Corrigé du TD no 7 PDF Exercice 1. Dire si chacune

RELATION BINAIRE

Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )

relations-binaires.pdf

(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f ? F(EE). Exercice 4 [ 02984 ] [Correction]. Soit R une relation binaire réflexive et transitive.

ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD

3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . La partie Solutions des exercices proposés que l'étudiant pourra ... Corrigé 1.5.1.

Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence

1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est

Algèbre

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Exercices Mathématiques Discr`etes : Relations

Rb7 Soit A un ensemble et R ? A2 une relation binaire sur A. On dit que R est Re3 Parmi les relations binaires sur R de l'exercice Rb3 lesquelles sont ...

Corrigé du TD no 7

Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique

Mathématiques pour

TD – Relation binaire dans un ensemble. 113. Exercices corrigés. 116. Chapitre 5 • Graphes et ordonnancement. 133. 5.1 Représentations d'un graphe.

Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE

1. Notion d'ensemble et propriétés. 19. 2. Applications et relations d'équivalences. 22. 3. Relations Binaires dans un ensemble. 26. 4. Exercices Corrigés.

Licence de mathématiques Lyon 1

RELATION BINAIRE - Licence de mathématiques Lyon 1

• La relation sur P(E) «?» : A ? B si que A est inclus dans B • La relation sur les droites du plan «//» : d//d? si la droite d est parallèle à d? • La relation sur les droites du plan «?» : d ? d? si la droite d est perpendicu-laire à d? Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-

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Exercices 10 Relations binaires Nombres réels Corrigé Relations binaires Exercice 1 Congruences Soit pun entier naturel > 2 On dé nit une relation binaire sur N appelée relation de congruence modulo pet notée en posant 8 (nm) 2 N2 n m[p] n mest multiple de p

Exercices - Relations Binaires - Christophe Bertault

Soient E un ensemble et R une relation binaire sur E Pour tous xx? ? E on dit que x Rtr x? si : ?n ? N? ?x 0x1 xn ? E x =x0 et x? =x n et ?k ? ¹0n?1º xk R xk+1 La relation Rtr ainsi dé?nie est appelée la clôture tran-sitive de R 1) Montrer que Rtr est transitive 2) Montrer que si R est ré?exive

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1 Exercice corrig´e en amphi Rest une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signi?e : (a) Rn’est pas r´e?exive (b) Rn’est pas sym´etrique (c) Rn’est pas antisym´etrique (d) Rn’est pas transitive 2 Exercice corrig´e en amphi Soit E = fa;b;cget Rest une relation binaire de?nie sur´ E par sa representation

Est-ce que la relation binaire est une relation d’équivalence?

Ce n’est pas une relation d’équivalence. Relation binaire Pascal Lainé 15 Allez à : Exercice 15 : 3. , la relation est réflexive. , la relation est symétrique. , la relation est transitive.

Comment appelle-t-on une relation binaire ?

On appelle relation binaire sur E, toute partie de E × E . Si est une telle relation sur E et si , on note plutôt que . . On a . . Ici on préfèrera . . . Soit une relation binaire sur E. est dite : (exemples 1, 2, 3, et 4). On appelle relation d'équivalence sur E toute relation binaire sur E à la fois réflexive, transitive et symétrique .

Comment calculer la relation binaire entre deux ensembles ?

Une relation binaire entre deux ensembles E et F est caractérisée par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Voici un diagramme sagittal de la relation « … est un diviseur de… » de l’ensemble E = {2, 3, 4, 5} vers l’ensemble F = {1, 2, 4, 8, 16} :

Qu'est-ce que la relation binaire ?

Soit la relation binaire définie sur E par l'équivalence () entre deux formules. est une relation d'équivalence sur E, compatible avec et . Alors l'ensemble quotient E/ possède une structure d'algèbre de Boole. Il existe plusieurs familles de systèmes de démonstration formelle, notamment:

CPP - 2013/2014 Algèbre générale I

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o7Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, ou transitive.

1. La relationRsurQdéfinie par :

xRy?xy?= 0 (a) La relationRest-elle réflexive? C"est-à-dire, est-il vrai quexRxpour toutx?Q? IcixRx signifiex2?= 0, ce qui est faux pourx= 0. DoncRn"est pas réflexive. (b) La relationRest-elle symétrique? C"est-à-dire, est-il vrai quexRy?yRxpour tout couple (x,y)?Q2? La réponse est oui, carxy?= 0?yx?= 0.

etyRz, est-il vrai quexRz? La réponse est oui. En effet, sixy?= 0alorsx?= 0ety?= 0. De même, siyz?= 0, alorsy?= 0etz?= 0. Il en résulte quexz?= 0puisquexetzsont non nuls.

2. La relationTsurZdéfinie par :

aTb?a-best divisible par2ou par3 (a) La relationTest réflexive. En effet, pour touta?Z,a-a= 0est divisible par2(et par3!). (b) La relationTest symétrique. En effet, siaTbest vrai, alorsa-best divisible par2ou par3, donc son opposéb-aest lui aussi divisible par2ou par3, c"est-à-dire quebTaest vrai. (c) La relationTn"est pas transitive. On peut donner le contre-exemple suivant :6T3et3T1sont vrais, mais6T1est faux.

Exercice 2

On considère la relationRsurRdéfinie par :

xRy?x2-y2=x-y

1. On remarque que :

xRy?x2-x=y2-y

Grâce à cette nouvelle formulation, il est facile de vérifier queRest une relation d"équivalence (ce

que nous ne faisons pas ici).

