Prépasup
18 avr. 2020 La contradiction assure que. ?. 3 est irrationnel. b) Par l'absurde si. ?. 2 +. ?. 3 était rationnel
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
3. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle. Démonstration. Soit x1 un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine
Une preuve de lirrationalité de ?(3)
29 jui. 2017 matiques perdura jusqu'à ce que l'un d'eux démontre par l'absurde que ... tout nombre - au sens de la mesure de Lebesgue - est irrationnel.
Exercices de mathématiques - Exo7
est irrationnel LINDEMANN a démontré en 1882 que ? est transcendant). Pour cela
Exercices de mathématiques - Exo7
3. En calculant son carré montrer que ce carré est racine d'un polynôme q? Q et x /? Q. Par l'absurde supposons que r+x ? Q alors il existe deux ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer par l'absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k+3. 2. j ou j2 est racine de az2 +bz+c = 0. 3. a2 +b2 +c2 ... sont irrationnels.
Démonstrations : 1) Comment démontrer que 1/3 nest pas un
avec a ? Z et n ? N. « Raisonner par l'absurde en supposant que 1/3 est décimal. Ce raisonnement amènera une contradiction. » Supposons que.
TD : Exercices de logique
Exercice 19 En utilisant un raisonnement par l'absurde démontrer que : La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel. 3.
cours-exo7.pdf
(Cas par cas) Montrer que pour tout n ? N n(n+1) est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs). 3. (Contraposée ou absurde) Soient a
Démontrer par labsurde
1 août 2022 3. Exemple : l'irrationnalité de racine carrée de deux. À titre d'exemple démontrons par l'absurde que. ?. 2 est un nombre irrationnel.
Comment montrer que Racine carré de 3 est un nombre irrationnel ?
Bonjour, pouvez vous m'aidez à commencer mon exercice svp. On veut démonter que en raisonnant par l'absurde que racine carré de 3 est un nombre irrationnel. On suppose que racine carré de 3 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit racine carré de 3=p/q avec p et q nombre entiers premiers entre eux et q non nul.
Est-ce que la racine de 5 est irrationnelle ?
Racine de 5 est irrationnelle. La racine de tout nombre, non-carré parfait, est irrationnelle. Alors que n n'est divisible que par les nombres premiers 3 et 5 et par 15, leur produit. Un produit de ses facteurs comportant une puissance ne divise pas n. On retient à minima: si un nombre premier divise le carré d'un nombre, il divise ce nombre.
Est-ce que P est irréductible ?
D'après le lemme si p² est multiple de 3 alors p est aussi multiple de 3. Et par application de ce lemme on a alors p=3k Conclusion générale :Seul le 1er cas répond à l'hypothèse de départ où si p² est multiple de 3 alors p l'est aussi Donc,on a bien p=3k . ABSURDE puisque qu'on a dit que p/q est irréductible !
Qu'est-ce que la répétition d'un irrationnel quadratique?
Une telle répétition se produit pour tout irrationnel quadratique, elle correspond au développement périodique de sa fraction continue. Cette périodicité rend la caractérisation d'Euclide opératoire pour les rapports correspondant à ces nombres. Dans le cas de ?2 elle est immédiate, en une étape, et s'illustre facilement géométriquement.
