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6 sept. 2006 Autrement on parle d'une méthode de Petrov-Galerkin. Exemple: Exemple 4.1 de Fortin et Garon. 1.3 Estimation d'erreur. Definition 1 (Norme
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On se propose de reprendre le probl`eme mod`ele du chapitre 1 comme exemple d'application de la méthode de Galerkin. Rappelons le probl`eme.
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3.3 Méthode de Galerkin . . . . . . 9. 3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . 10. 4 Formulation Faible. 13. 4.1 Formulation forte/faible . . . . 13.
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Méthode des éléments finis de Galerkin
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Méthodes variationnelles
des méthodes d'approximation (par exemple par éléments finis) Remarque 3.24 Si a est symétrique
Stabilité des méthodes de Lagrange-Galerkin du premier et du
Abstract: The Lagrange-Galerkin method which allows for example the resolution of an comme par exemple l'équation parabolique introduite par Burgers :.
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1 janv. 2013 2.1 La méthode de Galerkin . ... s'agit ici d'exposer les bases de la méthode et de l'illustrer sur des exemples très simples issus de.
IntroductiontoGalerkinMethods - University of Illinois Urbana
These notes provide a brief introduction to Galerkin projection methods for numerical solution of partial di?erential equations (PDEs) Included in this class of discretizations are ?nite element methods (FEMs) spectral element methods (SEMs) and spectral methods A key feature of these
2 The (Galerkin) Finite Element Method - University of Auckland
Chapter 2 The Finite Element Method Kelly 31 2 The (Galerkin) Finite Element Method 2 1 Approximate Solution and Nodal Values In order to obtain a numerical solution to a differential equation using the Galerkin Finite Element Method (GFEM) the domain is subdivided into finite elements
Chapitre 4 La méthode de Galerkin - Springer
procédé constructif d’approximation On pourra consulter [40] pour de nombreux exemplesd’utilisationdelaméthodedeGalerkinprincipalementpourdesproblèmes d’évolution 4 1 Résolution du problème modèle par la méthode de Galerkin On se propose de reprendre le problème non linéaire modèle du Chapitre2 comme
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function [res] = Tes Monome Galerkin(N) qui ´evalue votre code en repr esentant sur le m´ eme graphique la solution exacte et la solution approchˆ ee´ du probl`eme (a) 3 expliquer le comportement de ces courbes pour des valeurs de Nde plus en plus grandes Q-2 : Refaire la meme dˆ emarche pour le probl´ eme suivant` (b) 8
A 4.5.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d et soit pin [1,+infty [. Alors {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ).
Rque 4.2.
Nous savons déjà que {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega ) par définition de H^1_0(Omega ) d’une part et dans L^p(Omega ) d’autre part par convolution par des noyaux régularisants. Le Lemme 4.5 affirme en plus que l’on peut approcher tout élément de l’intersection de ces deux espaces par une suite de fonctions de {fancyscript{...
preuve.
On procède par approximations successives. Soit uin H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ). On tronque u à la hauteur k en posant u_{k}=T_k(u). On a par conséquent u_{k}in H^1_0(Omega )cap L^infty (Omega ) et u_{k}rightarrow u dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ) quand krightarrow +infty grâce au Théorème 3.5. Considérons une suite varphi _{k,m}...
Rque 4.3.
Si uin L^infty (Omega ) alors la construction précédente fournit une suite de fonctions de {fancyscript{D}}(Omega ) qui converge vers u dans H^1_0(Omega ) et dans L^infty (Omega ) faible-*. En effet, toutes les approximations successives sont alors bornées dans L^infty (Omega ) et donc faiblement-* convergentes. On peut en extraire une su...
Rque 4.4.
(i) Le Lemme 4.6 permet de préciser le sens à donner à l’équation aux dérivées partielles du problème (4.7). Étant donné fin H^{-1}(Omega ), on va donc chercher uin H^1_0(Omega )tel que Cette équation a un sens, puisque l’on a abla uin L^2(Omega ;mathbb{R }^d) et -Delta u=-mathrm{{div}},( abla u)in H^{-1}(Omega ). De plus, upartial ...
Rème 4.1.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d. Pour tout fin H^{-1}(Omega ) il existe une solution uin H^1_0(Omega )du problème 4.7. On commence par construire une base de Galerkin appropriée. Dans la suite s^{prime }prend les valeurs indiquées dans la remarque (ii) qui suit le Lemme 4.6.
