1. Factoriser dans R le trinôme : 2 6 25 24 x x ? + . Soit léquation
Une équation matricielle du second degré pour souligner une fois encore
étude de la matrice A DEUXIEME PARTIE : résolution dans M3(R
Enfin on désigne par u l'endomorphisme de R3 ayant A pour matrice dans la base E. DEUXIEME PARTIE : résolution dans M3(R) de l'équation du second degré ...
Institut Galilée Cours dalgèbre linéaire
L'équation du second degré à coefficients réels système d'équations linéaires ou sur les lignes de la matrice augmentée de ce système.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
le polynôme de K(N) dont tous les termes sont nuls sauf celui de degré 1 : la seconde équation à la première et 2 fois à la dernière
Algèbre - Cours de première année
Racines carrées équation du second degré . Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 110.
Systèmes différentiels
seconde équation y (t) est liée à y(t)
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
Substituons cette valeur dans la deuxième équation : 5 est basée sur l'écriture sous forme matricielle des systèmes. Matrices.
Calcul matriciel
L'image du vecteur v := (32) par l'application linéaire de matrice Montrer qu'il existe un unique trinôme du second degré P vérifiant :.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE)
II : Equations différentielles du second ordre : sauf cas particulier (tel que A(t) matrice constante) il n'y a pas de méthode générale. EXEMPLE 1 :.
SYSTEMES DIFFERENTIELS
6 déc. 2004 Remarque 10 La matrice A correspond `a l'équation différentielle du second ordre x ? x = 0. i.e. au mouvement d'un point le long d'une ...
SECOND DEGRÉ - maths et tiques
Partie 1 : Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme !!"+$"+ =0 où ! $ et sont des réels avec !?0 Exemple : L'équation 3"!?6"?2=0 est une équation du second degré Définition : On appelle discriminant du trinôme !"!+$"+ le nombre D=$?4!
Equations inéquations du second degré
Equations inéquations du second degré Poursuivons l’étude du second degré entamée au premier chap itre 3 1 Résolution d’équations du second degré Désignons par (E)l’équationduseconddegrésuivante: (E):ax2+bx+c=0aveca?=0et(bc) ? R2 et notonsfla fonction associée
CHAPITRE 1 : Fonctions du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur ? dont l’expression peut être mise sous la forme développée ????(????)= ???? + ????+ où les coefficients a b et c sont des constantes réelles et ? 0 Reconnaitre les fonctions polynômes du second degré : 1 p 57
Searches related to equation matricielle du second degré PDF
Une équation du second degré en x est une équation qui peut se ramener à la forme générale suivante: ax2 + bx + c = 0 avec a ? 0 Lors de vos études vous avez déjà dû résoudre des équations du 2ème degré Il existe principalement 2 méthodes pour effectuer ceci : 1) méthode par factorisation; 2) méthode générale avec une
Comment définir une équation du second degré?
Une équation du second degré a la forme suivante : Le discriminant noté est défini par Si < 0 alors l?équation n?admet pas de solutions réelles Si = 0 l?équation admet une solution double Si > 0 alors l?équation admet deux solutions. La somme des deux racines (ou solutions) : c
Comment calculer l’équation matricielle?
168 Méthodes d’Adams l’équation matricielle P=={+F{=+N{=I où Pest la matrice de masse, Fla matrice d’amortissement, Nla ma- trice de rigidité, Ila force généralisée. La solution est une fonction {(w) dépendante du temps. Le schéma de Newmark se présente sous la forme ½ {l+1={l+k {= l+k2
Qu'est-ce que l'équation du second degré ?
On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme : ax2 +bx+ c = 0 avec a ?= 0. Si ? < 0 alors l'équation ax2 + bx+ c = 0 n'a pas de solution réelle. . . Le nombre de solutions dépend du signe de ?. n'a pas de solution réelle et l'équation ax2 +bx+c = 0 n'a pas de solution réelle. .
Comment résoudre des équations dû 2ème degré ?
Lors de vos études, vous avez déjà dû résoudre des équations du2ème degré. Il existe principalement 2 méthodes pour effectuerceci : méthode parfactorisation; méthode générale avec uneformule. La démarche permettant d’exprimer un polynôme produit de facteurs est appelée la factorisation.
