Annexe A - Ensembles dénombrables
L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ? N qui à n associe. ?(n) = . 2n si n 0. ?2n ? 1 si n < 0
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14 mai 2005 On obtient ainsi une injection de Fn dans Nn. D'apr`es l'exercice 6 Fn est dénombrable. L'ensemble des sous-ensembles finis de N est la réunion.
Autour de la dénombrabilité 1 Les cardinaux sont ordonnés. 2
Tout sous ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable : il suffit d'appliquer le point précédent et la définition de dénombrable. • Z est
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
Z est dénombrable. Démonstration En effet Z = N?(?N?) est la réunion de deux ensembles dénombrables. PROPOSITION 8.4 ? N2 est dénombrable.
Dénombrabilité
Z(P). Union dénombrable d'ensembles finis il est donc dénombrable. Puisque R n'est pas dénombrable
RUDIMENTS SUR LA CARDINALITE Introduction. Pour comparer la
b dénombrable comme réunion dénombrable d'ensemble dénombrables. Pour tout P ? I l'ensemble Z(P) des zéros réels de P est fini (de cardinal ? deg P).
1 Tribus
appartient aussi à C car soit Ac est dénombrable
Correction du devoir surveillé
On a montré que ? est injective et surjective. Elle est donc bijective. Il existe donc bien une bijection entre N et Z donc Z est dénombrable.
Cardinaux chapitre 3 I Généralités
Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Cette application est surjective et Z × N? est dénombrable d'après le point (5) ...
Colle semaine 1
17 sept. 2020 Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Cours 2. Montrer que R n'est pas dénombrable.
denombrabilite - Université Paris-Saclay
D´e?nition 1 Un ensemble E est dit d´enombrable s’il existe une bijection de E sur un sous-ensemble de l’ensemble N des entiers naturels Exemple 2 Tout ensemble ?ni est d´enombrable L’ensemble des entiers naturels pairs est d´enom-brable Remarque 3 Une bijection sur un sous-ensemble de N c’est la mˆeme chose qu’une
Ensemble dénombrable - BibMath
Exemple A 12 L’ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l’application ? : Z ? N qui à n associe ?(n) = 2n si n 0 ?2n?1 si n < 0 est bijective On remarque que si E est un ensemble dénombrable alors il existe une injection de E dans N (car une bijection vers une partie de N dé?nit en particulier une injection
Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?
Un ensemble E E est dit dénombrable s'il existe une bijection de E E sur N. N. De façon plus figurée, un ensemble est dénombrable si l'on peut énumérer ces éléments : son premier élément est ..., son deuxième est .... L'ensemble des entiers relatifs Z Z est dénombrable.
Quelle est la définition de dénombrable ?
Il faut s'entendre sur la définition de " dénombrable " . Dans le texte cité "Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" , dénombrable veut dire "en bijection avec " .
Qu'est-ce que le dénombrable?
Le dénombrable est une notion tellement élémentaire qu'on la retrouve dans à peu près tous les domaines des mathématiques.
Qu'est-ce que l'axiome du choix dénombrable?
Axiome du choix dénombrable. Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables : Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x n) tend vers f(0) pour toute suite (x n) tendant vers 0.
Colle semaine 1
Pierre Le Scornet
17 septembre 2020
Cours 1
Montrer queZ=nZest un corps si et seulement sinest premier.Cours 2
Montrer queRn"est pas dénombrable.
Cours 3
Montrer que pourKun corps, les idéaux deK[X]sont de la formePK[X],Punitaire ou nul.
Exercice 1 - *
Cours : SoitA1;:::Andes anneaux. Donner la définition de l"anneau produit A1 An.
1) Quels sont les inversibles de cet anneau?
2) À quelle condition l"anneau produitABest-il un corps / est intègre?
Solution
1)(x1;:::xn)est inversible ssi il existe(y1;:::yn)tel quexy= (1;:::1),
ssi il existey1;:::yntel que81in;xiyi= 1, c"est à direx1:::xnsont tous inversibles.2) On s"intéresse au produit(0;1)(1;0) = (0;0). SiABest intègre (ou
plus particulièrement un corps), cette égalité implique que(1;0) = 0ABou (0;1) = 0AB. Ainsi, ouAest réduit à0ouBl"est. Ainsi,ABest un 1 corps/intègre ssi l"un des deux anneaux est réduit à0et l"autre est intègre/un corps.Exercice 2 - *
Les groupes suivants sont-ils isomorphes?
-(R;+)et(Q;+) -(R;+)et(R+;) -(R;+)et(R;) -(Q;+)et(Q+;)Solution
1) Non car ils ne peuvent pas être en bijection,Rest indénombrable.
2) La fonction exponentielle convient.
3) Raisonnons par l"absurde, en supposant qu"on a bien un isomorphisme.
