Annexe A - Ensembles dénombrables
L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ? N qui à n associe. ?(n) = . 2n si n 0. ?2n ? 1 si n < 0
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14 mai 2005 On obtient ainsi une injection de Fn dans Nn. D'apr`es l'exercice 6 Fn est dénombrable. L'ensemble des sous-ensembles finis de N est la réunion.
Autour de la dénombrabilité 1 Les cardinaux sont ordonnés. 2
Tout sous ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable : il suffit d'appliquer le point précédent et la définition de dénombrable. • Z est
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
Z est dénombrable. Démonstration En effet Z = N?(?N?) est la réunion de deux ensembles dénombrables. PROPOSITION 8.4 ? N2 est dénombrable.
Dénombrabilité
Z(P). Union dénombrable d'ensembles finis il est donc dénombrable. Puisque R n'est pas dénombrable
RUDIMENTS SUR LA CARDINALITE Introduction. Pour comparer la
b dénombrable comme réunion dénombrable d'ensemble dénombrables. Pour tout P ? I l'ensemble Z(P) des zéros réels de P est fini (de cardinal ? deg P).
1 Tribus
appartient aussi à C car soit Ac est dénombrable
Correction du devoir surveillé
On a montré que ? est injective et surjective. Elle est donc bijective. Il existe donc bien une bijection entre N et Z donc Z est dénombrable.
Cardinaux chapitre 3 I Généralités
Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Cette application est surjective et Z × N? est dénombrable d'après le point (5) ...
Colle semaine 1
17 sept. 2020 Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Cours 2. Montrer que R n'est pas dénombrable.
denombrabilite - Université Paris-Saclay
D´e?nition 1 Un ensemble E est dit d´enombrable s’il existe une bijection de E sur un sous-ensemble de l’ensemble N des entiers naturels Exemple 2 Tout ensemble ?ni est d´enombrable L’ensemble des entiers naturels pairs est d´enom-brable Remarque 3 Une bijection sur un sous-ensemble de N c’est la mˆeme chose qu’une
Ensemble dénombrable - BibMath
Exemple A 12 L’ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l’application ? : Z ? N qui à n associe ?(n) = 2n si n 0 ?2n?1 si n < 0 est bijective On remarque que si E est un ensemble dénombrable alors il existe une injection de E dans N (car une bijection vers une partie de N dé?nit en particulier une injection
Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?
Un ensemble E E est dit dénombrable s'il existe une bijection de E E sur N. N. De façon plus figurée, un ensemble est dénombrable si l'on peut énumérer ces éléments : son premier élément est ..., son deuxième est .... L'ensemble des entiers relatifs Z Z est dénombrable.
Quelle est la définition de dénombrable ?
Il faut s'entendre sur la définition de " dénombrable " . Dans le texte cité "Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" , dénombrable veut dire "en bijection avec " .
Qu'est-ce que le dénombrable?
Le dénombrable est une notion tellement élémentaire qu'on la retrouve dans à peu près tous les domaines des mathématiques.
Qu'est-ce que l'axiome du choix dénombrable?
Axiome du choix dénombrable. Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables : Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x n) tend vers f(0) pour toute suite (x n) tendant vers 0.
