7.6. Lalgorithme de Bézout-Euclide. Soient a > b deux nombres
Pour montrer ces résultats il faut utiliser le théorème de Bézout!! Je ne connais aucune autre méthode. Donc c'est déjà une raison pourquoi ce théorème est
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Théorème 1 : Soit a et b deux naturels non nuls tels que b ne divise pas a. La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s'arrêter.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Méthode : Recherche de PGCD par l'algorithme d'Euclide Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux ...
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Christophe ROSSIGNOL?. Année scolaire 2018/2019. Table des matières. 1 PGCD Nombres premiers entre eux.
Fiche méthode : équations diophantiennes Résoudre une équation
Or 13 (6 +11k) – 11 ( 7 +13k) = 1 donc par le théorème de Bézout 6 + 11k et 7 +13 k sont premiers entre eux donc PGCD(a ;b) = 50 . Notre réponse est donc PGCD
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Méthode : Recherche de par l'algorithme d'Euclide Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
Les équations diophantiennes (1) chez Bézout (2)
La méthode étudiée en cours était utilisée par Lagrange et Gauss. Le théorème de Bézout sur les nombres premiers entre eux utilisé dans cette activité
Bézout et les intersections de courbes algébriques
1 sept. 2013 de Bézout » et le « théorème de Bézout » – furent longtemps ... En anticipant sur la méthode de Bezout ci-après on trouve une autre.
Cours S4 : Mathématiques pour linformatique
On peut aussi obtenir le Théorème de Bézout par l'algorithme d'Euclide. En Remarque : un gros avantage de cette méthode est que B peut facilement vé-.
PGCD Théorème de Bézout
https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/02_PGCD_PPCM/resume_pgcd_bezout_gauss.pdf
PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 5 Théorème de Bézout : Soit et & deux entiers naturels non nuls et & sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs D et E tels
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
De l’égalité de Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au +bv =D En multipliant par k on obtient : auk +bvk =kD ? a(uk)+b(vk)=c Donc il existe x0 =uk et y0 =vk tels que ax0 +by0 =c Exemple : L’équation 4x +9y =2 admet des solutions car pgcd(49)=1 et 2 multiple de 1 L’équation 9x ?15y =2 n’admet pas de
Bezout's Theorem and Applications
Nicholas Hiebert-White Bezout’s Theorem A ne Plane Curves De nition The a ne plane over a eld k A2(k) = f(x;y) jx;y 2kg is the cartesian product of k with itself De nition An a ne plane curve C is a set of the form C := V(F) := f(x;y) 2A2(k) jF(x;y) = 0g for some polynomial F 2k[X;Y]
Le théorème de Bézout
Traditionnellement ce théorème est démontré comme conséquence de l’algorithme d’Euclide2 Cette présentation Cette présentation présente l’avantage d’être constructiviste elle permet de récupérer les coe?cients de Bézout par ”remontée”
Searches related to theoreme de bezout methode PDF
Chap Annexe 2 Congruences – théorème de Bézout 1 Identité de Bézout Si l'on se donne trois nombres réels a b et c avec a et b non nuls on sait que l'équation : (1) xa + yb = c admet une infinité des solutions réelles il suffit de se donner x arbitrairement et de calculer y par la formule : y = (c – xa)/b
Prérequis
Nombres premiers
Enoncé Du Théorème de Bézout
Soient aaa et bbb deux entiers naturels non nuls. aaa et bbb sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs uuu et vvv tels que au+bv=1au + bv = 1au+bv=1
Démonstration Du Théorème de Bézout
Sens direct : Si au+bv=1au + bv = 1au+bv=1 alors si d est un diviseur commun de aaa et bbb, alors d?au+bv=1d |au + bv = 1d?au+bv=1 donc d=1d = 1d=1et a et b sont premiers entre eux. Sens retour : Si a et b sont premiers entre eux alors on considère A={n=au+bv?N,(u,v)?ZA = { n = au+bv in N , (u,v) in Z A={n=au+bv?N,(u,v)?Z c’est à dire l’ensemb...
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Partie 1 : PGCD de deux entiers
1) Définition et propriétés
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/sC2iPY27Ym0
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20Le plus grand diviseur commun à 60 et 100 est 20. On le nomme le de 60 et 100.
Définition : Soit et deux entiers naturels non nuls.On appelle de et le plus grand commun diviseur de et et note
Remarque :
On peut étendre cette définition à des entiers relatifs. Ainsi dans le cas d'entiers négatifs, la
recherche du se ramène au cas positif. Par exemple, (-60;100)=(60;100). On a ainsi de façon générale : Propriétés : Soit et deux entiers naturels non nuls. a) (;0)= b) (;1)=1 c) Si divise alors (;)=Démonstration de c :
Si divise alors tout diviseur de est un diviseur de . Donc le plus grand diviseur de
(qui est ) est un diviseur de .2) Algorithme d'Euclide
C'est avec Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), que les théories sur les nombres premiers se mettent en place.Dans " Les éléments » (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre
certaines affirmations du passé, comme l'existence d'une infinité de nombres premiers. " Les nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers ».Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de .
