Une nouvelle démonstration dirrationalité de racine carrée de 2 d
Néanmoins à suivre la plus ancienne littérature qui nous est parvenue sur ce sujet
Démonstrations ? 2 nest pas rationnel. Les compétences
Rittaud Le fabuleux destin de racine de 2
Lirrationalité dune racine carrée et dun quotient de logarithmes
le quotient de ln(m) par ln(n) est un nombre irrationnel. Dans tout le problème on note ? l'ensemble des nombres premiers. I. Valuation p-adique.
SEANCE : Irrationalité de racine de 2 FICHE ENSEIGNANT Niveau
L'activité 1 permet de mettre en place le raisonnement par l'absurde pour montrer que ?2 n'est pas un nombre décimal. Cette activité peut être faite bien
Lirrationalité de ? 2
Point méthodologique 2. Supposons que p n'est pas un entier pair. Alors nécessairement p est un entier naturel impair et donc : ?k ?
Une nouvelle démonstration de lirrationalité de racine carrée de 2 d
11 juil. 2019 Néanmoins à suivre la plus ancienne littérature qui nous est parvenue sur ce sujet
Une preuve de lirrationalité de ?(3)
29 juin 2017 On résonne par l'absurde pour l'implication directe. Soit n un entier qui ne soit pas le carré d'un autre et supposons que sa racine soit ...
Rationnels et irrationnels - Irrationnalité de racine de 2
Irrationnel ( adjectif ). Qui n'est pas rationnel qui n'est pas conforme à la raison (anormal
On the irrationality of sqrt{N}
Here n 1 > 0and 0 < m 1 < mby the inequalities n < m < 2n:This method can be continued in?nitely often and we will obtain a strictly decreasing sequence (m k) of positive integers In other words we have Fermat’s method of “in?nite descend” Such a sequence cannot exist so p 2 is irrational
CRITÈRES PARAMÉTRIQUES D'IRRATIONALITÉ - JSTOR
CRITÈRES PARAMÉTRIQUES D'IRRATIONALITÉ ALEXANDRE FRODA On présente dans ce qui suit des critères permettant — du moins en principe — de reconnaître en certains cas l'irrationalité d'un nombre réel oc défini comme limite d'une suite monotone de nombres rationnels
Comment résoudre une équation irrationnelle ?
Résoudre les équations et inéquations irrationnelles suivantes : Résoudre par la méthode du pivot chacun des systèmes suivants : On suppose qu'un cycliste a une vitesse de en terrain plat, de en montée et de en descente. Ce cycliste met pour parcourir une route dans le sens de vers et pour la parcourir dans le sens de vers
Qu'est-ce que l'irrationalité de P?
Preuve de l'irrationalité de ? (en). Le nombre ? est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire ? = p/q où p et q seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au IX e siècle, est persuadé que ? est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XII e siècle.
Comment démontrer l’irrationalité d’un nombre réel ?
Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’appartient pas àQ. Dans ce problème, on se propose de démontrer l’irrationalité de quelques nombres réels. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Partie A : quelques exemples de nombres irrationnels
Est-ce que sqrt est rationnel?
- Finalement la fraction p/q n'est pas irréductible (on peut simplifier par 15) ce qui est absurde ! Donc sqrt (15) n'est pas rationnel. PS : j'ai répondu entièrement à la question car je pense qu'un lycéen n'ayant pas déjà vu ce genre de démo (de l'arithmétique) va galérer un sacré moment avant de trouver.
SEANCE : IrrationalitĠ de racine de 2
FICHE ENSEIGNANT
Niveau concerné
Seconde
Ce qui est écrit dans le programme...