Annexe A
Ensembles dénombrables
A.1 Cardinal
Lorsque l'on veut dénombrer les éléments d'un ensemble fi ni (par exemple, si on veut savoir combien de pommes contient un panier, ou combien de rayures a Arthur le glomorphe à rayures), on établit une bijection entre un ensemble d'entiers et l'ensemble en question. Onattribue le nombre 1 à une pomme, le nombre 2 à une autre, le nombre 3 à une troisième, et
ainsi de suite, jusqu'à fi nalement attribuer un entier nà la dernière pomme. On a alors dé
fi ni une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble 1 ,n . Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes, mais l'entier n que l'on obtient est toujours le même. On dit alors qu'il y a n pommes dans le panier. Lorsque l'on est plus jeune, et que l'on doit encore compter sur ses doigts, on établit en fait une bijection entre l'ensemble des pommes et un ensemble de doigts. Dans tous les cas, on a compté en établissant une bijection entre l'ensemble étudié et un ensemble de référence bien compris. Imaginons maintenant que ces pommes soient destinées au goûter d'un groupe d'enfants. Si on peut donner exactement une pomme à chaque enfant (chacun reçoit exactement une pomme, et aucune pomme ne reste à la fi n), alors même si on ne sais pas combien on avait de pommes et combien il y a d'enfants, on peut dire qu'il y avait exactement autant de pommes qu'il n'y a d'enfants. Ces notions sont intuitivement claires tant qu'on ne manipule que des ensembles fi nis. Comparer le nombre d'éléments pour des ensembles in fi nis peut par contre amener quelques surprises... Dé fi nition A.1.On dit que deux ensembles
E et F qu'ils ont même cardinal s'il existe une bijection de E dans F . Dans ce cas on écrira Card E Card FThéorème A.2
(Théorème de Cantor-Bernstein)Soient
E et F deux ensembles. S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E , alors il existe une bijection de E dans FDémonstration.
Soit f une injection de E dans F et g une injection de F dans E . On note F g F E.On peut alors voir
g comme une bijection de F dans˜F. On maintenant E
0 E \˜F puis, par récurrence sur n N E n +1 g f E n Pour x E on note h x g f x si x n N E n x sinon.Cela dé
fi nit une bijection de E dans˜F. g
1 h est alors une bijection de E dans F 1 L2 Parcours Spécial - S3 - Mesures et IntégrationA.2 Ensembles
fi nis - Ensembles in fi nisLemme A.3.
Soit n,p N 2 . S'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p alors n pDémonstration.
On montre le résultat par récurrence sur
p N . Si p = 0 alors n = 0 , car il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide. On suppose le résultat acquis jusqu'au rang p 1 p N ) et on suppose qu'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p . Si n = 0 alors on a bien n p . On suppose maintenant que n 1 . On considère la perminutation de 1 ,p qui échange n et p , et laisse invariants les autreséléments. Alors
est une injection de 1 ,n dans 1 ,p qui envoie n sur p . Par restriction, elle induit une injection de 1 ,n 1 dans 1 ,p 1 . Par hypothèse de récurrence on a alors n 1 p 1 , et donc n p . D'où le résultat.Corollaire A.4.
Soit n,p N 2 tel que 1 ,n est en bijection avec 1 ,p . Alors n p Dé fi nition A.5. Soit E un ensemble. (i) Soit n N . On dit que E est de cardinal n (ou qu'il a néléments) si
E est en bijection avec 1 ,n . Un tel n est nécessairement unique. (ii) On dit que E est fi ni s'il est de cardinal n pour un certain n N . On dit que E est in fi ni s'il n'est pas fi ni. Il est intuitivement clair qu'une partie d'un ensemble fi ni est elle-même fi nie, de cardinal plus petit. Si l'on se réfère à la dé fi nition précédente, ce n'est plus complètement évident.Proposition A.6.
Soient
E un ensemble fi ni et A une partie de E . Alors A est un ensemble fi ni et Card A Card EDémonstration.
On montre par récurrence sur
n N que le résultat est vrai pour E 1 ,n . Pour n = 0 , la seule partie de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même, donc le résultat est immédiat. On suppose le résultat vrai pour E 1 ,n 1 n N ). Soit alors A une partie de 1 ,n et B A n B est alors une partie de 1 ,n 1 . Par hypothèse de récurrence, B est fi ni et Card B n 1 . Si n / A , alors A B et le résultat est vrai. Sinon, on note p le cardinal de B et on considère une bijection de B dans 1 ,p . On dé fi nit alors une bijection de A dans 1 ,p + 1 en posant x x si x B, p + 1 si x n.On obtient que
A est fi ni de cardinal p + 1 , qui est bien inférieur ou égal à n On considère maintenant le cas général. On note n Card E et on considère une bijection de Equotesdbs_dbs5.pdfusesText_10[PDF] s svt ou s si
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