2 Propriété : Soit et deux entiers naturels non nuls. Soit est le reste de la division euclidienne de par . On a : (;)=(;).Démonstration :
On note respectivement et le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
Si un diviseur de et alors divise =+ et donc est un diviseur de et .
Réciproquement, si un diviseur de et alors divise =- et donc est un
diviseur de et .On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de et est égal à l'ensemble des
diviseurs communs de et . Et donc en particulier, (;)=(;).
Méthode : Recherche de par l'algorithme d'EuclideVidéo https://youtu.be/npG_apkI18o
Déterminer le de 252 et 360.Correction
On applique l'algorithme d'Euclide :
360 = 252 x 1 + 108
252 = 108 x 2 + 36
108 = 36 x 3 + 0
Le dernier reste non nul est 36 donc (252 ; 360) = 36. En effet, d'après la propriété précédente :(252 ; 360) = (252 ; 108) = (108 ; 36) = (36 ; 0) = 36
Il est possible de vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice :Avec une TI 82/83 :
Touche "MATH" puis menu "NBRE" :
Avec une Casio 35+ :
Touche "OPTION" puis "ð" (=touche F6).
Choisir "Num" puis "ð".
Et choisir "GCD".
TP info sur tableur : L'algorithme d'Euclide
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Euclide.ods (feuille de calcul OOo) 3 TP info sur tableur : L'algorithme le plus performant http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Compa_algo.ods (feuille de calcul OOo) Propriété : Soit et deux entiers naturels non nuls.L'ensemble des diviseurs communs à et est l'ensemble des diviseurs de leur .
Démonstration :
On a démontré précédemment que l'ensemble des diviseurs communs de et est égal à
l'ensemble des diviseurs communs de et . En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante de restes , ,... En effet, on a successivement : Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et .Il existe donc un rang tel que
≠ et Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de et est égal à l'ensemble des diviseurs communs de et 0.A noter qu'à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l'algorithme d'Euclide, le dernier
reste non nul est égal au de et . En effet, (
; 0) =On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de et est égal à l'ensemble des
diviseurs deExemple :
Vidéo https://youtu.be/leI0FUKjEcs
Chercher les diviseurs communs de 2730 et 5610 revient à chercher les diviseurs de leur A l'aide de la calculatrice, on obtient : (2730 ; 5610) = 30. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Donc les diviseurs communs à 2730 et 5610 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Propriété : Soit , et des entiers naturels non nuls.Démonstration :
En appliquant l'algorithme d'Euclide, on obtient successivement : ;0Exemple :
Vidéo https://youtu.be/EIcXmEi_HPs
Chercher le de 420 et 540 revient à chercher le de 21 et 27.
En effet, 420 = 2 x 10 x 21 et 540 = 2 x 10 x 27.
Or (21 ; 27) = 3 donc (420 ; 540) = 2 x 10 x 3 = 60. 4 Partie 2 : Théorème de Bézout et théorème de Gauss1) Nombres premiers entre eux
Définition : Soit et deux entiers naturels non nuls.On dit que et sont premiers entre eux lorsque leur est égal à 1.
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/Rno1eANN7aY
42 et 55 sont premiers entre eux en effet (42 ; 55) = 1.
2) Théorème de Bézout
Propriété (Identité de Bézout) : Soit et deux entiers naturels non nuls et leur .
Il existe deux entiers relatifs et tels que : +=.Démonstration au programme :
On appelle E l'ensemble des entiers strictement positifs de la forme + avec et
entiers relatifs. et - appartiennent par exemple à E donc E est non vide et E contient un plus petitélément strictement positif noté .
On effectue la division euclidienne de par :On a alors :
1-
Donc est un élément de E plus petit que ce qui est contradictoire et donc = 0.
On en déduit que divise . On montre de même que divise et doncOn conclut que =(;) et finalement, il existe deux entiers et tels que :
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/HSrIYM8ufoE
On a par exemple : (54 ; 42) = 6. Il existe donc deux entiers et tels que : 54+42=6. Le couple (-3 ; 4) convient. En effet : 54 x (-3) + 42 x 4 = 6. 5 Théorème de Bézout : Soit et deux entiers naturels non nuls.et sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs et tels
que +=1.Démonstration :
- Si et sont premiers entre eux alors le résultat est immédiat d'après l'identité de Bézout.
- Supposons qu'il existe deux entiers relatifs et tels que +=1.
(;) divise et donc divise +=1.
Donc
=1. La réciproque est prouvée.Exemple :
22 et 15 sont premiers entre eux.