Cours de mathématiques
Première annéeExo7
2SommaireExo7
1Logique et raisonnements. ........................................9
1L ogique
9 2R aisonnements
142Ensembles et applications. ......................................19
1Ensembles
20 2Applications
233
Injection, surjection, bijection
254
Ensembles finis
295
R elationd"équivalence
363Nombres complexes. ............................................41
1L esnombres comple xes
412 R acinescar rées,équation du second degr é 45
3
Ar gumentet trigonométrie
484
Nombres comple xeset géométrie
524Arithmétique. ...................................................55
1Division euclidienne et pgcd
552
Théor èmede Bézout
593
Nombres premiers
634
Congruences
665Polynômes. ......................................................73
1Définitions
732
Arithmétique des polynômes
763
R acined"un polynôme, factorisation
804
F ractionsrationnelles
856Groupes. ........................................................89
1Gr oupe
892
Sous-gr oupes
943
Morphismes de gr oupes
964
L egr oupeZ/nZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5L egr oupedes per mutationsSn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7Les nombres réels. .............................................107
1L "ensembledes nombres rationnels Q.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2P ropriétésde R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3Densité de QdansR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4Bor nesupérieure
116 34SOMMAIRE
8Les suites. ......................................................121
1Définitions
1212
Limites
1243
Ex emplesremar quables
1304
Théor èmede conver gence
1355
Suites r écurrentes
1409Limites et fonctions continues. .................................147
1Notions de fonction
1482
Limites
1523
Continuité en un point
1584
Continuité sur un inter valle
1635
F onctionsmonotones et bijections
16610Fonctions usuelles. .............................................173
1L ogarithmeet e xponentielle
1732
F onctionscirculaires inverses
1773
F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses
18011Dérivée d"une fonction. .........................................185
1Dérivée
1862
Calcul des dérivées
1893
Extremum local, théor èmede R olle
1934
Théor èmedes accr oissementsfinis
19712Zéros des fonctions. ............................................203
1La dichotomie
2032
La méthode de la sécante
2083
La méthode de Newton
21213Intégrales. .....................................................217
1L "intégralede Riemann
2192
P ropriétésde l"intégrale
2253
P rimitived"une fonction
2284 Intégration par par ties- Changement de variable 234
5
Intégration des fractions rationnelles
23814Développements limités. .......................................243
1F ormulesde T aylor
2442 Développements limités au voisinage d"un point 250
3 Opérations sur les développements limités 253
4
Applications des développements limités
25715Courbes paramétrées. ..........................................263
1Notions de base
2642
T angenteà une courbe paramétr ée
2713
P ointssinguliers - Branches infinies
2774
Plan d"étude d"une courbe paramétr ée
2845
Courbes en polaires : théorie
2916
Courbes en polaires : e xemples
298SOMMAIRE5
16Systèmes linéaires. .............................................303
1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 3032
Théorie des systèmes linéaires
3073
R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss
31017L"espace vectorielRn............................................317
1V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2Ex emplesd"applications linéaires
3203
P ropriétésdes applications linéaires
32618Matrices. .......................................................333
1Définition
3332
Multiplication de matrices
3363
Inverse d"une matrice : définition
3414
Inverse d"une matrice : calcul
3435 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 346
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 353
19Espaces vectoriels. .............................................361
1Espace vectoriel (début)
3612
Espace vectoriel (fin)
3653
Sous-espace vectoriel (début)
3694
Sous-espace vectoriel (milieu)
3735
Sous-espace vectoriel (fin)
3766
Application linéaire (début)
3837
Application linéaire (milieu)
3858
Application linéaire (fin)
38820Dimension finie. ................................................395
1F amillelibre
3952
F amillegénératrice
4003 Base 402
4
Dimension d"un espace vectoriel
4085
Dimension des sous-espaces vectoriels
41321Matrices et applications linéaires. ...............................419
1R angd"une famille de vecteurs
4192
Applications linéaires en dimension finie
4253
Matrice d"une application linéaire
4324
Changement de bases
43822Déterminants. ..................................................447
1Déter minanten dimension 2et3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
2Définition du déter minant
4513
P ropriétésdu déter minant
4574
Calculs de déter minants
4625
Applications des déter minants
4666SOMMAIRE
Cours et exercices de maths
Logique &
Raisonnements
Ensembles &
Applications
Arithmétique
Nombres
complexesPolynômesEspaces vectorielsGroupes
Systèmes
linéairesDimension finie
Matrices
Applications
linéairesDéterminants
Droites et plans
Courbes pa-
ramétrésGéométrie affine
et euclidienneNombres réels
Suites I
Fonctions
continuesZéros de
fonctionsDérivées
Trigonométrie
Fonctions
usuellesDéveloppements limitésIntégrales I
Intégrales II
Suites II
Équations
différentiellesLicence Creative Commons - BY-NC-SA - 3.0 FR8SOMMAIRE
1 Logique et raisonnementsExo7
Quelques motivations
-Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou lescoeurs» alors il ne faut pas exclure l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question
"As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de 15 euros?Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction
est souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une
définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonction
f:I!Ren un pointx02I:8"È09±È08x2I(jx¡x0jDZAE) jf(x)¡f(x0)jÇ").
