[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Prépasup

18 avr. 2020 La contradiction assure que. ?. 3 est irrationnel. b) Par l'absurde si. ?. 2 +. ?. 3 était rationnel



la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est

3. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle. Démonstration. Soit x1 un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine 



Une preuve de lirrationalité de ?(3)

29 jui. 2017 matiques perdura jusqu'à ce que l'un d'eux démontre par l'absurde que ... tout nombre - au sens de la mesure de Lebesgue - est irrationnel.



Exercices de mathématiques - Exo7

est irrationnel LINDEMANN a démontré en 1882 que ? est transcendant). Pour cela



Exercices de mathématiques - Exo7

3. En calculant son carré montrer que ce carré est racine d'un polynôme q? Q et x /? Q. Par l'absurde supposons que r+x ? Q alors il existe deux ...



Exo7 - Exercices de mathématiques

Montrer par l'absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k+3. 2. j ou j2 est racine de az2 +bz+c = 0. 3. a2 +b2 +c2 ... sont irrationnels.



Démonstrations : 1) Comment démontrer que 1/3 nest pas un

avec a ? Z et n ? N. « Raisonner par l'absurde en supposant que 1/3 est décimal. Ce raisonnement amènera une contradiction. » Supposons que.



TD : Exercices de logique

Exercice 19 En utilisant un raisonnement par l'absurde démontrer que : La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel. 3.



cours-exo7.pdf

(Cas par cas) Montrer que pour tout n ? N n(n+1) est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs). 3. (Contraposée ou absurde) Soient a



Démontrer par labsurde

1 août 2022 3. Exemple : l'irrationnalité de racine carrée de deux. À titre d'exemple démontrons par l'absurde que. ?. 2 est un nombre irrationnel.

Comment montrer que Racine carré de 3 est un nombre irrationnel ?

Bonjour, pouvez vous m'aidez à commencer mon exercice svp. On veut démonter que en raisonnant par l'absurde que racine carré de 3 est un nombre irrationnel. On suppose que racine carré de 3 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit racine carré de 3=p/q avec p et q nombre entiers premiers entre eux et q non nul.

Est-ce que la racine de 5 est irrationnelle ?

Racine de 5 est irrationnelle. La racine de tout nombre, non-carré parfait, est irrationnelle. Alors que n n'est divisible que par les nombres premiers 3 et 5 et par 15, leur produit. Un produit de ses facteurs comportant une puissance ne divise pas n. On retient à minima: si un nombre premier divise le carré d'un nombre, il divise ce nombre.

Est-ce que P est irréductible ?

D'après le lemme si p² est multiple de 3 alors p est aussi multiple de 3. Et par application de ce lemme on a alors p=3k Conclusion générale :Seul le 1er cas répond à l'hypothèse de départ où si p² est multiple de 3 alors p l'est aussi Donc,on a bien p=3k . ABSURDE puisque qu'on a dit que p/q est irréductible !

Qu'est-ce que la répétition d'un irrationnel quadratique?

Une telle répétition se produit pour tout irrationnel quadratique, elle correspond au développement périodique de sa fraction continue. Cette périodicité rend la caractérisation d'Euclide opératoire pour les rapports correspondant à ces nombres. Dans le cas de ?2 elle est immédiate, en une étape, et s'illustre facilement géométriquement.

Exo7

Propriétés deR1 Les rationnelsQ

Exercice 11.Démontrer que si r2Qetx=2Qalorsr+x=2Qet sir6=0 alorsr:x=2Q. 2.

Montrer que

p262Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.

Montrer que

ln3ln2 est irrationnel. 1. Soit Nn=0;19971997:::1997 (nfois). MettreNnsous la formepq avecp;q2N. 2. Soit M=0;199719971997::::::Donner le rationnel dont l"écriture décimale estM. 3. Même questionavec:P=0;11111:::+0;22222:::+0;33333:::+0;44444:::+0;55555:::+0;66666:::+

0;77777:::+0;88888:::+0;99999:::

Soitp(x) =åni=0aixi. On suppose que tous lesaisont des entiers. 1.

Montrer que si pa une racine rationnelleab

(avecaetbpremiers entre eux) alorsadivisea0etbdivise a n. 2.

