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Chapitre8

Probabilités sur un univers fini ou dénombrable

Introduction

8.1 Ensembles dénombrables

DÉFINITION8.1♥♥♥Ensemble dénombrable

On dit qu"un ensembleXest :

—finis"il existe un entiern?Ntel queXest en bijection avec?1,n?.

—dénombrablesiXest en bijection avecN.

—au plus dénombrables"il est fini ou dénombrable.

Exemple 8.1

— L"ensembleNest dénombrable... En effet, l"identité définit une bijection deNdans lui-même.

— L"ensemble des nombre pairsPest dénombrable. En effet, si on définit?:N→Ppar, pour toutn?N,?(n)=

2nalors?est bijective.

Remarque 8.1Un ensemble au plus dénombrableXpeut toujours être décrit en extension. En effet, si on note?la

bijection (à valeurs dansN=?1,n?siXest fini ou à valeurs dansN=NsiXest dénombrable)et qu"on posexk=?(k)

pour toutk?Nalors

X=?xk|k?N?.

Réciproquement, si un ensembleXpeut être décrit en extension sous la forme précédente, alors il est au plus dénom-

brable. PROPOSITION8.1♥Une partie infinie deNest dénombrable SoitX?Nune partie infinie deNalors il existe un bijection?:N→Xstrictement croissante.

DémonstrationCommeX?N,Xadmet un plus petit élément qu"on notex0. On pose alors?(0)=x0. AlorsX\{x0}admet aussi

un plus petit élément qu"on note x1et on pose?(1)=x1. On construit ainsi par récurrence une suite(xn)?Xen prenant pourxn+1

le plus petit élément deX\?xk|k??0,n??et pour toutn?N, on pose?(n)=xn. L"application?est bien définie et strictement

croissante par construction donc injective.

Montrons qu"elle est aussi surjective. Soit

x?X, alors il existen?Ntel que?(n)>x. Sinon,?est une injection deNdans?0,x?ce qui n"est pas possible. Alors x??X\??(0),...,?(n-1))?et forcémentx???(0),...,?(n-1))?. Donc il existek??0,n-1?tel que ?(k)=xet?est bien surjective. Exemple 8.2L"ensemble des nombres premiers est une partie infinie deNet donc dénombrable. PROPOSITION8.2♥La réunion disjointe de deux ensembles dénombrables est dénombrable SoientX,Ydeux ensembles disjoints dénombrables. AlorsX?Yest dénombrable. DémonstrationSoient?:X→Netψ:Y→Ndeux bijections deXetYsurN. On pose

θ:?????X?Y-→N

z?-→?2?(k)siz?X

2ψ(z)+1siz?Y.

1

CommeXetYsont disjoints,θest bien définie.

Si pour

z,z??X?Y,p=θ(z)=θ(z?)alors :

— si

pest pair alorsz,z??Xet l"égalité s"écrit?(z)=?(z?). Comme?est injective,z=z?

— sipest impair alorsz,z??Yet l"égalité s"écritψ(z)=ψ(z?). Commeψest injective,z=z?

Alorsθest injective. Montrons qu"elle est aussi surjective. Soitp?N.

— si

pest pair, alors il existek?Ntel quep=2k. Comme?: X→Nest surjective, il existex?Xtel que?(x)=k. Alors

θ(x)=p.

— On fait de même si

pest impair en considérantψ:Y→N. Donc θest surjective. Alorsθréalise bien une bijection deX?YversN.

Un corollaire immédiat est que :

PROPOSITION8.3♥Zest dénombrable

Zest dénombrable.

DémonstrationEn effet,Z=N??-N??est la réunion de deux ensembles dénombrables.

PROPOSITION8.4♥N2est dénombrable

L"ensembleN2est dénombrable.

DémonstrationConsidérons

?:?N2-→N (u,v)?-→2u(2v+1) et montrons que?est bijective.

Soient

(u,v),(u?,v?)?N2tels que?(u,v)=?(u?,v?)alors

2u(2v+1)=2u?(2v?+1)

et supposons queu?=u?. On peut par exemple considérer queu?>u. Alors

2u?-u(2v?+1)=2v+1

ce qui est absurde car le nombre de gauche dans cette égalité est pair alors que celui de droite est impair. Doncu=u?. Mais alors

2v+1=2v?+1etv=v?et?est injective.

Soit n?Net considéronsA=? k?N?|2kdivisen?. L"ensembleAest non vide car1?A, il est aussi majoré parndonc il possède un maximum qu"on note u. Alorsn=2umavecmimpair (sinonun"est pas le maximum deA) et on a bien?(u,v)=navec

2v+1=m. Donc?est surjective.

En conclusion

?est bijective. COROLLAIRE8.5♥Un produit cartésien d"ensembles dénombrables est dénombrable SoientX,Ydeux ensembles dénombrables. AlorsX×Yest dénombrable.