A 4.7.
Il existe une famille dénombrable (w_m)_{min mathbb{N }} d’éléments de {fancyscript{D}}(Omega ) dont les combinaisons linéaires sont denses dans H^1_0(Omega )cap L^{s^{prime }}(Omega ).
A 4.8.
Soit V_m=mathop {text{ vect }}{w_0,w_1,w_2,ldots ,w_m}. Le problème : trouver u_min V_mtel que admet au moins une solution. De plus cette solution satisfait
A 4.9.
La limite faible uin H^1_0(Omega )est solution du problème variationnel : En particulier, uest solution du problème 4.7.
Comment calculer la méthode de Galerkin ?
La méthode de Galerkin consiste à « approcher » l’espace fonctionnel V par un espace V h ? V, de dimension finie, mais toujours de Hilbert, et ce pour le même produit scalaire ! La formulation faible (3.1) est alors résolue dans V h uniquement, avec pour solution u h : (3.2) ¶ { Trouver u h ? V h tel que ? v h ? V h, a ( u h, v h) = ? ( v h).
Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?
La méthode des différences finies discrétise l’opérateur différentiel ( ?) tandis que les éléments finis (issue de la méthode de Galerkin) approche l’espace fonctionnel. C’est une différence majeure !
Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?
Le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin est le résultat simple mais important suivant. Lemme 2.1(LemmedeCéa). Soient ?et ??les solutions respectives des problèmes continu (1.1) et discret (2.8) ; alors, (2.23) ?(???????)=0? ?????? Démonstration.
Comment mettre en oeuvre la méthode d’éléments finis?
Mise en oeuvre de la méthode d’éléments ?nis Nousexaminonsdanscechapitreleslignesdirectricespermettantd’e?ectuer une im- plantation informatique de la méthode des éléments ?nis. Nous prenons comme ?lconduc- teur la résolution des problèmes aux limites des chapitres précédents par la méthode des éléments ?nis de plus bas degré.
Analyse du comportement non linéaire des
structures par la méthode des éléments finisChristian Rey
christian.rey@safrangroup.com 1 Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS2Equipe :
CoursChristian Rey: Safran Tech
christian.rey@safrangroup.comFrédéric Feyel: Safran Tech
frédéric.feyel@safrangroup.comSéances pratiques (Octave)
Felipe Bordeu: Safran Tech
felipe.bordeu@safrangroup.comClément Olivier: Safran Tech
clement.olivier@safrangroup.comLivre :
Titre : The finite element method in solid mechanics Auteurs : Marc Bonnet, Attilio Frangi, Christian ReyEditeur : Mc Graw Hill Education
Année : 2014
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS3La Méthode des Eléments Finis :
•Outils maintenant indispensable dans le monde de l'ingénierie et de la conception (solide & fluide) •Remplacer /enrichir les campagnes expérimentales (couteuse) pour mieux comprendre la physique sous jacente (après calibration des modèles)Quelques codes commerciaux:
Abaqus, Ansys (international)
Autres codes
Zset, Castem, Aster .....•Optimisation
des process et/ou produits existantsConception
de nouveau produits Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS4Plan du cours1- Elasticité linéaire - Méthode de Galerkin - Eléments finis isoparamétriques
2- La méthode des éléments finis
3- Introduction aux calculs de structures non-linéaires
4- Calcul de solides élastoplastique - aspects locaux
5- Calcul de solides élastoplastique - aspects globaux
Utilisation et développement au sein d'un code simple sous Octave Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS Chapitre 1: Méthode d'approximation en mécanique des solides1. Les équations du problème (forme forte)
2. Formulation faible
3. Formulation variationnelle
4. Méthode de Galerkin
5 Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS Chapitre 1: Méthode d'approximation en mécanique des solides1. Les équations du problème (forme forte)2. Formulation faible3. Formulation variationnelle4. Methode de Galerkin
6 Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS7Les équations du problème
Hypothèses
Petite perturbation (HPP)
Tenseur des déformations linéarisé
Tenseur des contraintes de Cauchy
Déplacement uEvolution quasi-staticEffets d'inertie négligé
Comportement
matériau élastique linéaire, homogène, isotropeLes équations s'écrivent:
Equation de compatibilité
Equation d'équilibre
Loi de comportement
Condition aux limites
Tenseur
d'élasticitéForce de masse Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 8Propriétés du tenseur d'élasticité
est définie positif Les tenseur de souplesse (forme inverse de la loi de comportement) est définie positif Tenseur identité du quatrième ordresatisfait les petites et grandes symétriesMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS9Matériau élastique linéaire isotrope
A1111 A1122 A1133 A1112 A1123 A1113A2222 A2233 A2212 A2223 A2213A
3333 A3312 A3323 A3313A
1212 A1223 A1213SYM A
2323 A2313A
1313Notation de Voigt
(si isotrope) 2 2 22( )
