[PDF] EXERCICES DELECTROMAGN´ETISME

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EXERCICES

Christian Carimalo

1 2 3 gradient. a) Expliquer pourquoi les divergences de ¡!eret¡!eµsont a priori non nulles alors que celle de¡!e'l'est certainement. formulaire.

A(M) =sinµ

r

2¡!e'

1 xOyet dont le centreHest sur l'axez0zµa la coteh >0. 2

B(M) =1

r

3(2cosµ¡!er+sinµ¡!eµ)

Calculer le °ux de ce champ µa travers le disque ayant le cercleCpour frontiµere. 3 4

±) Calculer¡!rot¡!A.

V.On considµere le champ de vecteurs

A(M) =½2

b

¡!e'

Christian Carimalo3Notions sur les champs

1 xOy. 2

±) Quelle est l'expression de son rotationnel?

3 considµere le champ scalairef(M) =¡!er¢¡!ez r 2; le champ de vecteurs

¡!A(M) =¡!er^¡!ez

r 2; 1 ±) Calculer la circulation de¡!Ale long deC. 2 3

±) Calculerdiv¡!Bpourr6= 0.

4 5

¡!rot¡!A.

c=1 2

¡!rot (¡!c^¡!OM)

2 Z Z

§¡!d§=1

2 I

C¡!OM^¡!d`

U(M) =¡!OM¢¡!n

r 3 1

Christian Carimalo4Notions sur les champs

2±) Montrer quediv¡!G= 0.

3

±) Calculer¡!rot0

@¡!OM^¡!n r 31
A 4 du tire-bouchon µa partir du sens de parcours deC. L'angle solide sous lequel depuis un point

Pon voit§est

(P) =Z Z u¢¡!n r

2d§(M)

grad (P) =I

C¡!

d`(M)^¡!MP MP 3 IX.(?)Montrer que l'angle solide sous lequel depuis un pointM(x;y;z)on voit le demi-plan (M) =x jxjµ

¼+ 2tan¡1y

On donne

Z +1

¡1dv

(v2+a2)3=2=2 a 2;Z +1 bdt

1 +t2=¼

2 + tan¡1b

¡!grad . Commenter.

1 Z

0cosudu

p

1 + cos

2u= sin¡1(sin©

p 2 2

XI.On considµere le champ de vecteurs

A(M) =1

2 x2y2¡!ex+y2z2¡!ey+z2x2¡!ez´

O;¡!ex;¡!ey;¡!ez.

Christian Carimalo5Notions sur les champs

1±) Calculer¡!B=¡!rot¡!Aetdiv¡!A.

2 ±) Calculer¡!V=¡!rot¡!Bet¡!W=¡!grad div¡!A. 3 suivants : AB:x2+y2= 1;0·'·¼=2 ;BC:x= 0; y= 1;0·z·1 ; CD:x2+y2= 1; 'variant de¼=2 µa 0 ;DA:x= 1; y= 0; zvariant de 1 µa 0 4 z= 0etx2+y2·1,z= 1.

A(M) =1¡cosµ

rsinµ¡!e' sens des'croissants. b) Soit le champ de vecteurs

B(M) =¡!er

r 2 tire-bouchon relativement µa l'orientation deC.

¡!rot¡!A.

- Exercices µa part -

A(M) =k ½¡!e'

1

±) Trouver les lignes de champ de¡!A.

2 3

±) Calculer¡!rot¡!A.

4 le planxOy.

Christian Carimalo6Notions sur les champs

6

A(M) = 2xz¡!ex+2yz¡!ey+Á(x;y;z)¡!ez

1 fonctionF? Trouver alors une expression deF. 2 ±) Calculer le Laplacien deF. Trouver la condition surÁ(x;y;z)pour qu'il existe un champ de vecteurs¡!Vtel que gradF=¡!rot¡!V On choisiraÁde telle sorte queÁ(0;0;0) = 0et l'on pose¡!A=¡!gradF. 3 cylindriquex2+y2= 1,0·z·1, et les deux disquesz= 0,x2+y2·1etz= 1, x champ scalaire

F(x;y;z) =au

a

2+u2avecu=x+y+z

1 ±) Etudier les variations deF(x;y;z) =H(u)en fonction deu. 2 3 b) Trouver les lignes de champ de

¡!G.

c) Pour quels points a-t-on ¡!G=¡!0? Que peut-on en conclure pourF? Comparer avec

F(x;y) =xa

y coijncident avec les lignes de champ du gradient de

G(x;y) =x2+ 3y2

2 deFetG, respectivement. Que peut-on dire deEetE0?

Christian Carimalo7Notions sur les champs

F= 4etG= 16, respectivement (poseru=x2=4).

XVII. - Partie A - Dans le planxOy, on considµere le champ de vecteurs

A=Ax(x;y)¡!ex+Ay(x;y)¡!ey

On note

¡!ez=¡!ex^¡!eyle vecteur unitaire normal au planxOy. 1 de

¡!rot¡!A.

2 ±) Soit le vecteur¡!B=¡!ez^¡!A. Calculerdiv¡!Bet¡!rot¡!B. 3 b) Quelles conditions doit satisfaire

¡!Apour queDAetDBsoient toutes deux des formes

4 D

Bpour le champ¡!A?

- Partie B -

On donneAx(x;y) = 3x,Ay(x;y) = 2y.

