[PDF] Chapitre 2 - Champ et Potentiel Electrostatiques

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Chapitre 2

Champ et Potentiel

Electrostatiques

2.1 Introduction : les interactions fondamentales

la Physique. fondamentalesµa partir desquelles se construisent a priori les interactions plus complexes entre systµemes macroscopiques.

¡15m, et ne sont donc pas directement

2. Elles sont encore imparfaitement connues et font actuellement l'objet

deshadrons3. 1

Voir http ://voyage.in2p3.fr

2http ://fr.wikipedia.org/wiki/Force

3Mot venant du grec \hadros" qui veut dire fort, abondant.

19

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

par un ressort, et dans les forces dites de contact entre solides, comme par exemple les forces de frottement.

Vient en¯n l'interaction gravitationnelle

\pesanteur". Elle s'exerce entre des corps massifs quelconques. C'est la moins intense des inter- qui gouverne alors les mouvements des astres. Par contre, au niveau des particules, l'interaction

9et d'en donner une

d'une seule et unique interaction, fondamentale celle-lµa.

2.2 Charges Electriques, Champ Electrique

10. 4

6http ://irfu.cea.fr/Sphn/Parity/Histo/index.php

http ://en.wikipedia.org/wiki/Uni¯ed

¯eld

theory

8http ://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/newtongrav.html

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

11. Le proton, le muon positif, le pion positif portent la charge

+e. Le neutron et le photon ont une charge nulle, ce qui ne signi¯e pas pour autant qu'ils n'ont Äproportionnelle au produitq1q2des deux charges, 1M2 r M

1M2, dans le sens deM1versM2:

F

M1=M2=q1q2

4¼²0¡!

u12 r 212
(2.1)r12M 1 M 2q 1 q

2FM1M2

du vide, tandis que le facteur 1=(4¼) provient de larationnalisationdes formules qui consiste 13. 11

12Voir la biographie de Charles Augustin de Coulomb :

http ://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/coulomb.html.

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

0'1

36¼109S:I:

(2.2) F

M2=M1=¡¡!F

M1=M2(2.3)

D'aprµes la loi de Coulomb, le vecteur

¡!F

que de la valeur de la chargeq1, que nous appelleronscharge source, et de la position relative de M charges de la fa»con suivante.M1 q 1N E(N) P E(P) M 2 E(M 2)H E(H) apparu unChamp Electrique, qui est de nature vectorielle. Au point d'observationM2(¯g 2.2),

E(M2) =q1

4¼²0¡!

u12 r 212
(2.4) est alors soumise µa la force

F(M2) =q2¡!E(M2) =¡!F

M1=M2(2.5)

De plus, la notion de champ y est aussi indissociable descharges sources. Il en va tout autrement

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

2.3 Les distributions de charges

individuels des diverses chargesqisur la chargeQ:

F(P) =X

i¡! F i(P) =QX i¡! E i(P) (2.6)q1 iq2 qn qq 3 (P)iEP

Fig.2.3 { Distribution de charges ponctuelles

oµu

¡!E

On a donc

E(P) =X

i¡! E i(P) =X iq i

4¼²0¡!

ui S iP2 (2.7) avec

¡!ui=¡!S

iP =SiP. individuels en ce point. distributions de charges sources, on peut obtenir un champuniforme(ou quasiment uniforme sur m^emes en tout point (champ de vecteurs constant).

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

Md q (P)

dt (P )d E (P,M)

½(P) =dq(P)

d¿(P)(2.8) dE(P;M) =dq(P)

4¼²0¡!

u PM

2=½(P)d¿(P)

4¼²0¡!

PM PM

3(2.9)

oµu dans la derniµere expression le vecteur unitaire comme¡!PM PM

E(M) =Z Z Z

¡!dE(P;M) =Z

V½(P)d¿(P)

4¼²0¡!

PM PM 3 (2.10) d¿(P) =dxdydz(2.11) d¿(P) =½d½dÁdz(2.12) 14

Il s'agit ici d'une moyenne

20atomes, et qu'une goutte d'eau de 1 mm de diamµetre contient

environ 2 10

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

d¿(P) =r2sinµdrdµdÁ(2.13)

Si l'une des dimensions du volumeVest trµes petite devant les deux autres, celui-ci, trµes mince,

comme une distributionsuper¯ciellede charges sur cette surface.Pd S (P) M d E (P,M) h(P) tres petit dq(P) rapport

¾(P) =dq(P)

dS(P)(2.14)

¾(P) =h(P)½(P) (2.15)

E(M) =Z Z

¡!dE(P;M) =Z

S¾(P)dS(P)

4¼²0¡!

PM PM 3 (2.16) En¯n, si une autre dimension du volume est elle aussi petite, il s'agira alors d'une sorte de

¸(P) =dq(P)

d`(P)(2.17)

¸(P) =h(P)h0(P)½(P) (2.18)

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

E(M) =Z

¡!dE(P;M) =Z

C¸(P)dS(P)

4¼²0¡!

PM PM 3 (2.19) par exemple).rayon tres petitd l(P)

Pd E (P,M)

dq(P)M pointP

E(M) =q

4¼²0¡!