DémonstrationIl existe une bijection deXdansNet deYdansN. En utilisant une bijection deN2dansN, on construit alors une

bijection de

X×YdansN.

COROLLAIRE8.6♥Qest dénombrable

L"ensembleQest dénombrable.

DémonstrationEn effet,Qest en bijection avec?(p,q)?Z×N?|p?q=1?qui est une partie infinie de l"ensemble dénombrable

Z×N?et qui est du coup aussi dénombrable.

THÉORÈME8.7♥Rn"est pas dénombrable

L"ensembleRn"est pas dénombrable.

DémonstrationSupposons queRsoit dénombrable. Alors il en est de même de[0,1[qui est une partie infinie deR. On peut donc

trouver une suite

(xn)qui parcourt tous les éléments de[0,1[. Construisons alors un élémentαde[0,1[qui n"est pas un point de

(xn)ce qui constituera une contradiction.

On construit

αvia son développement décimal. Si lenièmeterme dans le développement décimal dexnest :

— non nul alors on suppose que le

nièmeterme du développement décimal deαest nul;

— nul alors on suppose que le

nièmeterme du développement décimal deαvaut1.

Supposons qu"il existe

N?Ntel quexN=α. Alors si leNièmeterme du développement décimal deXNest non nul, celui deα

devrait égal à1, contradiction! S"il est nul, alors celui deαdevrait être égal à1, nouvelle contradiction. Le nombreαn"est donc

pas un élément de (xn). 2 PROPOSITION8.8♥{0,1}Nn"est pas dénombrable

L"ensemble des suites à valeurs dans

{0,1}n"est pas dénombrable.

DémonstrationVoir l"exercice??page??.

8.2 Espaces probabilisés

8.2.1 Espaces probabilisables

Une expérience dont l"issu dépend du hasard est dite aléatoire. L"ensemble des issus d"une telle expérience est appelé

l"univers.

Différents univers finis ont été étudiés en première année, donnons quelques exemples fondamentaux.

1Le jeté de trois dés distincts et nonpipés. L"universΩest formé des3-listes de?1,6?et est donc égale àΩ=?1,6?3.

On a alorsCard(Ω)=63.

2Le tiercé dans l"ordre. On considère par exemple une course de 10 chevaux. On suppose que tous les chevaux ont

la même chance d"arriver à une place donnée. On s"intéresse aux trois premiers arrivés. L"universΩest formé de

tous les tiercés possibles, c"est-à-dire des3-arrangements de?1,10?. On a iciCard(Ω)=A310=10×9×8.

3Le tiercé dans le désordre. Dans la même course de chevaux, sil"ordre d"arrivé n"intervient pas alorsΩest formé

des3-combinaisons de l"ensemble?1,10?. AlorsCard(Ω)=?10

3?=A310

3!. Le tableau suivant est bien utile pour déterminer l"universde travail dans le cas fini : ΩOrdre importantRépétitions possiblesCard(Ω)Exemple p-listeouiouinpJets depdés distincts p-arrangementouinonAp nTiercé dans l"ordre p-combinaisonnonnon?n p?=Cp nTiercé dans le désordre

Remarquons qu"il manque une entrée. On ne considère pas le cas d"une expérience aléatoire comme celle du jet de

trois dés non pipés indiscernables. Dans une telle expérience, l"ordre n"a pas d"importance mais les répétitions sont

possibles. L"universΩest alors celui desk-combinaisons avec répétitionsd"un ensemble ànéléments et est hors pro-

gramme. Indiquons seulement queCard(Ω)=?n+k-1 k?. Le lecteur désireux d"approfondirle sujet est renvoyé parexemple

Nous allons étudier cette année des univers infini. Nous allons néanmoins nous limiter aux univers dénombrables et à des

cas très particuliers d"univers non dénombrables.

Dans un univers infiniΩ, il est loisible de considérer une infinité d"événements(Ai)i?Ideux à deux disjoints oùIest un

ensemble quelconque. SiPest une probabilité surΩ, il faut alors pouvoir écrire P ??i?IA i? i?IP(A i) et il se pose alors naturellement le problème de la définitionde la somme infini.

Dans le cas d"un univers dénombrable, cette somme s"écrit comme une série et elle sera définie si et seulement si cette

série est convergente.Dans le cas d"un univers non dénombrable,il faut invoquer des intégrales et on sort immédiatement

du cadre de ce cours.

Mais une expériencealéatoire simple comme le jeu de pile ou face infini (où on lance indéfiniment une pièce de monnaie)

se déroule dans un univers non dénombrable.En effet,Ω={0,1}N. On parvient néanmoins à équiper de tels espaces d"une

probabilité en se focalisant sur certains événements bien précis, les événements cylindriques, voir plus bas.

