RELATION BINAIRE
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
relations-binaires.pdf
(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f ? F(EE). Exercice 4 [ 02984 ] [Correction]. Soit R une relation binaire réflexive et transitive.
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . La partie Solutions des exercices proposés que l'étudiant pourra ... Corrigé 1.5.1.
Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence
1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est
ALGÈBRE
Feb 2 2021 Ce polycopié
Algèbre
Cours et Exercices corrigés. Réalisé par : 3 Relations binaires sur un ensemble ... trouver une série d'exercices corrigés et d'autres proposés.
Exercices Mathématiques Discr`etes : Relations
Rb7 Soit A un ensemble et R ? A2 une relation binaire sur A. On dit que R est Re3 Parmi les relations binaires sur R de l'exercice Rb3 lesquelles sont ...
Corrigé du TD no 7
Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique
Mathématiques pour
TD – Relation binaire dans un ensemble. 113. Exercices corrigés. 116. Chapitre 5 • Graphes et ordonnancement. 133. 5.1 Représentations d'un graphe.
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
1. Notion d'ensemble et propriétés. 19. 2. Applications et relations d'équivalences. 22. 3. Relations Binaires dans un ensemble. 26. 4. Exercices Corrigés.
Licence de mathématiques Lyon 1
Licence de mathématiques Lyon 1
RELATION BINAIRE - Licence de mathématiques Lyon 1
• La relation sur P(E) «?» : A ? B si que A est inclus dans B • La relation sur les droites du plan «//» : d//d? si la droite d est parallèle à d? • La relation sur les droites du plan «?» : d ? d? si la droite d est perpendicu-laire à d? Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-
Exercices 10 Relations binaires Nombres réels Corrigé
Exercices 10 Relations binaires Nombres réels Corrigé Relations binaires Exercice 1 Congruences Soit pun entier naturel > 2 On dé nit une relation binaire sur N appelée relation de congruence modulo pet notée en posant 8 (nm) 2 N2 n m[p] n mest multiple de p
Exercices - Relations Binaires - Christophe Bertault
Soient E un ensemble et R une relation binaire sur E Pour tous xx? ? E on dit que x Rtr x? si : ?n ? N? ?x 0x1 xn ? E x =x0 et x? =x n et ?k ? ¹0n?1º xk R xk+1 La relation Rtr ainsi dé?nie est appelée la clôture tran-sitive de R 1) Montrer que Rtr est transitive 2) Montrer que si R est ré?exive
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1 Exercice corrig´e en amphi Rest une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signi?e : (a) Rn’est pas r´e?exive (b) Rn’est pas sym´etrique (c) Rn’est pas antisym´etrique (d) Rn’est pas transitive 2 Exercice corrig´e en amphi Soit E = fa;b;cget Rest une relation binaire de?nie sur´ E par sa representation
Est-ce que la relation binaire est une relation d’équivalence?
Ce n’est pas une relation d’équivalence. Relation binaire Pascal Lainé 15 Allez à : Exercice 15 : 3. , la relation est réflexive. , la relation est symétrique. , la relation est transitive.
Comment appelle-t-on une relation binaire ?
On appelle relation binaire sur E, toute partie de E × E . Si est une telle relation sur E et si , on note plutôt que . . On a . . Ici on préfèrera . . . Soit une relation binaire sur E. est dite : (exemples 1, 2, 3, et 4). On appelle relation d'équivalence sur E toute relation binaire sur E à la fois réflexive, transitive et symétrique .
Comment calculer la relation binaire entre deux ensembles ?
Une relation binaire entre deux ensembles E et F est caractérisée par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Voici un diagramme sagittal de la relation « … est un diviseur de… » de l’ensemble E = {2, 3, 4, 5} vers l’ensemble F = {1, 2, 4, 8, 16} :
Qu'est-ce que la relation binaire ?
Soit la relation binaire définie sur E par l'équivalence () entre deux formules. est une relation d'équivalence sur E, compatible avec et . Alors l'ensemble quotient E/ possède une structure d'algèbre de Boole. Il existe plusieurs familles de systèmes de démonstration formelle, notamment:
IUT d"Orsay 2012-20013
D´epartement Informatique DUT 1A - S1
Exercices de math
´ematiques
Feuille 3 - Relations binaires surE
Relations d"
´equivalenceRelations d"ordre
1 Relations binaires deEdansE: repr´esentations, propri´et´es
1.Exercice corrig´e en amphi
Rest une relation binaire sur un ensembleE. Ecrire ce que signifie : (a)Rn"est pas r´eflexive. (b)Rn"est pas sym´etrique. (c)Rn"est pas antisym´etrique. (d)Rn"est pas transitive.2.Exercice corrig´e en amphi
(a) i. Repr´esenterRpar
son graphe sa matrice d"adj acence ii. D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (b) D ´eterminerR1,R \ R1,R [ R1,R R1et leurs propri´et´es. 3. Soit Rune relation binaire surE:D´emontrer queR [ R1est sym´etrique. 4. Soit E=f1;2;3;4getRla relation binaire d´efinie surEparxRysi et seulement six+2y est impair. (a) Repr´esenterRpar
son graphe sa matrice d"adj acence (b) D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. 15.Dans chacundescas,d
antisym´etrique, transitive.