On considère le nombre

p2+p3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d"un polynôme de degré 2. En déduire, à l"aide du résultat précédent qu"il n"est pas rationnel.

Exercice 5Le maximum de deux nombresx;y(c"est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x;y). De même on notera

min(x;y)le plus petit des deux nombresx;y. Démontrer que : max(x;y) =x+y+jxyj2 et min(x;y) =x+yjxyj2 1

Trouver une formule pour max(x;y;z).

Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de :A=funjn2Ngen posantun=2nsinest

pair etun=2nsinon.

Déterminer (s"ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand

élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0;1]\Q;]0;1[\Q;N; (1)n+1n 2jn2N SoientAetBdeux parties bornées deR. On noteA+B=fa+bj(a;b)2ABg. 1.

Montrer que sup A+supBest un majorant deA+B.

2.

Montrer que sup (A+B) =supA+supB.

SoitAetBdeux parties bornées deR.Vraioufaux?

1.AB)supA6supB,

2.AB)infA6infB,

3. sup (A[B) =max(supA;supB), 4. sup (A+B)Exercice 10Soitxun réel. 1. Donner l"encadrement qui définit la partie entière E(x). 2. Soit (un)n2Nla suite définie parun=E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n 2. Donner un encadrement simple den2un, qui utiliseånk=1k. 3. En déduire que (un)converge et calculer sa limite. 2

4.En déduire que Qest dense dansR.

Soitf:R!Rtelle que

8(x;y)2R2f(x+y) =f(x)+f(y):

Montrer que

1.8n2Nf(n) =nf(1).

2.8n2Zf(n) =nf(1).

3.8q2Qf(q) =qf(1).

4.8x2Rf(x) =xf(1)sifest croissante.

Indication pourl"exer cice1 N1.Raisonner par l"absurde. 2.

Raisonner par l"absurde en écri vant

p2=pq avecpetqpremiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer quepetqsont tous les deux pairs. 3.

Considérer r+p2

2 (r0r)(faites un dessin !) pour deux rationnelsr;r0. Puis utiliser les deux questions précédentes.Indication pourl"exer cice2 NRaisonner par l"absurde !

Indication pour

l"exer cice

3 N1.Mutiplier Nnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.

2. Mutiplier Mpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraireMpour obtenir un nombre entier.Indication pourl"exer cice4 N1.Calculer bnp(ab )et utiliser le lemme de Gauss. 2.

Utiliser la première question a vecp(x) = (x25)224.Indication pourl"exer cice5 NDistinguer des cas.

Indication pour

l"exer cice

6 NinfA=0,An"a pas de borne supérieure.Indication pourl"exer cice8 NIl faut revenir à la définition de la borne supérieure d"un ensemble borné : c"est le plus petit des majorants. En

particulier la borne supérieure est un majorant.Indication pourl"exer cice9 NDeux propositions sont fausses...

Indication pour

l"exer cice

10 N1.Rappelez-v ousque la partie entière de xest le plus grand entier, inférieur ou égal àx. Mais il est ici

2.

Encadrer E(kx), pourk=1;:::;n.

3. Rappelez-v ousd"abord de la formule 1 +2++npuis utilisez le fameux théorème des gendarmes. 4.

Les unne seraient-ils pas des rationnels ?

4 Indication pourl"exer cice11 N1.f(2) =f(1+1) =, faire une récurrence.

2.f((n)+n) =.

3.

Si q=ab

, calculerf(ab +ab ++ab )avecbtermes dans cette somme. 4.

Utiliser la densité de QdansR: pourx2Rfixé, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une

autre qui décroit versx.5

Correction del"exer cice1 N1.Soit r=pq

2Qetx=2Q. Par l"absurde supposons quer+x2Qalors il existe deux entiersp0;q0tels que

r+x=p0q

0. Doncx=p0q

0pq =qp0pq0qq

02Qce qui est absurde carx=2Q.

De la même façon sirx2Qalorsrx=p0q

0Et doncx=p0q

0qp . Ce qui est absurde.

2.Méthode "classique".Supposons, par l"absurde, quep22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2=pq

. De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (petqsont premiers entre eux).