Systèmes différentielsNous allons voir comment des méthodes d"algèbre linéaire permettent de résoudre des problèmes
d"analyse. Dans ce chapitre, les matrices sont à coefficients réels ou complexes.1. Cas d"une matrice diagonalisable
1.1. Introduction
Vous savez résoudre les équations différentielles du typex0(t) =ax(t), où la dérivéex0(t)est liée
à la fonctionx(t). Par exemple, siaest une constante, les fonctions solutions sont lesx(t) =x0eat(oùx02R). Plus généralement, on apprend à résoudre les équationsx0(t) =a(t)x(t)+b(t)oùa
etbsont des fonctions det. Dans tous les cas, l"exponentielle joue un rôle central dans l"écriture
des solutions. Considérons maintenant le système différentiel suivant :x0(t) =a x(t)+b y(t) y0(t) =c x(t)+d y(t)(S)
La situation se complique car les équations sont enchevêtrées :x0(t)est liée àx(t), mais aussi
ày(t). Donc il faudrait d"abord trouvery(t)pour résoudre la première équation. Mais, dans la
seconde équation,y0(t)est liée ày(t), mais aussi àx(t), que l"on n"a pas encore su trouver!
Pour s"en sortir, la solution consiste à considérer le couple(x(t),y(t))comme une seule variable.
On pose
X(t) =x(t)
y(t) ,X0(t) =x0(t) y 0(t) ,A=a b c d Le système différentiel (S) s"écrit alors simplement : X0(t) =AX(t).
On a alors envie de dire que, comme pour une équation du typex0(t) =ax(t), les solutions de ce type d"équation seraient les fonctions définies parX(t) =etAX0
(oùX02R2) et ce sera effectivement le cas, une fois que l"on aura défini ce qu"est l"exponentielle
d"une matrice!Pour l"instant, nous allons voir comment résoudre un système différentiel dans le cas particulier
où la matrice est diagonalisable. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE21.2. Écriture matricielleUnsystème différentiel linéaire homogèneest un système d"équations différentielles de la forme :8
:x 01(t) =a11x1(t)+a12x2(t)++a1nxn(t)
x 0 n(t) =an1x1(t)+an2x2(t)++annxn(t)(S) où lesaij(16i,j6n) sont des coefficients constants réels ou complexes.On pose
X(t) =0
@x 1(t) x n(t)1 A ,X0(t) =0 @x 0 1(t) x 0 n(t)1 A ,A=0 @a11a1n......
a n1ann1 A Avec cette notation matricielle, le système différentiel (S) devient :X0(t) =AX(t).Résoudre
le système linéaireX0=AX, avecA2Mn(R)(ouA2Mn(C)) une matrice constante, c"est donc trouverX(t)dérivable (c"est-à-direnfonctionsx1(t),...,xn(t)dérivables) tel queX0(t) =AX(t), pour toutt2R.
Remarque.
Dans le casn=1, on retrouve simplement une seule équation que l"on écritx0(t) =ax(t)et dont les solutions sont lesx(t) =x0eat, pour n"importe quelle constante (réelle ou complexe) x0. L"ensemble des solutions est un espace vectoriel. En effet, on prouve facilement que l"ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l"ensemble des fonctions dérivables deRdans Rn: la fonction identiquement nulle est solution et, siX1etX2sont solutions, alorsX1+X2 est aussi solution (avec,2R).Exemple 1(Système diagonal).
SiAest une matrice diagonale à coefficients réels, alors le système s"écritX0=AXavec A=0 B BB@ 1000 ......0 00n1 C
CCA, c"est-à-dire8
:x 01(t) =1x1(t)
x 0 n(t) =nxn(t). On résout indépendamment chaque équationx0 i(t) =ixi(t), dont les solutions sont lesxi(t) = kieit,ki2R. Les solutionsX(t)sont donc les fonctionsX(t) =0
@k 1e1t k nent1 A oùk1,...,knsont des constantes réelles.Exemple 2(Système triangulaire).
Un système triangulaire n"est pas tellement plus compliqué à résoudre. En effet, siAest une matrice
SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE3 triangulaire, on a : 8>>< >:x 01=a11x1+++a1nxn
x 02=a22x2++a2nxn...
x 0n=annxnOn résout le système de proche en proche : on peut d"abord intégrer la dernière équation, puis
reporter la solution dans l"équation précédente (qui devient une équation du typex0(t) =ax(t)+
b(t)) et ainsi en remontant intégrer tout le système.1.3. Cas diagonalisable
Voici un premier résultat qui affirme que si on connaît un vecteur propre deA, alors on peut lui
associer une solution du système différentiel.Proposition 1. Soient A2Mn(R),une valeur propre de A et V un vecteur propre associé. Alors la fonctionX:R!Rn
t7!etV est solution du système différentiel X0=AX.Démonstration.SoitX(t) =etV. On a alors
X0(t) =etV=et(V) =etAV=AX(t).
