.3 Catalogue

D´efinition 11Deux matricesAetA?sont ditessemblabless"il existe une matrice inversibleP telle queA?=P-1AP.

Proposition 12Toute matrice2×2est semblable

•ou bien, `a une matrice diagonale?λ0

0μ?

•ou bien, `a la matrice d"une similitude, i.e. de la forme?a-b b a? •ou bien `a une matrice de la forme?λ1

0λ?

Pour avoir une id´ee de tous les dessins possibles, `a changement lin´eaire de coordonn´ees pr`es, il

suffit de tracer les trajectoires des syst`emes mod`eles fournis par la proposition 12. Dans le cas diagonalisable surR, les signes des valeurs propres (λetμ >0 de mˆeme signe,

de signe oppos´e, l"une vaut 0, les deux valent 0), et leur grandeur relative (λ > μ,λ=μ,λ < μ)

influencent le dessin. Dans le cas diagonalisable surC, il faut distinguer suivant que les valeurs 4 propres sont imaginaires ou non. Dans le cas non diagonalisable, le cas o`u la valeur propre est nulle doit ˆetre trait´e `a part.

Cela conduit au catalogue suivant.

FamilleCrit`ereNomMod`eleFigure

Unevaleurs propres

distinctes(01)?1 00 0?

±101

±11

valeur proprevaleur propre double, non diagonalisable(02)?0 10 0?

±101

±11

nullevaleur propre double, diagonalisable(03)?0 00 0?

±101

±11

Diagonalisablevaleurs propres

distinctes de mˆeme signenoeud non d´eg´en´er´e?2 00 1?

±101

±11

survaleur propre doublesoleil?1 00 1?

±101

±11

Rvaleurs propres

de signes contrairescol?2 00-1?

±101

±11

Diagonalisablevaleurs propres

non imaginairesfoyer?1 2 -2 1?

±101

±11

surCvaleurs propres imaginaires purescentre?0-1 1 0?

±101

±11

Non diagonalisablevaleur propre doublenoeud d´eg´en´er´e?1 10 1?

±101

±11

4.4.4 Trac´e

Cols 5 Dans un col, les trajectoires non rectilignes ont pour asymptotes les droites propres.

Noeuds non d´eg´en´er´es

Dans un noeud non d´eg´en´er´e, les trajectoires non rectilignes •arrivent `a l"origine tangentiellement `a la droite proprecorrespondant `a la valeur propre de plus petite valeur absolue ; •ont pour direction asymptotique la droite propre correspondant `a la valeur propre de plus grande valeur absolue. Foyers, centres et noeuds d´eg´en´er´es Combiner l"information donn´ee par les valeurs propres avec la m´ethode graphique.

Exemple 13Familley??+ (a-1)y?-ay.

On transforme l"´equation en le syst`eme

?x?= (1-a)x+ay y ?=x. a <-1a=-1-1< a <0a= 0a >0 noeud non d´eg´en´er´enoeudd´eg´en´er´enoeud non d´eg´en´er´e (01)col

±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11

Exemple 14Famille?x?=-x+ (2 + 2a)y

y ?= (-1-a)x+ (1 + 2a)y. a <-1a=-1-1< a <0a= 0a >0

±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11±101

±11

Remarque 15Ces exemples sont assez repr´esentatifs de ce qu"on s"attend `a trouver dans une famille `a un param`etre de syst`emes :

•des intervalles o`u le syst`eme est un noeud non d´eg´en´er´e, un col ou un foyer ;

•des valeurs exceptionnelles o`u le syst`eme est un centre, un noeud d´eg´en´er´e ou un syst`eme de

type(01). •les autres types sont rares.

4.5 Syst`emes attractifs

D´efinition 16On dit qu"un syst`eme diff´erentiel estattractifsi toutes les solutions tendent vers 0

quandttend vers+∞. Il estr´epulsifsi toutes les solutions tendent vers 0 quandttend vers-∞.

Il eststablesi toutes les solutions sont born´ees lorsquettend vers+∞. Exercice 17Montrer qu"un syst`eme homog`ene de deux ´equations du premier ordreX?=AXest attractif si et seulement si 6

•c"est un noeud non d´eg´en´er´e, un foyer, un noeud d´eg´en´er´e ou un soleil ;

•la tracetrace(A)est strictement n´egative. Le syst`emeX?=AXest r´epulsif si et seulement si

•c"est un noeud non d´eg´en´er´e, un foyer, un noeud d´eg´en´er´e ou un soleil ;

•la tracetrace(A)est strictement positive. Le syst`emeX?=AXest stable si et seulement si c"est ou bien un centre, ou bien un syst`eme

attractif, ou bien un syst`eme de type(01)dont la valeur propre est n´egative, ou bien une syst`eme

de type(03).