(a)xRysi et seulement six+yest pair (b)xRysi et seulement six+yest impair (c)xRysi et seulement sixyest impair 6. Soit Eun ensemble fini`an´el´ements o`unest un entier strictement positif. (a)Combien y a-t- ilde relations binaires sur E?
(b)Combien y a-t-il de rel ationsbinaires r
´eflexives surE?
(c)Combien y a-t -ilde relations binaires sym
´etriques surE?
7.Exercice suppl´ementaire
Danschacundescas,d
est r ´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (a)xRysi et seulement sixest parent dey (b)xRysi et seulement sixa le mˆeme parent quey (c)xRysi et seulement sixest plus jeune quey2 Relations d"
´equivalence
1.Exercice corrig´e en amphi
siabest pair. (a)Montrer que c"es tune relation d"
´equivalence.
(b) D ´eterminer toutes ses classes d"´equivalence. On noteZ=2Zl"ensemble des classes d"´equivalence deR:
2.Exercice corrig´e en amphi
(a) Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3;5g. Justifier queA,BetCne peuvent pasˆetre les classes d"´equivalence d"une relation d"´equivalence surE:
(b)Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3g.
i.Justifier que A,BetCforment une partition deE:
ii. D ´ecrire la relation d"´equivalence d´efinie surEdont les classes d"´equivalence sont les trois ensemblesA,BetCpar son graphe, par sa matrice d"adjacence, par sa repr´esentation sagittale.
2 3.D ´emontrer que siRest une relation d"´equivalence surE, alorsR1est aussi une relation d"´equivalence surE:.
4.Soit EetFdeux ensembles etf2FE:
SoitRla relation d´efinie surEpar :xRysi et seulement sif(x) =f(y): (a) Montrer que Rest une relation d"´equivalence surE: (b) Soit a2E:D´eterminer la classe deasifest injective. (c) D ´emontrer que sifn"est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux el´ements ou plus. (d)Ex emplesd"applications f:
i.Soit fd´efinie deRdansRparf(x) =x2x.
D´emontrer quefn"est pas injective.
Soit a2R:D´ecrire la classe d"´equivalence deaselon la valeur dea: ii.Soit fd´efinie deR2dansRparf((x;y)) =xy:
-fest-elle injective? Soit (a;b)2R2:D´eterminer la classe d"´equivalence de(a;b)puis en donner une interpr´etation g´eom´etrique.
iii. Soit Eun ensemble non vide etAune partie deE. Soitfl"application d´efinie surP(E)parf(X) =X[A: D´eterminer la classe de;et la classe deA.
Soit A0A. D´eterminer la classe deA0. En d´eduire la classe d"une partie quelconqueBdeE:5.Exercice suppl´ementaire
(a) D ´emontrer que l"intersection de deux relations d"´equivalence surEest une relation d"´equivalence.
(b) D ´emontrer que la r´eunion de deux relations d"´equivalence surEn"est pas en g´en´eral une relation d"´equivalence.
6.Exercice suppl´ementaire
SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement siabest divisible par3. (a)Montrer que c"est une relation d"
´equivalence.
(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deR, not´eZ=3Z, est´egal`a f0;1;2g:7.Exercice suppl´ementaire
SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement sia2b2est divisible par3. (a)Montrer que Rest une relation d"´equivalence.
(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deRest´egal`af0;1g: 33 Relations d"ordre
1.Exercice corrig´e en amphi
(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surR: (b)Rposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?2.Exercice corrig´e en amphi
(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surE=f1n ;n2Ng. (b)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement? 3. D ´emontrer que siRest une relation d"ordre surE, alorsR1est aussi une relation d"ordre surE: 4. On d ´efinit surE=f1;2;3;5;6;10;15;30gla relationRpar :xRysi et seulement six divisey: (a)Montrer que Rest une relation d"ordre.
(b)Est-ce une relation d"or dretotal ?
(c)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?5.Exercice suppl´ementaire
On d ´efinit surNla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: (a)Montrer que Rest une relation d"ordre surN.
(b)Est-ce une relation d"ord retotal ?
(c) D´ecrirefx2E; xR5getfx2E;5Rxg.
(d)Nposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?6.Exercice suppl´ementaire
On d ´efinit surZla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: Justifier queRn"est pas une relation d"ordre surZ: 7. Soit Eun ensemble et la relation d"inclusion dansP(E), l"ensemble des parties deE. (a) Est-ce une rela tiond"ordre ?Si oui est-ce une relation d"ordre total ? (b) D ´eterminer le plus petit´el´ement et le plus grand´el´ement deP(E). (c) Si AetBsont deux parties deE, quels sont les minorants et majorants du sous- ensemble deP(E):fA; Bg? Donner le plus grand des minorants et le plus petit des majorants defA; Bg: 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] exo7 relation binaire
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