[PDF] Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et





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Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

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Généralités sur les fonctions numériques - mathoxnet

Une fonction impaire a sa représentation graphique symétrique par rapport au centre du repère 1 2 Fonctions de référence 1 2 1 Fonctions affines Définition-Propriété : Soit a et b deux réels La fonction x ax+b définie sur ? est appelé une fonction affine La représentation graphique d'une telle fonction est une droite d d

  • Exercice 1

    Soit ƒ la fonction définie sur ? par : ƒ(x) = x4 ? 4?x?. 1. Montrer que ƒ est paire. 2. a) Montrer que : ƒ(a)?ƒ(b)/a?b = (a + b)(a2 + b2)? 4 où a, b ? ?+ et a ? b. b) Déduire que ƒ est strictement décroissante sur [0, 1] et qu’elle est strictement croissante sur [1, +?[. 3. a) Dresser le tableau de variations de ƒ sur ?. b) Montrer que : (?x ? ?*) ...

  • Devoir surveillé Sur Les Fonctions numériques 1 Bac

    Exercice 1 Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = ?x+7 ? ?x+3 1. Déterminer Dƒ. 2. 2.1. Montrer que ƒ est minorée par 0. 2.2. 0est-il un minimum de ƒ ? justifier votre réponse. 3. 3.1. Montrer que ƒ est majorée par2. 3.2. 2est-il un maximum de ƒ ? justifier votre réponse. 4. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur Dƒ.

Comment calculer la fonction numérique ?

On considère la fonction numérique ƒ définie par : { ƒ(x) = 2x ? 3, si x? ]??, ?2[ et ƒ(x) = x3? 2x , si x? [?2, 2] et ƒ(x) = 2x + 3, si x? ]2, +?[ Déterminer Dƒ. Montrer que la fonction ƒ est impaire. Exercice 4 On considère le tableau de variations de la fonction ƒ définie ci-dessous. Déterminer Dƒl’ensemble de définition de ƒ.

Comment réussir le corrigé des différents exercices sur les fonctions?

Le corrigé des différents exercices sur les fonctions propose des rappels de cours pour montrer que l’assimilation des outils de base relatifs aux limites, comportement asymptotique, dérivation et continuité est importante pour aborder les différents thèmes de ce chapitre et réussir l’examen du bac.

Qu'est-ce que les fonctions numériques ?

Nous allons étudier quelques fonctions numériques (ayant pour arguments des nombres). Cellesci sont des fonctions de l'arithmétique générique. Leurs arguments peuvent être soit des entiers, soit des rationnels, soit des réels. Le type du résultat dépend du type des arguments. Il est réel si l'un des arguments est réel.

Quels sont les exercices corrigés sur les fonctions dérivées ?

Terminale – Exercices corrigés sur les fonctions dérivées – Terminale Justifier, dans chaque cas, que f est dérivable sur ? puis calculer On pose. Répondre aux questions suivantes pour chacune des fonctions ci-dessus. Déterminer la limite pour. Ces fonctions sont-elles toutes continues en ? Trouver les dérivées de ces fonctions.

UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2014

Séried'exercices n

o 2

Lesfonctions

Exercice1:images etantécédents

Onconsidèrel'application

f:R!R x"!|x|.

1.Déterminerlesimagesdirectes suivantes :

a.f({#1,2}),b.f([#3,#1]),c.f([#3,1]).

2.Déterminerlesimages réciproquessuiv antes:

a.f !1 ({4}),b.f !1 ({#1}),c.f !1 ([#1,4]).

Exercice2:domaine dedéfinition

1.Calculerle domainededéfinitiondesfonctionsfdéfiniesdela façonsui vante:

a.f(x)= 5x+4 x 2 +3x+2 ,b.f(x)= x+ 3 x,c.f(x)= 4 x 2 #5x.

2.Donnerle domainededéfinition etl'imagedirecte decesdomaines parlesfonctions f

suivantes a.f(x)= 4#3x 2 ,b.f(x)= 1 x+1 ,c.f(x)=1+sin(x),d.f(x)=tan(2x).

Exercice3:parité

1.Aprèsav oirdonnéleurdomainededéfinition,diresiles fonctionsfdéfiniesdela façon

suivantesontpaires,impairesounil'une nil'autre. a.f(x)=2x 5 #3x 2 +2,b.f(x)=x 3 #x 7 ,c.f(x)=cos(x 2 ),d.f(x)=1+sin(x).

2.Mêmequestion pourlafonctionfdéfiniepar

f(x)= xsin( 1 x 1#x 2

3.Onconsidèrel afonctionf:x"!x

2 +2x#3. Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrer quelacourbe représentative C f defpossèdeunax ede symétriequ'ilfaudracalculer. 1

4.Mêmequestion aveclafonction g:x"!sin(x)+

1 2 cos(2x).

5.Onconsidèrel afonctionf:x"!

x 2 #4

2(x#1)

Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrerquela courbereprésentativ eC f defpossèdeuncentre desymétriequ'il faudracalculer .

6.Mêmequestion avecg:x"!#x

3 +3x+4.