PM PM 3 PM PM

3=¡¡!grad1

PM (2.20) PM=p (x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2 repµere. Il vient @x 1 PM @x 1 p (x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2= (x¡xP) [(x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2]3=2=¡(x¡xP) PM 3

V(M) =q

4¼²01

PM + constante (2.21)

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

E(M) =¡¡!gradV(M)

(2.22) aux pointsPiest

V(M) =X

iq i

4¼²01

P iM+ constante

V(M) =1

4¼²0Z

V½(P)d¿(P)

PM + constante (volumique)

V(M) =1

4¼²0Z

S¾(P)dS(P)

PM + constante (surfacique) (2.23)

V(M) =1

4¼²0Z

C¸(P)d`(P)

PM de potentielV(A)¡V(B) : Z

C¡!E(M)¢¡!dM=V(A)¡V(B) (2.24)

rot¡!E=¡!0(2.25) Cette derniµere circonstance provient du signe \-" dans la relation champ-potentiel. Ce choix Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques2.5 Potentiel Electrique et Energie Electrique haut) : dV=¡dW=Q(2.27) U e(M) =QV(M) (2.28)

C'est le travail de la force que devrait exercer un observateur sur la chargeQen contre-balan»cant

jusqu'au pointM. En e®et, on a alors F obs=¡Q¡!E(M) (2.29) d'oµu W obs(M) =¡QZ M M

0¡!

E(M):¡!dM=¡Q(V(M0)¡V(M)) =QV(M) =Ue(M) (2.30) M On peut faire ici un parallµele avec l'interaction gravitationnelle d'une massemdans le champ s'exprime quant µa lui en Volt par mµetre (V/m).

E(M) =¡!erEr(r) , avecEr(r) =q

4¼²01

r 2 chapitre 1). Il vient div

¡!E=1

r 2@r 2Er @r Par suite, dans tout domaine excluant la valeurr= 0, on a

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

div¡!E= 0 d'intersection (pour simpli¯er) : l'une, §

2, entoure complµetement l'autre, §1(¯g 2.7). L'associa-

1S2 V d© =¡!E¢¡!dS=q r 2=q 0d 4¼ oµu d = sinµdµdÁ (2.31)

2¼pour le second, d'oµu

Z Z d =Z 0 sinµdµZ 2¼ 0 dÁ= 4¼(2.32) et le °ux total µa traversSest Z Z S d© =q

0(2.33)

0si la

16

Voir plus loin.

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

I

S¡!E¢¡!dS=QS

0 oµu le symbole

Green-Ostrogradsky, puisque

I

S¡!E¢¡!dS=Z Z Z

V div¡!E dV=1

0Z Z Z

V

½(M)dV

Comme cette relation doit ^etre vraie quelle que soit l'extension du volumeV, il vient, en passant div

¡!E(M) =½(M)

0 (2.34)

Puisque div

¢V+½

0= 0 (2.35)

¢V= 0

(2.36) minimum.

champ-potentiel (2.22), les lignes de champ de¡!Ene peuvent que diverger µa partir de ce point.

Le °ux sortant du champ µa travers une petite surface entourantMne peut qu'^etre positif, puisque

17

19Voir : http ://www.math.unicaen.fr/»reyssat/laplace/

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

au pointM. Si aucune charge ne se trouve enM, le potentiel ne peut donc y avoir de maximum. d© =¡!E(M)¢¡!N(M)dS(M) =1

4¼²0¡!

u¢¡!N dS r 2=1

4¼²0dScos®

r 2 oµu

dans le plan perpendiculaire au vecteur¡!u. Ce plan est aussi le plan tangent enMµa la sphµere

Mdans un repµere d'origineP, on a

d§ =r2sinµdµdÁetd =¡!u¢¡!N dS r

2=d§

r

2= sinµdµdÁ

dS, ni de sa distancerau pointP, mais plut^ot des angles d'ouverturedµetdÁ(et aussi deµ) N u dSdSa de surfacesdSetd§ construits autour deM

L'angle solide joue, µa trois dimension, un r^ole similaire µa celui de l'angle µa deux dimensions. En

particulier, l'angle solide total sous lequel depuis le pointPon voit une surface n'entourant pas Si la surface n'entoure pasP, lors de ce balayage le vecteur¡!PMprend la m^eme orientation un contre, si la surface entoure le pointP, le vecteur¡!PMprend la m^eme orientation un nombre que celui sous lequel depuis le pointPon voit tout l'espace environnant. Il est facile de montrer par une charge ponctuelleqa pour expression

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

S=Z Z

¡!E¢¡!dS=q

4¼²0S(2.37)

oµu Sest l'angle solide total sous lequel la surfaceSest vue depuis le pointPoµu se trouve la

S, cet angle solide vaut 4¼.

Sest vue depuisPvaut 2¼, c'est-µa-dire l'angle solide sous lequel est vu un demi-espace. On a alors S=Z Z

¡!E¢¡!dS=q

2²0(2.38)

SoitAun systµeme \actif" exer»cant une actionAsur un systµeme \test"B. Le principe en question

Pour ce qui nous concerne, le systµeme actif est une distribution de charges dont l'action sera yz P1 P 2qq x Fig.2.9 { Systµeme de deux charges ponctuelles identiques des deux charges : c'est la droiteP1P2. Prenons donc cette direction comme axez0z. Ensuite,

Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques

P Ayant fait un choix particulier d'axesOxetOy, pla»cons-nous alors dans le planxOz. Ce plan x!x,y! ¡y,z!z,qq y- yz MM' x contenant deux charges identiques Cependant, comme les chargesappartiennentau planxOz, elle restent tout simplement en place

Ici, le champ a pour expression

E(M) =q

4¼²00

@¡!P 1M P

1M3+¡!P

2M P 2M31 A (2.39) PosonsP1P2= 2a. Pour un pointM(x;0;z) du planxOz, on a P

1M=x¡!{+(z¡a)¡!k,¡!P

2M=x¡!{+(z+a)¡!k

Equotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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