Démonstration : Le nombre réel ξʹ est irrationnel.Modalités et matériels
Cette activité est à réaliser en groupe homogène Un bilan fait par chaque groupe afin de montrer son raisonnement.Objectifs
un nombre décimal.homogène a un travail différencié. En fonction du niveau de la classe, il est possible de proposer
La compétence communiquer est travaillée dans cette activité puisque chaque groupe doit présenter
Groupe de
réflexion académique du lycéeUne activité préparatoire est proposée en travaux de groupes. Elle a pour but la mise en place
du raisonnement par l'absurde. Puis des travaux différenciés sont distribués en travaux de groupes et chaque groupe doit faire l'exposé devant la classe de son travail. Activité préparatoire pour mettre en place un raisonnement par l'absurde par travail de groupes et sans calculatrice •Tracer un segment de longueur rencontre avec ce nombre) •Encadrer •Encadrer Méthodes qui mettent en place le raisonnement par l'absurde : Tests avec nombresdécimaux et on élève au carré et on compare le dernier chiffre du carré du nombre décimal
avec 0.... pour les plus avancés essayer de trouver une démonstration en revenant à la définition d'un nombre décimal ( d est un nombre décimal s'il existe un entier naturel n tel que d×10 n soit un nombre entier...) . Mise en place du raisonnement par l'absurde.Travail différencié 1 :
Partie 1 : un peu de culture avec calculatrice autoriséeEn 1897, Edward Goodwin fit voter en première lecture à l'assemblée générale de l'Indiana que la
vraie valeur de 10 7.Source : le fabuleux destin de
Benoit Rittaud Edition Le Pommier
10 7 •Essayer de trouver la fraction la plus proche dePartie 2 : une démonstration sans calculatrice
17 12 17 12 •Comment en déduire alors que2×144=17
2 •Est-ce possible ? (2 méthodes sont possibles : chiffre des unités ou parité) Travail différencié 2 : comparaison du chiffre des unités Soit p et q deux entier naturels non nuls. On rappelle qu'une fraction p q est irréductible lorsque le seul diviseur commun à p et q est 1.On veut démontrer que
est irrationnel.On va donc raisonner par l'absurde.
Pour cela on suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs p et q tels que p q avec p q irréductible.1.Montrer que
p qéquivaut à
p 2 =2q 22.Compléter le tableau suivant :
Chiffre des unités
de p0123456789
Chiffre des unités
de p 2Chiffre des unités
de qChiffre des unités
de 2q 23.En analysant le tableau, montrer que p et q sont alors deux multiples de 5 puis conclure.
Travail différencié 3 : Trouver une fraction égale à calculs algébriquesSoient
p et q deux entier naturels non nuls. On rappelle qu'une fraction p q est irréductible lorsque le seul diviseur commun à p et q est 1.On veut démontrer que
est irrationnel.On va donc raisonner par l'absurde.
Pour cela on suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs p et q tels que p q avec p q irréductible.1.Expliquer pourquoi
2.En déduire que 2q-p 3.Montrer que p-q 4.Montrer que
2q-p p-q 5.En déduire une contradiction.
Travail différencié 4 : support géométrique et problème Partie 1
1.Est-il possible de construire un triangle rectangle dont les côtés sont
des nombres entiers ? 2.On cherche à construire des triangles rectangles isocèles à côtés
entiers. Soit p et q deux entier naturels non nuls.
Montrer que construire ces triangles revient à établir que p q Partie 2
Soit p et q deux entier naturels non nuls. On rappelle qu'une fraction p q est irréductible lorsque le seul diviseur commun à p et q est 1. On suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs p et q tels que p q avec p q irréductible. 1.Démontrer que si
p q , alors p 2 =2q 2 2.Démontrer que
p 2 est pair. 3.Compléter le tableau suivant :
Chiffre des
unités de p 0123456789
Chiffre des
unités de p 2 En déduire que p est pair.
On peut donc écrire p=2×k avec k nombre entier naturel. 4.En déduire la parité de q
2 puis la parité de q. p q 6.Conclure quant à l'existence de triangle rectangle isocèle à côté entier.
Travail différencié 5 : une démonstration avec support géométrique 1.Expliquer alors pourquoi cela revient à rechercher le plus
petit triangle isocèle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesure q et l'hypoténuse p (triangle ABC de la figure). (*) 2.On replie le côté [BC] sur la diagonale [AC] de telle
façon que le point B coïncide avec le point F. Réaliser réellement ce pliage. 3.Démontrer que le triangle AEF est rectangle en F et
donner ses dimensions 4.Démontrer que
AE AF 5.Rechercher la contradiction avec (*)
Travail différencié 6 : Descente infinie
Introduction :
Un bien joli nom que ce type de raisonnement mis au point par Fermat : si on veut prouver qu'un problème n'a pas de solutions en nombres entiers, on montre que, s'il en admettait une, il en aurait
une autre avec des nombres plus petits, avait écrit Grosrouvre. " D'accord, mais pourquoi est-ce une preuve ? se demanda M. Ruche. Pardi, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers inférieursquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
3.Montrer que p-q 4.Montrer que
2q-p p-q 5.En déduire une contradiction.
