[PDF] Morphologie mathématique Par les transformations qu'elle

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Chapitre6

Morphologiemath´ematique

Chapitrer´edig´eparIsabelleBLOCH

6.1Introductionetpr´eliminaires

???,puis ?ou? op´eration

Compatibilit

95

96CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

l'originedel'espace1: param`etred'´echelle: ?dansundomaine???de ?de ?born´e ???born´e

Semi-continuit

D ?surdesensemblesde ??oudesfonctionsde ??dans ?est croissantesi: ??oudesfonctions de ??dans ?estextensivesi: estanti-extensivesi: ??oudesfonctionsde ??dans ?est idempotentesi: ??oudesfonctionsde ??dans ?sont o`u ??d´esignelecompl´ementairede ?dans ??(c'est-`a-dire

6.2.LESQUATREOP´ERATIONS97

valeurmaximale ?,ladualit´es'exprimepar: noninversibles). lespointssuivants: efficace. phologiques.

6.2Lesquatreop´erations

`aunespacediscret. ?signifiealorseffectuer?

98CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

6.2.2Erosionetdilatationbinaires

quicorrespond`al'additionvectorielle: ???(6.1) D ?(6.2) (6.3) o`u co¨ıncideavec lesformules6.2ou6.3): -elleestextensive( ?)silecentrede?appartient`a?, -elleestcroissante( deuxdilatationsparundisquederayon1.

6.2.LESQUATREOP´ERATIONS99

Lafigure6.1illustreceseffets.

D ?(6.4) ?(6.5) parrapport`alacompl´ementation: ??(6.6) -elleestanti-extensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante, avecl'intersection):

100CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

???(6.7)

Lafigure6.2illustreceseffets.

recalage).Envoiciquelquesexemples: ?(c'est-`a-direlescompo- santesconnexesde ?),commemaximar´egionaux delafonctiondistance; objets.

6.2.3Erosionetdilatationdefonctions

fectuerdedeuxmani`eres:

6.2.LESQUATREOP´ERATIONS101

(6.8) espacededimension D ?parun el´ementstructurant ?estlafonctiond´efiniepar: ?(6.9) -elleestextensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante,

Lafigure6.4illustreceseffets.

102CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

D ?parun´el´ement structurant ?estlafonctiond´efiniepar: ?(6.10) ?dansunvoisinage,d´efinipar?,de cepoint. -elleestdualedeladilatation, -elleestanti-extensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante,

Lafigure6.5illustreceseffets.

deladilatation`aunfiltrederanf (silevoisinagecomporte morphologiqueduterme. struturant

4-connexit´e,s'exprimeentoutpoint

?decoordonn´ees? ?delatramepar: calculerladilatation.

6.2.LESQUATREOP´ERATIONS103

pas). ?de ???dans tellesque ?estborn´e. D ?parunefonction ?estlafonction d

´efiniepar:

??(6.11) D ?parunefonction ?estlafonctiond´efinie par: ???(6.12) rantsbinaires(plans). desdeuxcˆot´esdel'´egalit´e.

104CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

6.2.4Ouvertureetfermeturebinaires

etd'unedilatation,appel´eeouverture. D ???(6.13) -elleestanti-extensive( ?????)5, -elleestcroissante( -elleestidempotente(

Onadeplus

?,etsi ??d´esignel'ouvertde lesstructurescommelefaitl'´erosion.

Lafigure6.6illustreceseffets.

D ??(6.14) -elleestextensive( -elleestcroissante,

6.2.LESQUATREOP´ERATIONS105

-elleestidempotente.

Onadeplus

?,etsi ??d´esigneleferm´ede ?(6.15)

Lafigure6.7illustreceseffets.

6.2.5Ouvertureetfermeturenum´eriques

D ?parun el´ementstructurant ?estd´efiniecommedanslecasbinairepar: ??(6.16) phologique.

Lafigure6.8illustreceseffets.

D ?par un

´el´ementstructurant

?estd´efiniecommedanslecasbinairepar: ???(6.17)

106CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

3). structurant.

Lafigure6.9illustreceseffets.

3).

6.3Cadretopologique

6.3.CADRETOPOLOGIQUE107

Danslasuite,onnote

?l'ensembledesferm´esde compacts,pourlatopologieusuellede D ?estengendr´eeparlafamille: o`u ??et?? D

´efinition16.Convergencedans

?:Unesuitedeferm´es? ??convergevers ???sipourtoutouvert? quiintersecte ?ettoutcompact?quin'intersectepas ?,ona:

Onmontrequelar´eunionde

?????dans D ??,not´ee ?estlar´eunion despointsd'adh´erence. D ?d'unensemble?dans ?estsemi-continuesup´erieurement (s.c.s.)sipourtout ?de?ettoutesuite??? ?de?convergeantvers?:

L'intersectionde

?????dans s.c.i., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ?ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe ?ests.c.s., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ??ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe????ests.c.s., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ??ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe??? ?ests.c.s. D ?estengendr´eeparlafamille: o`u ???et??

108CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

?,et

´equivalentesur

D ?et??est d

´efiniepar:

o`u ?o`u ?estladistance euclidienneclassiquesur

6.4Cadrealg´ebrique

6.4.1Treillis

D ???)etuneborneinf´erieure(not´ee ???).Untreillis

L'ensembledesfonctionsde

??dans D ?estsemi-continuesup´erieurementen ?si: o`u ??estunvoisinagede ?dans ??dans ?,onassociesonsous-graphe

L'ensembledesfonctionss.c.s.de

??dans

6.4.CADREALG´EBRIQUE109

commenousl'avonsvudanslapartie6.2. sous-graphessontdesensemblesde D

´efinition24.Dansuntreilliscomplet

unefonction ?(6.18) o `u ?sur?quicommuteavecl'inf,c'est-`a-dire telleque: ???(6.19) D

´efinition25.Unepaired'op´erateurs

??sur?estuneadjonctionsiestseulementsi: ???(6.20) -si ??estuneadjonction,alors ?estune´erosionalg´ebriqueet ?estunedilatationalg´ebrique; -unop´erateurcroissant ?telque? soituneadjonction; -unop´erateurcroissant ?telque? soituneadjonction;

Surletreillisbool´eendespartiesde

??ou?

110CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

6.4.4Ouvertureetfermeturealg´ebriques

D Si ?(6.21)

Deplus,

??et

6.5Cadreprobabiliste

6.5.1Ensemblesferm´esal´eatoires

D ???sur ?engendr´eeparlesouverts delatopologieentoutouriensur ?,c'est-`a-direparles ??etles ??pourtouslescompacts?de?ettousles ouverts ?de?: al´eatoire. D ?,not´e ?estd´etermin´e parladonn´eed'uneprobabilit´e ?sur? D estlafonctionnelle???? ?d´efiniepar: ?.On

6.5.2Unexemple:lesch´emabool´een

SoitunprocessusdePoisson

???d'intensit´e?(? duprocessustombentdans ?vaut: ?????(6.22) avec ?,o`u ?sontdisjoints,alors ??etdans? ?sontind´ependantes(voirchapitre4, section4.5). ?.Lesch´emabool´een d'intensit´e?etdegrainprimaire ??estalorsd´efinipar: ?(6.23) o`ules ??ettranslat´esauxpointsduprocessusde ?estfini,pour (6.24) o`u

6.6.1Mesures

quand donnantlasurfacede ?(o`u? ?estunsegmentdelongueur ?dansunedirection?)quand ?varie,permet l'espacevarie.

6.6.2Erod´eultime

?.Plusformellement,l'´erod´eultime d'unensemble ?estd´efinipar: ?(6.25)

112CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

o`u ?d´esignel'´erod´ede ?detaille?et intersectionnonvideavec

L'´erod´eultimed'unensemble

l'int´erieurde ?(distancedespointsde ?`a

6.6.3Rehaussementdecontraste

d'unefonctionmajorante ?etdedeuxparam`etres?et ?telsque? ?et?? ??.Ler´esultat ?decette suivantlar`eglesuivante: ??si?? si?? ??si?? avec??? encorel'ouverturede ?(resp.dilatationoufermeture). et6.5.

6.6.4Gradientmorphologique

Soit continuparlafonction ?suivante: etdanslecasdiscretpar:

FIG.6.11-Exempledegradientmorphologique.

6.7.1Filtresaltern´ess´equentiels

?s'exprimecomme:

6.7.2Filtresauto-duaux

detelfiltre. ?par: ??(6.26)

114CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

o`u ?d´esignel'identit´e. alg´ebrique.

6.7.3Chapeauhaut-de-forme

?estd´efinie,aussibienencontinuqu'en discret,commelafonction: de l'´el´ementstructurant.

6.7.4Granulom´etries

culesdetaillesdonn´eescroissantes. D ?departiesde ??estunefamillede fonctionsparam´etr´ees ??(avec ?)d´efiniessur ?telleque: 1. ?(??anti-extensive), 2. ?(??croissante), 3. 4. ?d´efinitunegranu- lom´etrie.Onmontremˆemeque ?etla classedesensemblesde enplusgrosses. danslacourbe.

6.7.5Ouverturesurfacique

?estainsid´efiniepar: ?estconnexeet ?(6.27)

116CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE

o`u ?d´esigneuneouverturepar??etquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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