On ne pourraalors pas, commeonle faisait en premièreannée,travailler avec l"ensemblede tous les événementspossibles

P

(Ω)et il faudra s"intéresser à une sous-familleTd"événements de l"ensemble. Cette famille doit être stablepar les

opérations ensemblistes élémentaires. En effet :

1SiAest un événement,Adoit aussi être un événement.

2Si(An)n?Nest une famille d"événements alors?

n?NA ndoit aussi être un événement.

3On doit avoir la même propriété avec l"intersection.

4On veut queΩet∅soient des événements.

L"idée du mathématicien Russe Kolmogorov (qui vécut au début du siècle dernier) pour définir une telle familleTest

que cet ensemble d"événements associé à une expérience aléatoire a une structure de tribu :

3 DÉFINITION8.2♥Tribu, événement, espace probabilisable

SoitΩun ensemble et soitTune partie deP(Ω). On dit queTest unetribusurΩsiTsatisfait aux trois axiomes :

1. SiA?T, alors son complémentaire

A=Ω\Aest aussi dansT.

2. Si on a une suite dénombrable(An)n?Nd"éléments deT, alors leur réunion+∞?

n=0A nest aussi dansT.

3. L"ensembleΩest dansT.

Un élément deTest appelé unévénementet le couple(Ω,T)est appelé unespace probabilisable.

Exemple 8.3

— Un premier exemple de tribu élémentaire est évidemment donné parP(Ω). Toute tribu surΩest contenue dans

cette tribu. — Un autre exemple élémentaire est donné par la tribu (∅,Ω). Toute tribu surΩla contient.

— SiA?Ωalors?

∅,A,

A,Ω?

est une tribu surΩ. C"est la plus petite contenantA.

— Notons qu"une intersection de tribus surΩest encore une tribu. Pour une partieTdeP(Ω), on peut alors

introduire la plus petite tribu deΩcontenantT. C"est l"intersection de toutes les tribus surΩcontenantT. On

l"appelletribu engendrée parTet on la noteσ(T).

— SiBest une partie deΩet siTest une tribu surΩalorsT?={B∩T|T?T}est une tribu surB. Voir l"exercice

??page??pour une démonstration.

Revenons comme promis à l"exempleconsistant à lancer indéfiniment, ici un dé mais on a une constructionanaloguepour

le jeu de Pile ou Face.

PLAN8.1 : Lancers infinis, épisode 1/3

On s"intéresse donc à l"expérience aléatoire consistant à jeter une infinité de fois un dé à six faces. L"universΩ

consiste en l"ensemble des suites dont les termes sont pris dans?1,6?:Ω=?1,6?N.

L"événement"Obtenir2, puis3, puis que1jusqu"audixièmelancé» peut être modélisé par l"événementsuivant

A={(un)?Ω|u0=2,u1=3,?i??2,9?,ui=1}.

Cet événement peut être décrit comme un produit cartésien. On note :

—A0={2};

—A1={3};

— Pour touti??2,9?,Ai={1};

— Pour touti?10,Ai=?1,6?;

alorsA=?+∞k=0Ak.Une tel événement qui s"écrit comme un produit cartésien dont tous les termes sont égaux à?1,6?

à partir d"un certain rang, est ditcylindrique. On peut alors s"intéresser à la plus petite tribu (au sens del"inclusion)

contenant les éléments cylindriques.

Le langage de la théorie des ensembles permet des calculs systématiques sur les événements. Toutefois, il faut savoir que

le langage courant, que nous utilisons dans une première étape pour décrire des événements a sa traduction ensembliste.

Voici un dictionnaire :

Langage probabilisteNotationsLangage des ensembles

UniversΩEnsembleΩ

Ensemble de tous les événementsP(Ω)Ensemble des parties deΩ

Épreuveω?ΩÉlément deΩ

Événement élémentaire{ω}Singleton deΩ

ÉvénementA?ΩPartie deΩ

AimpliqueBB?ABest inclus dansA

AouBA?BUnion deAetB

AetBA∩BIntersection deAetB

Événement contraire deA:AAcouΩ\AComplémentaire deAdansΩ Amais pasBA\B:=A∩BcDifférence symétrique

Événement impossible∅Partie vide

Événement certainΩEnsembleΩ

Événements incompatiblesA∩B=∅Parties disjointes Nous rappelons aussi les règles de calcul suivantes : 4

PROPOSITION8.9♥Règles de calcul

SoientA,B,C?P(Ω). Alors :

1A∩(B?C)=(A∩B)?(A∩C),

2A?(B∩C)=(A?B)∩(A?C),

3A?Ac=Ω,

4A∩Ac=∅,

5(Ac)c=A,

6Ωc=∅,

7(A?B)c=Ac∩Bc,

8(A∩B)c=Ac?Bc.

Les deux dernières égalités sont connues sous le nom delois de Morgan. Tirons maintenant quelques conséquences des axiomes définissant une tribu.

PROPOSITION8.10♥Une intersection finie ou dénombrable d"événements est un événement

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