Cela prouve queX(t)est bien solution du système homogèneX0=AX.Exemple 3. SoitA=3 11 1. On aA(X) = (X2)2, la seule valeur propre deAest donc=2. Déterminons un vecteur propre : soitV=(xy)2R2tel queAV=2V; on a alorsx+y=0, et le vecteurV=11 est un vecteur propre deA. Ainsi l"applicationX(t) =e2t11=e2t e2test une solution du système X0=AX, ce que l"on vérifie aussi à la main.Théorème 1. SoitA2Mn(R)une matrice diagonalisable surR. Notons(V1,...,Vn)une base de vecteurs propres et1,...,nles valeurs propres correspondantes. Alors les fonctionsXi(t) =eitVi(16i6n) forment une base de l"espace des solutions du système X0=AX.Démonstration.Tout d"abord, par la proposition
1 , lesXi(t) =eitVisont bien des solutions du système diffé- rentiel.Montrons que ces solutions sont linéairement indépendantes. Soientc1,...,cndes réels tels que
c1X1(t)++cnXn(t) =0.Cette égalité étant vraie pour toutt2R, elle est vraie en particulier pourt=0où elle devient
c1V1++cnVn=0. Cela impliquec1==cn=0 car lesViforment une base deRn. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE4 •SoitPla matrice dont les colonnes sont les vecteursV1,...,Vn. Alors la matriceP1AP=Dest diagonale. SoitX(t)une solution du système différentielX0=AX. La matrice de passagePétant inversible, notonsY=P1X(doncX=PY). AlorsY0=P1X0=P1AX=P1APY=DY. AinsiYest la solution d"un système différentiel diagonal :8 :y 01=1y1...
y 0 n=nynd"oùY(t) =0 @k 1e1t k nent1 A Comme les colonnes dePsont les vecteursV1,...,Vn, alorsX(t) =PY(t) =k1e1tV1++knentVn=k1X1(t)++knXn(t).
On vient de prouver que n"importe quelle solutionX(t)est combinaison linéaire desXi(t). Ainsi la famille(X1,...,Xn)est génératrice de l"espace des solutions. Conclusion :(X1,...,Xn)est une base de solutions.Exemple 4. On veut résoudre le système différentielX0=AXavecX(0) =X0où A=0 @1 44 3 24 33 11A etX0=0 @1 2 31
A
Valeurs propres et vecteurs propres.
Les valeurs propres deAsont1=1,2=2 et3=5. Les vecteurs propres associés sont V 1=0 @1 1 11 A ,V2=0 @0 1 11 A ,V3=0 @1 1 01 ASolutions générales.
Nous obtenons trois solutions
X1(t) =e1tV1=0
@e t e t e t1 A ,X2(t) =e2tV2=0 @0 e 2t e 2t1 A ,X3(t) =e3tV3=0 @e 5t e 5t 01 A Les solutions du systèmeX0=AXsont donc les fonctions de la formeX(t) =X1(t)+X2(t)+
X3(t) avec,, 2R.Condition initiale.
On cherche quelle solution vérifie en plusX(0) =X0. OrX(0) =X1(0)+X2(0)+
X3(0) =V1+V2+
V3=0 +1 A La condition initialeX(0) =X0se transforme donc en le système linéaire :8 =1 =2 +=3 SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS2. EXPONENTIELLE DE MATRICES5On trouve=2,=1, =1. Ainsi l"unique solution qui vérifie le système et la condition initiale estX(t) =0
@2ete5t2et+e2te5t
2et+e2t1
A .Mini-exercices. 1. Résoudre l"équation différentielle linéaire d"ordre1:x0(t) =3x(t). Trouver la solution vérifiantx(0) =1. Idem avecx0(t)+x(t) =cost, puisx0(t)+x(t) =tet. 2.Résoudre le système différentielX0=AXoùA=1 00 2. Trouver la solution vérifiantX(0) =11. Même question avecA=1 10 2.
3.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] bacamaths terminale s
[PDF] belles figures géométriques ? reproduire
[PDF] liban 2017 maths ts
[PDF] monde inerte svt
[PDF] apparition de nouvelles espèces svt 2nde
[PDF] minority report résumé
[PDF] modélisation file d'attente
[PDF] exercices corrigés processus de poisson
[PDF] file d'attente exercice corrigé
[PDF] cours files d'attente pdf
[PDF] file dattente m/m/1/k
[PDF] drogues les plus consommées dans le monde
[PDF] file d'attente m/m/s
[PDF] statistique drogue 2015