4.6 Int´egrales premi`eres

D´efinition 18Une int´egrale premi`ere, pour le syst`emeX?=AX, c"est une fonction continue f:R2→Rqui est constante le long des trajectoires. Exercice 19Montrer qu"un syst`eme homog`ene de deux ´equations du premier ordreX?=AX poss`ede une int´egrale premi`ere non constante si et seulement si c"est un centre, un col ou un syst`eme de type(0).

5 R´esolution des syst`emes homog`enes

5.1 Cas o`u la matrice du syst`eme est diagonalisable

On a vu plus haut que sivest un vecteur propre de la matriceApour la valeur propreλ, alors t?→eλtvest solution du syst`emeX?=AX. LorsqueAest diagonalisable, cela suffit pour trouver toutes les solutions. Proposition 20SoitAune matrice diagonalisable surC. Soit(v1,...,vn)une base de vecteurs propres complexes, relatifs `a des valeurs propres(λ1,...,λn). Toute solution du syst`emeX?=AX s"´ecrit t?→X(t) =n? j=1c jeλjtvj,

o`ucj?C. Pour trouver la solution de condition initialeX0, il suffit de r´esoudre le syst`eme lin´eaire?nj=1cjvj=X0o`u les inconnues sont lescj.

Exemple 21SoitA=?8-3

18-7? On calculePA(x) =x2-x-2 = (x+ 1)(x-2),E2est la droite de vecteur directeurv1=?12? E -1la droite de vecteur directeurv2=?13? . Les solutions du syst`emeX?=AXsont de la forme t?→X(t) =e2tc1v1+e-tc2v2=?c1e2t+c2e-t

2c1e2t+ 3c2e-t?

. La solution de condition initiale?11? s"obtient en r´esolvant le syst`eme ?c1+c2= 1

2c1+ 3c2= 1?

dont la solution estc1= 2,c2=-1. Exercice 22NotonsE(t)la matricen×ntelle queX(t) =E(t)X0. De la formule e

λt= limk→∞(1 +1

kλt)k, d´eduire que, lorsqueAest diagonalisable,

E(t) = limk→∞(I+1

ktA)k 7

5.2 Cas o`u la matrice du syst`eme poss`ede une valeur proprede multi-

plicit´en

L"exercice 22 sugg`ere de calculer (I+1

ktA)ket de passer `a la limite lorsquektend vers l"infini. Si P A(x) = (x-λ)n, on poseA=λI+B. La formule du binˆome donne (I+1 ktA)k= ((1 +1kλt)I+1ktB)k = (1 + 1 kλt)kI+k(1 +1kλt)k-1tkB+···+?k p? (1 +1kλt)k-p(tkB)p+··· o`u au plusntermes sont non nuls. Lep-`eme terme s"´ecrit k(k-1)···(k-p+ 1) p!kp(1 + 1 kλt)k (1 +1kλt)p(tB)p qui tend verseλt1 p!(tB)p. Proposition 23SoitAune matricen×ndont le polynˆome caract´eristique est de la formePA(x) = (x-λ)n. SoitX0?Rn. La solution du syst`emeX?=AXtelle queX(0) =X0est donn´ee par la formule

X(t) =eλt(n-1?

p=01 p!(tB)p)X0, o`uB=A-λI. Exemple 24R´esolution de l"´equation diff´erentielle du second ordrey??-2y?+y= 0.

Elle ´equivaut au syst`emeX?=AXo`uX=?y?

y? etA=?2-1 1 0? . CommePA(x) = (x-1)2, on poseB=A-I=?1-1 1-1? . D"apr`es le th´eor`eme de Cayley-Hamilton,B2= 0. On calcule

E(t) =et(I+tB) =et?1 +t-t

t1-t?

La solution du syst`emeX?=AXtelle queX(0) =X0=?x0

y 0? est donn´ee par

X(t) =E(t)X0=et?(1 +t)x0-ty0

-tx0+ (1-t)y0?

5.3 Comportement asymptotique des solutions

On se demande si un syst`eme lin´eaireX?AXest attractif, r´epulsif, stable. L"expression des solutions

permet aussi de r´epondre `a la question. Exercice 25On suppose la matriceAdiagonalisable surC. Montrer que le syst`emeX?=AX

est attractif (resp. r´epulsif) si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie r´eelle

strictement n´egative (resp. positive). Montrer que le syst`eme est stable si et seulement si toutes

les valeurs propres ont une partie r´eelle n´egative ou nulle. On suppose queAposs`ede une valeur propreλde multiplicit´en. Montrer que le syst`eme X ?=AXest attractif (resp. r´epulsif) si et seulement siλ <0(resp.λ >0).