2. Soitx?R. Par définition, la classe d"équivalence dex, notéeCl(x), est l"ensemble

Cl(x) ={y?R|xRy}

On cherche donc l"ensemble desysatisfaisantx2-y2=x-y. Bien sûr,y=xest solution, puisqueRest réflexive. Pour trouver les autres solutions, on peut supposer quey?=x. Sachant que x

2-y2= (x-y)(x+y), l"équation devient(x-y)(x+y) =x-y, d"oùx+y= 1en divisant les

deux côtés parx-y. Autrement dit,y= 1-x. Au final, nous avons montré que :

Cl(x) ={x,1-x}.

Exercice 3

On définit une relation≂surP(R)(l"ensemble des parties deR) en posant :

X≂Y?X?[0,1] =Y?[0,1]

1. Vérifions que≂est bien une relation d"équivalence :

(a) Réflexivité : pour toute partieXdeR, il est vrai queX?[0,1] =X?[0,1], doncX≂X. (b) Symétrie : siXetYsont deux parties deR, alors :

X?[0,1] =Y?[0,1]?Y?[0,1] =X?[0,1]

c"est-à-dire queX≂Y?Y≂X. (c) Transitivité : siX,YetZsont trois parties deRtelles queX≂YetY≂Z, alors nous avons

X?[0,1] =Y?[0,1]etY?[0,1] =Z?[0,1]

il en résulte que

X?[0,1] =Z?[0,1]

c"est-à-dire queX≂Z.

2. La classe d"équivalence deXpour la relation≂est

Cl(X) ={Y?P(R)|X?[0,1] =Y?[0,1]}

Afin de décrire plus explicitementCl(X), on fait la remarque suivante :X?[0,1] =Y?[0,1]si et seulement siX\[0,1] =Y\[0,1]. À partir de là, on voit que :

Cl(X) ={(X\[0,1])?A|A?[0,1]}

3. Par définition, l"ensemble quotientP(R)/≂est l"ensemble des classes d"équivalence pour la relation

≂. Pour identifier cet ensemble, on peut choisir un représentant, le plus naturel possible, dans chaque

classe. Or, d"après la question précédente, la classe deXest caractérisée parX\[0,1], que l"on

peut prendre comme représentant. Vu sous cet angle, l"ensemble quotient s"identifie à l"ensemble

des parties de la formeX\[0,1], c"est-à-dire à l"ensemble des parties deR\[0,1].

Exercice 4

SoitEl"ensemble des droites du plan euclidienR2. On considère la relation?surEdéfinie par :

D?D??Dest parallèle àD?

1. Vérifions que?est une relation d"équivalence :

(a) Réflexivité : une droiteDest bien parallèle à elle-même. (b) Symétrie : siDest parallèle àD?, alorsD?est parallèle àD.

2. SoitE0l"ensemble des droites passant par l"origine. Alors chaque classe d"équivalence pour la

relation?contient un unique élément deE0: en effet, d"après le postulat d"Euclide, si l"on se donne

une droiteDdu plan, alors il passe par un point donné (ici en l"occurence, l"origine du plan) une unique droite parallèle àD. En d"autres termes, l"application E

0-→E/?

0?-→Cl(D0)

est bijective, ce qu"on voulait.

3. D"après la question précédente, pour montrer que l"ensemble quotientE/?est en bijection avec

R? {∞}, il suffit de montrer queE0est en bijection avecR? {∞}. Pour cela, on considère l"application E

0-→R? {∞}

0?-→le coefficient directeur deD0

avec la convention suivante : la droite verticale a pour coefficient directeur∞. Il est facile de vérifier

que cette application est bijective, d"où le résultat. 2

Exercice 5

On considère la relationRsurZ×Z?définie par : (a,b)R(c,d)?ad=bc

1. Montrons queRest une relation d"équivalence

(a) Réflexivité : soit(a,b)?Z×Z?. Alorsab=badonc(a,b)R(a,b). (b) Symétrie : nous avons (a,b)R(c,d)?ad=bc?cb=da?(c,d)R(a,b) (c) Transitivité : soient trois couples(a,b),(c,d)et(e,f)tels que(a,b)R(c,d)et(c,d)R(e,f), c"est-à-diread=bcetcf=de. Alors il vient adf=bcfetbcf=bde d"où adf=bde. Commedn"est pas nul, on en déduit queaf=be, c"est-à-dire que(a,b)R(e,f).

2. On considère l"application

q: (Z×Z?)/R -→Q

Cl((a,b))?-→ab

Il faut d"abord vérifier que cette applicationqest bien définie, autrement dit que si(a,b)et(c,d)

sont deux représentants de la même classe, alors ab =cd . Or cette dernière condition se traduit par ad=bc, qui est la définition même de(a,b)R(c,d). Autrement dit : ab =cd ?(a,b)R(c,d)

Ceci montre à la fois queqest bien définie, et qu"elle est injective. La surjectivité est évidente.

Exercice 6

Soitn >0un entier fixé. Siaest un entier relatif, on noteala classe deamodulon.

1. Montrer que :a={a+nk|k?Z}=a+nZ

2. Montrer que :

Z/nZ={0,1,...,n-1}

oùZ/nZdésigne l"ensemble quotient deZpar la relation de congruence modulon.

Exercice 7

Soitω >0un réel fixé. Siaest un réel, on noteala classe deamoduloω.

1. Montrer que :a={a+ωk|k?Z}=a+ωZ

2. Montrer que l"ensemble quotientR/ωZest en bijection avec l"intervalle[0,ω[.

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