Exercice4:vraiou faux

Diresiles propositionssuiv antessontvraies oufausses. Siellessontvraies,leprouver. Sielles sontfausses donneruncontreexemple.

1.Soientf:R!Runefonction,et u,v%R.Ona alors

(siu2.Soientf:R!Runefonctionet k%R.On supposeque pourtout!>0,|f(x)#k|&!, alorsfestconstanteet f(x)=kpourtoutx%R.

3.Lacomposéede deuxfonctions impairesestune fonctionimpaire.

4.SoientEunepartie deRetf:E!Runefonctionimpa iresurle domaineD.Alors

nécessairement,Dcontient0etf(0)=0 .

5.Soitf:R!Runefonction impairesurRetcroissante surR

.Alorsnécessairement f estcroissante surRtoutentier.

6.SoientEunepartiede Rsymétriqueparrapport à0etf:E!Runefonctionbijecti veet

impairesurle domaineE.Alorssa bijectionréciproquef !1 estimpairesur f(E).

7.Soientfetgdeuxbijectionsd'un ensembleEdanslui-même. Onditque xestunpoint

fixedeEpourflorsque f(x)=x.

Onnoteh=g'f.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)hestune bijectiondeEdanslui-même. (b)Sifpossèdeunpoint fixeet gpossèdeunpoint fixe,alors hpossèdeunpoint fixe. (c)Sihpossèdeun pointfixe alorsgetfpossèdentunpoint fixe. (d)h !1 =f !1 'g !1

8.Soientf:E!Fetg:F!Gdeuxapplications.On noteh=g'fetUunepartiede

G.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)Sifetgsontinjectiv esalorshestinjectiv e. (b)Sifetgsontsurjectiv esalorshestsurjecti ve. (c)hestuneapplication deEdansG. (d)h !1 (U)=f !1 (g !1 (U)). 2

Exercice5:injectif ,surjectif, bijectif?

1.Lesapplications suivantessont-ellesinjectiv es,surjectivesoubijectives?

1. f:N!N n"!n+1, 2. g:Z!Z n"!n+1, 3. h:R!R x"!x 2

2.Soitf:R!Rdéfiniepourtout x%Rparf(x)=

2x (1+x 2 (a)fest-elleinjectiv e?Surjective? (b)Montrerque f(R)=[#1,1]. (c)Montrerquela restrictiong=f| [!1,1] estunebijection.

Exercice6:composition

1.Donnerledomaine dedéfinitionainsi quelaforme delafonction f'g,g'f,f'fetg'g

pourlesfonctions fetgdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=2x 2 #x,g(x)=3x+2, (b)f(x)=1#x 3 ,g(x)= 1 x (c)f(x)=s in( x),g(x)=1# x, (d)f(x)=

2x+3,g(x)=x

2 +2.

2.Donnerledomaine dedéfinition ainsiquela formedela fonctionf'g'hpourlesfonctions

f,gethdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=x+1,g(x)=2x,h(x)=x#1, (b)f(x)= x#1,g(x)=x 2 +2,h(x)=x+3, (c)f(x)= 2 x+1 ,g(x)=cos(x),h(x)= x+3.

3.Donnerledomaine dedéfinition desfonctionsFsuivantesetlesmettresouslaforme f'g

oùfetgsontàdéfinir . (a)F(x)=sin( x), (b)F(x)= x 2 x 2 +4

4.Vérifiersi lesaffirmations suivantes sontvraiesounon:

(a)Sigestunefonction paireet h=f'galors,hestaussiune fonctionpaire. (b)Sigestunefonction impaireet h=f'galors,hestaussiune fonctionimpaire.

Exercice7:défis

1.Soitf:[0,1]![0,1]telleque

f: x,six%[0,1](Q,

1#x,sinon.

3

Démontrerquef'f=Id

[0,1]

2.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f'f.

Montrerquefestinjecti vesietseulementsielleestsurjecti ve.

3.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f.

Montrerquesi festinjectiv eousurjectivealorsf=Id

I

4.SoientIetJdeuxintervalles deR.Onconsidère f:I!Jetg:J!Ideuxapplications

tellesqueg'f'g'festsurjectiv eetf'g'f'gestinjectiv e.

Montreralors quefetgsontbijectiv es.

5.(a)Montrerquepour tousaetb%R,4ab&(a+b)

2 (b)Déterminerlesdomainesde définitiondesfonctions f(x)= x(x#1)+1 etg(x)=2 (x#1)(x#2)+3 , quel'onnote D f etD g f )etdefg(D g (d)Montrerqueg'festbiendéfinie surD f .Qu'enest-il pourf'g?

6.Onconsidèredeux fonctionfetgdéfiniesurIàvaleurs dansJoùIetJsontdeux

intervallesdeR.Onsuppose quefetgsontbornées.On définitlesparties positiv eset etf ,lesfonctions positiv esdéfiniesde lafaçon suivante: f =sup x"I (f,0)etf =sup x"I (#f,0).

Montrerlesrésultats suivants :

(a)sup x"I (f,g)=f+(g#f) (b)inf x"I (f,g)=g#(g#f) (c)f=f #f (d)|f|=f +f 4quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
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