Exemple 26SoitA=?0 01 0?

. Il y a une valeur propre doubleλ= 0. Pourtant, le syst`eme X ?=AXn"est pas stable. 8

6 Syst`emes non homog`enesSachant r´esoudre les syst`emes homog`enesX?=AX, il suffit, pour r´esoudre un syst`eme avec second

membreX?=AX+B, d"en trouver une solution particuli`ere.

6.1 Principe de superposition

Proposition 27Si le second membre d"un syst`eme s"´ecritB=B1+B2, on obtient une solution deX?=AX+Ben ajoutant une solution deX?=AX+B1et une solution deX?=AX+B2.

6.2 Variation de la constante

On rappelle la m´ethode de la variation de la constante dans le cas particulier des ´equations `a

coefficients constants. Recette. Soita?R, soitIun intervalle deR, soitb:I→Rune fonction continue. Pour trouver une solution de l"´equationx?=ax+b, la chercher sous la formex(t) =y(t)eat, o`uyest une fonction d´erivable surI. Justification.x=yeatest solution dex?=ax+bsi et seulement siy?(t) =e-atb(t). Par cons´equent, les solutions de l"´equation avec second membre sont de la forme x(t) =eat(x0+? t 0 e-asb(s)ds). Exercice 28R´esoudre l"´equationx?=ax+ cost. On r´esoud d"abordx?1=ax1+eit. On cherchex1sous la formeeaty, ce qui conduit `ay?=e(-a+i)t, puis `ay(t) =1 -a+ie(-a+i)t, puis `ax1(t) =1-a+ieit.

On remarque quex2=

x1satisfaitx?2=ax2+e-it, doncx=?e(x1) =-acost+sinta2+1est solution dex?=ax+ cost.

Exercice 29R´esoudre l"´equationx?=ax+eat.

Posantx=eaty, on trouvey?= 1 d"o`u la solution particuli`erex(t) =teat.

6.3 Exponentielles-polynˆomes

D´efinition 30Une fonctionB:R→Cnest uneexponentielle-polynˆomesi c"est une combinai- son lin´eaire de fonctions de la formetdeωtvo`ud?N,ω?Cetv?Cn.

Exemple 31

?1 tcost? est une exponentielle-polynˆome. Recette. Soitw?Cn. Siωn"est pas valeur propre deA, alors le syst`emeX?=AX+tdeωtw admet une unique solution de la forme t?→X(t) =d? k=0t keωtwk, o`u leswksont des vecteurs deCn. Siωest valeur propre deA, il faut chercher une solution avec des termes suppl´ementaires t d+1eωtwd+1, etc... Justification. Par r´ecurrence surd. Soitvun vecteur inconnu. AlorsY(t) =tdeωtvsatisfait Y ?(t)-AY(t) =tdeωt(ωv-Av) +dtd-1eωtv. Siωn"est pas valeur propre deA, il existe un 9 uniquevtel queωv-Av=w. Par r´ecurrence, il existe des vecteursw0,...,wd-1tels que

Z(t) =?d-1

k=0tkeωtwksatisfasseZ?-AZ=dtd-1eωtv. AlorsX=Y+Zconvient.

SiAest diagonalisable surC, soit (v1,···,vn) une base de vecteurs propres. Soient (z1,···,zn)

les composantes du vecteurwdans cette base. Le syst`emeX?=AX+tdeωtwest ´equivalent `a x

j(t) =λjxj(t)+tdeωtzj. Siωest valeur propre deA,ω=λj, alors la m´ethode de la variation de

la constante donney?j(t) =tdeωtzj, d"o`uxj(t) =1 d+1td+1eωtzj. Exercice 32Trouver une solution particuli`ere de l"´equationx??-x=et. Cette ´equation est ´equivalente au syst`eme ?x?=y y ?=x+et. Comme 1 est valeur propre de la

matrice du syst`eme, il faut chercher une solution vectorielle sous la formet?→X(t) =et(v0+v1t).

Par cons´equent, il faut chercherxsous la formex(t) =et(x0+tx1). Cela donnex1=1 2.

7 L"oscillateur harmonique

Il s"agit de l"´equationax??+bx?+cx=f(t), o`ua,betcsont strictement positifs.

7.1 Equation homog`ene

Elle est ´equivalente au syst`eme

?x?=y y ?=-c ax-bay, dont le polynˆome caract´eristique estx2+ b ax+ca. •Amortissement fort.b2-4ac >0. Le syst`eme est un noeud non d´eg´en´er´e. La droitequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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