Pourx=12R, on axx= 1donc son antécédentypar l"isomorphisme vérifiey+y= 0, doncy= 0, ce qui est incompatible avecx=1.4) Par l"absurde aussi, supposons qu"il existe un isomorphismefentre ces
deux groupes. Dans le premier groupe, pour touty2Qil existex2Qtel quex+x=y. Or pouryl"antécédent de22Q+, on ax=p2=2Q+.Exercice 3 - **
Montrer queGest fini si et seulement si il possède un nombre fini de sous- groupe.Solution
Le sens direct est trivial (car les sous groupes deGsont inclus dans les sous-ensembles deG, qui sont en nombre fini). Pour la réciproque, on va le montrer en deux étapes. D"une part, pourx2G, le groupe engendré par xest soit fini (n:x= 0pour un certainn2N), soit infini et isomorphe à (Z;+). S"il est isomorphe àZ, alors il a une infinité de sous-groupes ce qui est impossible carGa un nombre fini de sous-groupes, donchxiest isomorphe àZ=nZ;n2N. D"autre part, puisqueG=[x2Ghxi, et qu"on a un nombre fini de sous-groupes de la formehxi(qui sont finis),Gest fini. 2Exercice 4 - *
1) SoitARdénombrable. Montrer queRnAn"est pas dénombrable.
2) SoitBun ensemble disjoint deR. Montrer queR[Bn"est pas dénom-
brable. Bonus)f0;1gNest-il dénombrable? (penser à la diagonale de Cantor) Bonus) Montrer quef0;1gNest en bijection avecR. (ne pas hésiter à de- mander des indications)Solution
1) Supposons queRnAétait dénombrable. AlorsR=A[(RnA)est l"union
de deux ensembles dénombrables, il est donc dénombrable, ce qui est absurde.2) Supposons queR[Best dénombrable. Alors il existe une bijection de
R[BdansN. La restriction de cette fonction àRest donc injective deR dansN, ce qui est absurde. Bonus 1) On montre qu"il n"est pas dénombrable de la même façon que l"on montre que[0;1[n"est pas dénombrable. On remplace juste les suites des décimales des nombres de[0;1[par les suites def0;1gN, et on construit une suite composée des1bnlenebit de lanesuite de notre dénombrement de f0;1gNet on montre qu"il n"est pas dans notre dénombrement. Bonus 2) On construit tant bien que mal deux injections dans chaque sens. Pour la première, on peut prendref:u2 f0;1gN7!P+1 n=0u n10 n, et pour la seconde, on prendg:x2[0;1[7!ux2 f0;1gNl"écriture binaire principale de ce nombre (comme l"écriture décimale, sauf qu"au lieu de regarder le chiffre en10nentre0et9on regarde le terme en2nentre0et1).Exercice 5 - **
On dit quexest algébrique s"il est racine d"un polynôme à coefficients ra- tionnels.1) Existe-t-il des réels non algébriques?
Solution
On sait queQest dénombrable. Montrons queQ[X]est dénombrable. D"une part, pourn2N Qn[X]l"ensemble des polynômes de degré au plusnest immédiatement en bijection avecQn+1, il est donc dénombrable. D"autre part,Q[X] =[n2NQn[X], il est donc une union dénombrable de dénom- brables. Ainsi,Q[X]est dénombrable. Enfin, l"ensemble des nombres algé- 3 briques est égal à[P2Q[X]racine(P), une union dénombrable d"ensembles finis non vides, donc il est dénombrable.Exercice 6 - **
SoitEun ensemble quelconque. Montrer queP(E)l"ensemble des sous- parties deEn"est pas en bijection avecE.Solution
Comme pour la diagonale de Cantor, l"idée est de démontrer que s"ils sont en bijection, on trouve un élément deP(E)qui conduit à une absurdité. Soitfune bijection deEdansP(E), etF=fx2E;x =2f(x)g. Alors pour l"uniquex2Etel quef(x) =F, on a deux cas : Si x2F, alors par définition deF x =2f(x) =F, ce qui est une contradiction, Si x =2F, alors par définition deFon ax2f(x) =Fce qui est contradictoire. On a donc une absurdité, et on conclut queEetP(E)ne sont pas en bijection.Exercice 7 - ***
Pourn2Nà quoi est congru(n1)!modulon?
Solution
P ournnon premier (doncn >3, on a deux cas :
ou n=pk,ppremier etk >1. Sip=k= 2, alors(n1)! = 62 mod 4. Sinonp;2p;:::kpsont membres du produit(n1)!(car kp < p k, avec(k;p)6= (2;2)). Ainsi, le produitk!pkdivise(n1)!, doncpkj(n1)!et(n1)!0 modn. Sinon, n=ab,a;b >1.aetbsont deux termes du produit(n1)!, donc(n1)!0 modn.Dans l ecas npremier, on a deux cas :
Si n= 2, on a(n1)! = 1 1 mod 2.
Si nest un premier impair, alors on sait que tous les éléments1;:::(n1)sont inversibles dansZ=nZ. Leur inverse fait partie
de cette séquence de nombre : on peut donc regrouper par paire les éléments et leurs inverses. Deux éléments sont leurs propres 4 inverses :1et1(qui sont différents puisquen >2). Ainsi,(n1)!1:1:(x1:x11):::::(xn32
:x1 n32 ) modn, c"est à dire(n1)! 1 modn.
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