C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique. Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Parexemple "Est-ce qu"une augmentation de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vouspouvez penser "oui» ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique
qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour
les autres. On parle deraisonnement. Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une hypothèse et de l"expliquer à autrui. 1.Logique
1.1.Asser tions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
-"Il pleut.» -"Je suis plus grand que toi.» -" 2Å2AE4 »10Logique et raisonnements
-" 2£3AE7 » -"Pour toutx2R, on ax2Ê0.»-"Pour toutz2C, on ajzjAE1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions
construites à partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "PetQ» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
P\QVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "PetQ»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors
l"assertion "PetQ» est vraie si la carte est l"as de coeur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "PouQ» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
P\QVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "PouQ»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion
"PouQ» est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de
coeur).RemarquePour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les
motsou,et! Les tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non» L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie. PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "nonP»
Logique et raisonnements11
L"implicationAE)
La définition mathématique est la suivante : L"assertion "(nonP) ouQ» est notée "PAE)Q».Sa table de vérité est donc la suivante : P\QVF VVF FVVFIGURE1.4 - Table de vérité de "PAE)Q»
L"assertion "PAE)Q» se lit en français "PimpliqueQ». Elle se lit souvent aussi "siPest vraie alorsQest vraie» ou "siPalorsQ».Par exemple :
-" 0ÉxÉ25AE)pxÉ5 » est vraie (prendre la racine carrée). -"x2]¡1,¡4[AE)x2Å3x¡4È0 » est vraie (étudier le binôme). -" sin(µ)AE0AE)µAE0 » est fausse (regarder pourµAE2¼par exemple). -" 2Å2AE5AE)p2AE2 » est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "PAE)Q» est toujours vraie.L"équivalence()
L"équivalenceest définie par :
"P()Q» est l"assertion "(PAE)Q) et (QAE)P)».On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion
est vraie lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : P\QVF VVF FFVFIGURE1.5 - Table de vérité de "P()Q»
Exemples :
-Pourx,x02R, l"équivalence "x¢x0AE0()(xAE0oux0AE0) » est vraie. -Voici une équivalencetoujours fausse(quelque soit l"assertionP) : "P()non(P) ».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors
de ce chapitre on écrira "P()Q» ou "PAE)Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l"on écrit "P()Q» cela sous-entend "P()Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQsoient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.12Logique et raisonnements
Proposition 1
SoientP,Q,Rtrois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes :1.P()non(non(P))
2. ( PetQ)()(QetP) 3. ( PouQ)()(QouP)4.non(PetQ)()(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)()(nonP)et(nonQ)
6.¡Pet(QouR)¢()(PetQ)ou(PetR)
7.¡Pou(QetR)¢()(PouQ)et(PouR)
8. " PAE)Q»()"non(Q)AE)non(P) »DémonstrationVoici des exemples de démonstrations :
4.Il suffit de comparer les deux assertions "non(PetQ) » et " (nonP)ou(nonQ) » pour toutes les
valeurs possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(PetQ)» est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(nonP)ou(nonQ)» est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsiles deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes.
P\QVF VFV FVV FIGURE1.6 - Tables de vérité de "non(PetQ) » et de " (nonP)ou(nonQ) » 6.On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité
d"abord dans le cas oùPest vrai (à gauche), puis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les
deux cas les deux assertions "¡Pet(QouR)¢» et " (PetQ)ou(PetR) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes. Q\RVFquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] filière stl
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