5 de¡!Aet de¡!B. b) quelle est l'orientation des lignes de champ de

¡!Bvis-µa-vis de celles de¡!A?

c) Tracer qualitativement quelques lignes de champ de des champs sur ces lignes. 6 ±) a) Calculer la circulation de¡!Ble long de la ligne de champ passant par le pointM1(1;1), Z

¡¯1 +®x2

p

2¡x2dx=Ã

1 +®¯2

2 2 - Partie C -

On donneAx(x;y) =x

x

2+y2,Ay(x;y) =y

x 2+y2.

Christian Carimalo8Notions sur les champs

8 b) Que sont les lignes de champ de

¡!B?

±) b),¡!Bpeut-il ou non ^etre le gradient d'une fonction? d) Calculer

¡!rot¡!B. Que conclure ici?

9 ±) Calculer le °ux sortant de¡!Aµa travers le cercleCde centreOet de rayonR; il s'agit I

C¡!A¢¡!n d`

Comparer avec 8

±) c) et d) et conclure.

10 11 12 entourantO.

Christian Carimalo9Notions sur les champs

1 a) en tout point du planxOy; b) en tout point du planxOz; c) en tout point de l'axez0z. 2 E z(x;z) =a1+b1z+b2x+c1z2+c2xz+c3x2+d1z3+d2z2x+d3zx2+d4x3 E x(x;z) =a01+b01z+b02x+c01z2+c02xz+c03x2+d01z3+d02z2x+d03zx2+d04x3 E z(x;z) =a1+c1z2+c3x2; Ex(x;z) =c02xz 3

±) Calculera1,c1etc3.

Christian Carimalo10Electrostatique

distributions continues de charges 1 2 z 0z. 3 jzj Àa. Commenter. II.Deux spires circulairesC1etC2de m^eme rayonRet de m^eme axez0zportent chacune O

1deC1est µa la cotea >0, le centreO2deC2est µa la cote¡aetOest le milieu de

O

1O2. SoitM(x;z)un point du planxOz.

1 2 E z(x;z) =a1+b1z+b2x+c1z2+c2xz+c3x2+d1z3+d2z2x+d3zx2+d4x3 E x(x;z) =a01+b01z+b02x+c01z2+c02xz+c03x2+d01z3+d02z2x+d03zx2+d04x3 suivants : E z(x;z) =a1+c1z2+c3x2; Ex(x;z) =c02xz 3 entrec02etc3. 4

±) Calculera1etc1.

III. Distributions surfaciques

1

Christian Carimalo11Electrostatique

z 3 jzj Àa. Commenter. 4 ±) Donner l'expression limite du champ en tout point de l'espace lorsqu'on fait tendre le rayon du disque vers l'in¯ni. 1 2 parties.

¾(x;y;z) = 0 siz6= 0

¾(x;y;0) = 0 six2+y2< R2

¾(x;y;0) =¾0six2+y2> R2

Christian Carimalo12Electrostatique

¸ >0.

1 2 ±) Quelle est la direction du champ en tout pointMde l'espace? Quelles sont les variables 3 4

II. Distributions surfaciques

1 2 Un cylindre in¯niment long, d'axez0zet de rayonR, contient une distribution volumique de

½=½0r

a oµurest la distance µa l'axe du cylindre eta >0.

Christian Carimalo13Electrostatique

½(x) =AÃ

x

2¡a2

4! sijxj ·a 2 ; ½(x) = 0 sijxj ¸a 2 Une distribution de charges remplit une boule de centreOet de rayonR. En un pointM

E(M) =½0

3²0Ã

R3 r

2¡r!

¡!er

1 2 3 ±) Que deviennent le champ¡!E(M)et son °ux µa travers une sphµere de centreOet de rayonr, lorsquer!0? 4 entourant une charge ponctuelle au pointO. Quelle est la charge totale de la distribution? 5 ±) Quel est le champ en dehors de la boule (r¸R)? VIII.

1Soit le champ

E(M) =AÃr3

R

3¡!er+cosµ

r

¡!eµ+sin'

rsinµ¡!e'! pourr·R 1 2 tel champ? 3 ±) Calculer la chargeQcontenue dans la sphµere de centreOet de rayonR. IX.Une charge ponctuelleq >0se trouve enO.S1etS2sont deux sphµeres de centreO et de rayons respectifs2Ret3R. EntreS1etS2se trouve une distribution volumique de 1

Exercice quelque peu µa part.

Christian Carimalo14Electrostatique

etA(0;0;a). 1 xOy. 2 ±) En utilisant cette expression du champ, calculer directement son °ux µa travers le plan 3 d'attribuer au champ sur la sphµere?

Christian Carimalo15Electrostatique

1 2 3 4 comme suit :

Oest le milieu deAB.

1

V(M) =1

4¼²0¡!

r¢¡!p r 3 oµu ¡!r=¡!OM,r=OMÀa, et oµu¡!p= 2aq¡!ezest lemoment dipolairede ce systµeme de 2 3

Christian Carimalo16Electrostatique

5

±) Calculer directement le °ux de¡!Eµa travers la sphµere de centreOet de rayonRÀa.

et de rayonRet produit au pointMtel queOM=r·Rle potentiel

V(r) =½0

6"0(R3

4r+r2)

1 2 entre les sphµeres de centreOet de rayonsretr+drrespectivement, trouver l'expression 3

±) Que deviennent le champ, le potentiel et le °ux du champ µa travers une sphµere de centre

Oet de rayonrlorsquer!0? Conclure.

4 ±) Calculer le champ et le potentiel pourr¸R. pour expression

V(M) =1

4¼"0q

r (1 +r a ) exp[¡r 2a] oµurest la distance du point d'observationMau centreOde la distribution etq,asont des grandeurs positives. 1quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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