En élevant l"égalité au carré nous obtenonsq22=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quep

est un nombre pair (si vous n"êtes pas convaincu écrivez la contraposée "pimpair)p2impair"). Donc

p=2p0avecp02N, d"oùp2=4p02. Nous obtenonsq2=2p02. Nous en déduisons maintenant queq2est pair et comme ci-dessus queqest pair. Nous obtenons ainsi une contradiction carpetqétant tous les deux pairs la fraction pq n"est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Doncp2=2Q. Autre méthode.Supposons par l"absurde quep22Q. Alorsp2=pq pour deux entiersp;q2N. Alors nous avonsqp22N. Considérons l"ensemble suivant : N=n n2Njnp22No Cet ensembleNest une partie deNqui est non vide carq2N. On peut alors prendre le plus petit élément deN:n0=minN. En particuliern0p22N. Définissons maintenantn1de la façon suivante :n1=n0p2n0. Il se trouve quen1appartient aussi àNcar d"une partn12N(carn0etn0p2 sont des entiers) et d"autre partn1p2=n02n0p22N. Montrons maintenant quen1est plus petit que n

0. Comme 0 Bilan : nous avons trouvén12Nstrictement plus petit quen0=minN. Ceci fournit une contradiction.

Conclusion :p2 n"est pas un nombre rationnel.

3.

Soient r;r0deux rationnels avecr 2 (r0r). D"une partx2]r;r0[(car 00;q>0 des entiers. On obtient qln3=pln2. En prenant l"exponentielle nous obtenons : exp(qln3) =exp(pln2)soit 3q=2p. Sip>1 alors

2 divise 3

qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit à l"égalité 3q=1, doncq=0. La seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln3ln2

est irrationnel.Correction del"exer cice3 N1.Soit p=19971997:::1997 etq=100000000:::0000=104n. AlorsNn=pq

2. Remarquons que 10 000M=1997;19971997:::Alors 10000MM=1997 ; donc 9999M=

1997 d"oùM=19979999

3.

0 ;111:::=19

, 0;222:::=29 , etc. D"oùP=19 +29
++99 =1+2++99 =459 =5.Correction del"exer cice4 N6

1.Soit

ab

2Qavec pgcd(a;b) =1. Pourp(ab

) =0, alorsåni=0aiab i=0. Après multiplication parbn nous obtenons l"égalité suivante : a nan+an1an1b++a1abn1+a0bn=0: En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier parb, nous écrivonsanan+bq=0. Ceci entraîne quebdiviseanan, mais commebetansont premier entre eux alors par le lemme de Gauss

bdivisean. De même en factorisant paratous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous

obtenonsaq0+a0bn=0 et par un raisonnement similaireadivisea0. 2.

Notons g=p2+p3. Alorsg2=5+2p2

p3 Et donc g252=423, Nous choisissonsp(x) = (x25)224, qui s"écrit aussip(x) =x410x2+1. Vu notre choix dep, nous avonsp(g) =0. Si nous supposons quegest rationnel, alorsg=ab et d"après la première questionadivise le terme constant de

p, c"est-à-dire 1. Donca=1. De mêmebdivise le coefficient du terme de plus haut degré dep, donc

bdivise 1, soitb=1. Ainsig=1, ce qui est évidemment absurde !Correction del"exer cice5 NExplicitonslaformulepourmax(x;y). Six>y, alorsjxyj=xydonc12

(x+y+jxyj)=12 (x+y+xy)=x.

De même six6y, alorsjxyj=x+ydonc12

(x+y+jxyj) =12 (x+yx+y) =y.

Pourtroiséléments, nousavonsmax(x;y;z)=maxmax(x;y);z, doncd"aprèslesformulespourdeuxéléments

max(x;y;z) =max(x;y)+z+jmax(x;y)zj2 12 (x+y+jxyj)+z+12 (x+y+jxyj)z2

:Correction del"exer cice6 N(u2k)ktend vers+¥et doncAne possède pas de majorant, ainsiAn"a pas de borne supérieure (cependant

certains écrivent alors supA= +¥). D"autre part toutes les valeurs de(un)sont positives et(u2k+1)ktend vers

0, donc infA=0.Correction del"exer cice7 N1.[0;1]\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure

: 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0.

2.]0;1[\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure

: 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.