On est alors assuré que l'équation 22+15=1 admet un couple solution d'entiers relatifs. Méthode : Démontrer que deux entiers sont premiers entre euxVidéo https://youtu.be/oJuQv8guLJk
Démontrer que pour tout entier naturel , 2+3 et 5+7 sont premiers entre eux.Correction
52+3
-25+7
=10+15-10-14=1 D'après le théorème de Bézout, avec les coefficients 5 et -2, on peut affirmer que2+3 et 5+7 sont premiers entre eux.
Propriété : Un entier admet un inverse modulo , si et sont premiers entre eux.
Méthode : Déterminer un inverse moduloVidéo https://youtu.be/Pl4FaV5GZvc
a) Déterminer un inverse de 5 modulo 16. b) En déduire les solutions de l'équation 5≡7[16].Correction
a) 5 et 16 sont premiers entre eux, donc 5 admet un inverse modulo 16.Déterminons cet inverse :
est inverse de 5 modulo 16, si 5≡1[16]. Or est nécessairement congru à l'un des entiers 0, 1, 2, 3, ... ou 15 modulo 16.Par disjonction des cas, on a :
modulo 16 0 1 2 3 ...5 modulo 16 0 5 10 -1
6 On peut arrêter la recherche car si 5×3≡-1[16] alors 5× -3 ≡1 16Ainsi -3 est un inverse de 5 modulo 16.
b) 5≡7[16]. Pour " se débarrasser » du facteur 5, on va multiplier les deux membres par un inverse de 5 :Soit : -3×5≡-3×7[16],
-15≡-21[16]1≡-21[16] car -15≡1[16].
Soit encore :
≡11[16]Réciproquement :
Si ≡11[16] alors 5×≡5×11[16]5≡55
165≡7[16].
On en déduit que ≡11
163) Théorème de Gauss
Théorème de Gauss : Soit , et trois entiers naturels non nuls.Si divise et si et sont premiers entre eux alors divise .
Démonstration au programme :
divise donc il existe un entier tel que =.et sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs et tels que :
+=1.Soit : += soit encore +=
Et donc (+)=
On en déduit que divise .
Corollaire : Soit , et trois entiers naturels non nuls.Si et divisent et si et sont premiers entre eux alors divise .
Démonstration :
et divisent donc il existe deux entiers et ′ tel que ==′.
Et donc a divise k'b.
et sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, divise ′.
Il existe donc un entier ′′ tel que ′=′′.Comme =′, on a =′′=′′
Et donc divise .
Exemple :
6 et 11 divisent 660,
6 et 11 sont premiers entre eux, donc 66 divise 660.
7Remarque :
Intuitivement, on pourrait croire que la condition " et sont premiers entre eux » est
inutile.Prenons un contre-exemple :
6 et 9 divisent 18,
6 et 9 ne sont pas premiers entre eux,
et 6 x 9 = 54 ne divise pas 18.Méthode : Appliquer le théorème de Gauss
Vidéo https://youtu.be/vTqqk96T_Fo
a) Soit un entier naturel . On suppose que 5 est un multiple de 3. Quelles sont les valeurs
possibles pour ?b) Soit un entier naturel multiple de 7 et de 11. Quelles sont les valeurs possibles pour ?
Correction
a) 5 est un multiple de 3 donc 3 divise 5. Or, 3 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, 3 divise .Et donc : =3, ∈ℕ.
b) est multiple de 7 et de 11, donc 7 et 11 divise . Or, 7 et 11 sont premiers entre eux, donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss,7×11=77 divise .
Et donc : =77, ∈ℕ.
Méthode : Résoudre une équation diophantienne (du type ax + by = c)Vidéo https://youtu.be/XpYK-F4hX24
a) Déterminer les entiers et tels que 5+7=1. b) Déterminer les entiers et tels que 5+7=12.Correction
a) SOLUTION PARTICULIÈRE :On a : =
. En choisissant =-4, est entier. Ainsi, le couple (-4;3) est une solution particulière de l'équation.SOLUTION GÉNÉRALE :
- Donc 5+7=5× -4 +7×3.Soit 5
+4 =7(3-).5 divise 7(3-) et 5 et 7 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, 5 divise 3-. Il existe donc un entier tel que 3-=5, soit : =3-5. 8En substituant dans l'équation 5
+4 =7(3-), on a : 5 +4 =7(3-3+5)quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] ecrire un algorithme a la main
[PDF] expliquer les pourcentages en cm2
[PDF] les besoins nutritionnels de l'homme cours
[PDF] besoins nutritionnels définition
[PDF] besoins nutritionnels journaliers
[PDF] apports nutritionnels conseillés en protéines lipides glucides
[PDF] apports définition
[PDF] que signifie le mot apport dans le monde du commerce
[PDF] apport synonyme
[PDF] apport en arabe
[PDF] méthode du report osbl
[PDF] apport en capital
[PDF] agio définition
[PDF] goodwill
