Une nouvelle démonstration dirrationalité de racine carrée de 2 d
Néanmoins à suivre la plus ancienne littérature qui nous est parvenue sur ce sujet
Démonstrations ? 2 nest pas rationnel. Les compétences
Rittaud Le fabuleux destin de racine de 2
Lirrationalité dune racine carrée et dun quotient de logarithmes
le quotient de ln(m) par ln(n) est un nombre irrationnel. Dans tout le problème on note ? l'ensemble des nombres premiers. I. Valuation p-adique.
SEANCE : Irrationalité de racine de 2 FICHE ENSEIGNANT Niveau
L'activité 1 permet de mettre en place le raisonnement par l'absurde pour montrer que ?2 n'est pas un nombre décimal. Cette activité peut être faite bien
Lirrationalité de ? 2
Point méthodologique 2. Supposons que p n'est pas un entier pair. Alors nécessairement p est un entier naturel impair et donc : ?k ?
Une nouvelle démonstration de lirrationalité de racine carrée de 2 d
11 juil. 2019 Néanmoins à suivre la plus ancienne littérature qui nous est parvenue sur ce sujet
Une preuve de lirrationalité de ?(3)
29 juin 2017 On résonne par l'absurde pour l'implication directe. Soit n un entier qui ne soit pas le carré d'un autre et supposons que sa racine soit ...
Rationnels et irrationnels - Irrationnalité de racine de 2
Irrationnel ( adjectif ). Qui n'est pas rationnel qui n'est pas conforme à la raison (anormal
On the irrationality of sqrt{N}
Here n 1 > 0and 0 < m 1 < mby the inequalities n < m < 2n:This method can be continued in?nitely often and we will obtain a strictly decreasing sequence (m k) of positive integers In other words we have Fermat’s method of “in?nite descend” Such a sequence cannot exist so p 2 is irrational
CRITÈRES PARAMÉTRIQUES D'IRRATIONALITÉ - JSTOR
CRITÈRES PARAMÉTRIQUES D'IRRATIONALITÉ ALEXANDRE FRODA On présente dans ce qui suit des critères permettant — du moins en principe — de reconnaître en certains cas l'irrationalité d'un nombre réel oc défini comme limite d'une suite monotone de nombres rationnels
Comment résoudre une équation irrationnelle ?
Résoudre les équations et inéquations irrationnelles suivantes : Résoudre par la méthode du pivot chacun des systèmes suivants : On suppose qu'un cycliste a une vitesse de en terrain plat, de en montée et de en descente. Ce cycliste met pour parcourir une route dans le sens de vers et pour la parcourir dans le sens de vers
Qu'est-ce que l'irrationalité de P?
Preuve de l'irrationalité de ? (en). Le nombre ? est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire ? = p/q où p et q seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au IX e siècle, est persuadé que ? est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XII e siècle.
Comment démontrer l’irrationalité d’un nombre réel ?
Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’appartient pas àQ. Dans ce problème, on se propose de démontrer l’irrationalité de quelques nombres réels. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Partie A : quelques exemples de nombres irrationnels
Est-ce que sqrt est rationnel?
- Finalement la fraction p/q n'est pas irréductible (on peut simplifier par 15) ce qui est absurde ! Donc sqrt (15) n'est pas rationnel. PS : j'ai répondu entièrement à la question car je pense qu'un lycéen n'ayant pas déjà vu ce genre de démo (de l'arithmétique) va galérer un sacré moment avant de trouver.
Introduction
Dans ce problème, nous allons démontrer les deux résultats suivant.Théorème(A ntiquité): Sin∈Nn"est pas le carré d"un entier, alorspn∉Q.Théorème: Sim∈N\{0,1} etn∈N\{0,1} ne sont pas des puissances d"un même entier naturel, alors
le quotient de ln(m) par ln(n) est un nombre irrationnel.Dans tout le problème, on notePl"ensemble des nombres premiers.
I.V aluationp- adique
Dans cette partie, on introduit des outils que nous utiliserons pour démontrer les résultats annoncés.
Pour tout nombre premierp∈Pet tout entiern∈N∗, on définit la valuationp-adique denpar
v p(n)=max{k∈N|pkdivisen}.1.Soitn∈N∗. Par le théorème fondamental de l"arithmétique, il exister∈N, des nombres premiers
deux à deux distinctsp1,...,pr∈Pet (α1,...,αr)∈(N∗)rtels quen=pα11···pαrr.
a)Montrer que sip∈P\{p1,...,pr}, alorsvp(n)=0. b)Montrer que pour toutk∈J1,rK, on avpk(n)=αk.En particulier, sin∈N∗, l"ensemble des nombres premiersp∈Ptels quevp(n)>0 est fini. On pourra
donc écrire pour tout entiern∈N∗la relation n=Y p∈Ppvp(n), car le nombre de facteurs distincts de 1 de ce produit est fini.2.Montrer que si (m,n)∈(N∗)2, alors pour toutp∈P, on avp(m·n)=vp(m)+vp(n).
3.Soitr∈N∗. Montrer que si (n1,...,nr)∈(N∗)r, alors
∀p∈P,vpà rY k=1n k! =rX k=1v p(nk).4.Montrer que sin∈N∗, alors pour toutk∈Net toutp∈P, on avp(nk)=k·vp(n).
1/ 2Dans cette partie, nous allons démontrer le premier résultat énoncé dans l"introduction. On fixe un
entiern∈N∗.1.Soitn∈N∗. En utilisant la questionI.4, montrer l"équivalence
∃m∈N∗,n=m2⇔ ∀p∈P,vp(n) est pair.2.On fixe un entiern∈N∗qui n"est pas le carré d"un entier naturel. On raisonne par l"absurde en
supposant qu"il existe un couple (a,b)∈(N∗)2tel quepn=a/b. a)Montrer que pour toutp∈P, on avp(n)+2vp(b)=2vp(a). b)En utilisant la questionII.1, conclure quepnest irrationnel. III.Démo nstrationd "unl emmeprél iminaire
Dans cette partie, nous allons montrer que si (m,n)∈(N∗)2, alors on a l"équivalence ∃(x,α,β)∈N∗×N2,m=xαetn=xβ⇔ ∃(a,b)∈(N∗)2,mb=na. Dans toute cette partie, on fixe donc un couple (m,n)∈(N∗)2.1.Montrer le sens direct de l"équivalence ci-dessus.
2.Nous allons montrer la réciproque. On suppose qu"il existe (a,b)∈(N∗)2tel quemb=na.
a)Montrer qu"il existe (a′,b′)∈(N∗)2tel quea′∧b′=1 etmb′=na′.
On suppose donc dans la suite queaetbsont premiers entre eux. b)Montrer que pour toutp∈P, il existekp∈Ntel quevp(m)=a·kpetvp(n)=b·kp. c)En déduire quemetnsont des puissances d"un même entier naturel non nul. IV.I rrationalitéd "unquot ientde log arithmes
Dans cette partie, nous allons démontrer le second résultat énoncé dans l"introduction. On considère
un couple (m,n)∈N2vérifiantm⩾2 etn⩾2.1.Montrer que simetnsont des puissances d"un même entier naturel, alors ln(m)/ln(n)∈Q.
entier naturel. a)Montrer que s"il existe (a,b)∈(N∗)2tel que ln(m)/ln(n)=a/b, alorsmb=na. b)Conclure en utilisant le résultat de la partie précédente. Fin 2/ 2quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] filière st2i
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