3.N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants :]¥;0]. La

borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 4. n (1)n+1n

2jn2No

. Les majorants :[54 ;+¥[. Les minorants :]¥;1]. La borne supérieure :54 . La borne inférieure :1. Le plus grand élément :54

. Pas de plus petit élément.Correction del"exer cice8 N1.Soient AetBdeux parties bornées deR. On sait que supAest un majorant deA, c"est-à-dire, pour

touta2A,a6supA. De même, pour toutb2B,b6supB. On veut montrer que supA+supBest un majorant deA+B. Soit doncx2A+B. Cela signifie quexest de la formea+bpour una2Aet un b2B. Ora6supA, etb6supB, doncx=a+b6supA+supB. Comme ce raisonnement est valide pour toutx2A+Bcela signifie que supA+supBest un majorant deA+B. 7

2.On v eutmontrer que, quel que soit e>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. On prend donc

une>0 quelconque, et on veut montrer que supA+supBene majore pasA+B. On s"interdit donc dans la suite de modifiere. Comme supAest le plus petit des majorants deA, supAe=2 n"est pas un majorant deA. Cela signifie qu"il existe un élémentadeAtel quea>supAe=2.Attention:supAe=2 n"est pas forcément dans A ;supA non plus.De la même manière, il existeb2Btel queb>supBe=2. Orl"élémentxdéfiniparx=a+bestunélémentdeA+B, etilvérifiex>(supAe=2)+(supBe=2)= supA+supBe:Ceci implique que supA+supBen"est pas un majorant deA+B. 3.

sup A+supBest un majorant deA+Bd"après la partie 1. Mais, d"après la partie 2., dès qu"on prend

une>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. Donc supA+supBest bien le plus petit des

majorants deA+B, c"est donc la borne supérieure deA+B. Autrement dit sup(A+B) =supA+supB.Correction del"exer cice9 N1.Vrai.

2.

F aux.C"est vrai a vecl"h ypothèseBAet nonAB.

3. Vrai. 4.

F aux.Il y a ég alité.

5. Vrai. 6. Vrai. Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition est l"unique nombre E(x)2Ztel que

E(x)6x 2.

Pour leréelkx, (k=1;:::;n)l"encadrementprécédents"écritE(kx)6kx s"écrivent aussiE(kx)6kxetE(kx)>kx1, d"où l"encadrementkx1Ce qui donne

xnå k=1knOn se rappelle que

ånk=1k=n(n+1)2

donc nous obtenons l"encadrement : x1n

2n(n+1)2

1n 2n(n+1)2

1n

2n(n+1)2

tend vers12 , donc par le théorème des gendarmes(un)tend versx2 4.

Chaque unest un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite(un)tend

vers x2

, alors la suite de rationnels(2un)tend versx. Chaque réelx2Rpeut être approché d"aussi près

que l"on veut par des rationnels, doncQest dense dansR.Correction del"exer cice11 N8

1.Calculons d"abord f(0). Nous savonsf(1) =f(1+0) =f(1)+f(0), doncf(0) =0. Montrons le

résultat demandé par récurrence : pourn=1, nous avons bienf(1) =1f(1). Sif(n) =nf(1)alors f(n+1) =f(n)+f(1) =nf(1)+f(1) = (n+1)f(1). 2.

0 =f(0)=f(1+1)=f(1)+f(1). Doncf(1)=f(1). Puiscommeci-dessusf(n)=nf(1)=

nf(1). 3.

Soit q=ab

. Alorsf(a) =f(ab +ab ++ab ) =f(ab )++f(ab )(btermes dans ces sommes). Donc f(a) =bf(ab ). Soitaf(1) =bf(ab ). Ce qui s"écrit aussif(ab ) =ab f(1). 4.

Fixons x2R. Soit(ai)une suite croissante de rationnels qui tend versx. Soit(bi)une suite décroissante

de rationnels qui tend versx: a

16a26a36:::6x66b26b1:

Alors commeai6x6biet quefest croissante nous avonsf(ai)6f(x)6f(bi). D"après la question

précédent cette inéquation devient :aif(1)6f(x)6bif(1). Comme(ai)et(bi)tendent versx. Par le

"théorème des gendarmes" nous obtenons en passant à la limite :xf(1)6f(x)6xf(1). Soitf(x) = xf(1).9quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16
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