Travail différencié 4 : support géométrique et problème Partie 1
1.Est-il possible de construire un triangle rectangle dont les côtés sont
des nombres entiers ? 2.On cherche à construire des triangles rectangles isocèles à côtés
entiers. Soit p et q deux entier naturels non nuls.
Montrer que construire ces triangles revient à établir que p q Partie 2
Soit p et q deux entier naturels non nuls. On rappelle qu'une fraction p q est irréductible lorsque le seul diviseur commun à p et q est 1. On suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs p et q tels que p q avec p q irréductible. 1.Démontrer que si
p q , alors p 2 =2q 2 2.Démontrer que
p 2 est pair. 3.Compléter le tableau suivant :
Chiffre des
unités de p 0123456789
Chiffre des
unités de p 2 En déduire que p est pair.
On peut donc écrire p=2×k avec k nombre entier naturel. 4.En déduire la parité de q
2 puis la parité de q. p q 6.Conclure quant à l'existence de triangle rectangle isocèle à côté entier.
Travail différencié 5 : une démonstration avec support géométrique 1.Expliquer alors pourquoi cela revient à rechercher le plus
petit triangle isocèle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesure q et l'hypoténuse p (triangle ABC de la figure). (*) 2.On replie le côté [BC] sur la diagonale [AC] de telle
façon que le point B coïncide avec le point F. Réaliser réellement ce pliage. 3.Démontrer que le triangle AEF est rectangle en F et
donner ses dimensions 4.Démontrer que
AE AF 5.Rechercher la contradiction avec (*)
Travail différencié 6 : Descente infinie
Introduction :
Un bien joli nom que ce type de raisonnement mis au point par Fermat : si on veut prouver qu'un problème n'a pas de solutions en nombres entiers, on montre que, s'il en admettait une, il en aurait
une autre avec des nombres plus petits, avait écrit Grosrouvre. " D'accord, mais pourquoi est-ce une preuve ? se demanda M. Ruche. Pardi, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers inférieursquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
4.Montrer que
2q-p p-q5.En déduire une contradiction.
Travail différencié 4 : support géométrique et problèmePartie 1
1.Est-il possible de construire un triangle rectangle dont les côtés sont
des nombres entiers ?2.On cherche à construire des triangles rectangles isocèles à côtés
entiers.Soit p et q deux entier naturels non nuls.
Montrer que construire ces triangles revient à établir que p qPartie 2
Soit p et q deux entier naturels non nuls. On rappelle qu'une fraction p q est irréductible lorsque le seul diviseur commun à p et q est 1. On suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs p et q tels que p q avec p q irréductible.1.Démontrer que si
p q , alors p 2 =2q 22.Démontrer que
p 2 est pair.3.Compléter le tableau suivant :
Chiffre des
unités de p0123456789
Chiffre des
unités de p 2En déduire que p est pair.
On peut donc écrire p=2×k avec k nombre entier naturel.4.En déduire la parité de q
2 puis la parité de q. p q6.Conclure quant à l'existence de triangle rectangle isocèle à côté entier.
Travail différencié 5 : une démonstration avec support géométrique1.Expliquer alors pourquoi cela revient à rechercher le plus
petit triangle isocèle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesure q et l'hypoténuse p (triangle ABC de la figure). (*)2.On replie le côté [BC] sur la diagonale [AC] de telle
façon que le point B coïncide avec le point F. Réaliser réellement ce pliage.3.Démontrer que le triangle AEF est rectangle en F et
donner ses dimensions4.Démontrer que
AE AF5.Rechercher la contradiction avec (*)
Travail différencié 6 : Descente infinie
Introduction :
Un bien joli nom que ce type de raisonnement mis au point par Fermat : si on veut prouver qu'unproblème n'a pas de solutions en nombres entiers, on montre que, s'il en admettait une, il en aurait
une autre avec des nombres plus petits, avait écrit Grosrouvre. " D'accord, mais pourquoi est-ce une preuve ? se demanda M. Ruche. Pardi, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers inférieursquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] filière st2i
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