2( )
2( )
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS10Approximation par différence finie
Seulement pour des géométries simple (difficulté pour imposer des conditions aux limites) Les différences finies sont très peu utilisé en mécanique du solide pour la discrétisation en espaceMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS11Approximation par différence finie
Très peu utilisée pour la discrétisation en espace en mécanique du solide Par contre, elle sera utilisé pour la discrétisation temporelleLes Différences Finies: Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSChapitre 1: Méthode d'approximation en mécanique des solides1. Les équations du problème (forme forte)2. Formulation faible3. Formulation variationnelle4. Methode de Galerkin
12Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS13Les espaces de champs admissibles
Espace de champs de déplacement suffisamment régulier (énergie bornée) Le problème d'équilibre en élasticité linéaire se ré-écrit : Espace de champs compatible avec des conditions aux limites à zéro Espace de champs comptabtible avec les conditions aux limitesAdmissibilité cinématique(déplacement):
Admissibilité statique(contraintes)
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS La loi de comportement et l'équation de compatibilité imposés point à point: 14Formulation faible
Formulation faible des équations d'équilibre locales : T s'obtient par intégration par partie : correspond au principe des puissances virtuelles (PPV) Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS15Formulation faible
Remarques:
•pas de référence explicite aux conditions aux limitesen déplacement •inconnueTsurSu(forces de réaction associées aux déplacements imposés) Deux possibilités (variantes de l'équation précédente): •élimination de TsurSu •imposer les conditions aux limites en déplacementuDsurSu de manière faible Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSLe problème s'écrit alors:
16Première variante: eliminer la réaction inconnue (T)Restreindre le champs test waux champs cinématiquement admissible à zéro: on prend doncwdansusatisfait les conditions aux limites de manière forte: u = uDon Su
Remarque:
cadre classique des codes FEMMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS17Deuxième variante : CL déplacement imposées de manière faible
pas de restrictions surwCL en déplacement imposées de manière faibleau travers d'une nouvelle équation
ou l'ensembleC'des efforts admissibles est défini par dualité par rapport à C:Example typique des formulations dites "mixte"
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSChapitre 1: Méthode d'approximation en mécanique des solides1. Les équations du problème (forme forte)2. Formulation faible3. Formulation variationnelle4. Methode de Galerkin
18Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS19Formulation variationnelle
La solution du problème d'élasticité linéaire peut être défini comme étant le champ
qui minimise une certaine fonctionnelle (énergie) Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS20Energie potentielle totale
Le champs de déplacement solution
du problème minimiseP:Energie potentielle totale complémentaire
Le champ de contrainte solution
du problème minimiseP*:Les fonctionnelles énergies Evidemmment, une seule des deux minimisations est nécessaire !Par exemple:
puis en calcul les champs de contrainte par la loi de comportementMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS21Stationnarité de l'énergie potentielle totale
ce qui correspond à la forme faible (première variante- sans la réaction inconnue)Formulation faible
: multiplier la forme forte des équations locale par un fonction test puis IPPFormulation variationnelle
: correspond à imposer que la variation d'une certain fonctionnelle s'annuleDans le cas particulier de l'élasticité linéaire, cela conduit à:On considère le déplacementusolution du problème puison calcule la variation P (u +
hw)Le minimum est caractérisé par l'annulation
du terme du première ordre en ηdans toutes les directions Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS22 Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSChapitre 1: Méthode d'approximation en mécanique des solides1. Les équations du problème (forme forte)2. Formulation faible3. Formulation variationnelle4. Méthode d'approximation: méthode de Galerkin
23Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS Les ensembles et de champs admissibles sont de dimension infinie
La minimisation exacte:
est en règle général impossible (complexité des géométries réelles ...) 24Minimisation approchée: méthode de Galerkin
Principe : Minimisation dans un sous ensemble de dimension finie Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 25Méthode de Galerkin pour l'énergie potentielle
Minimisation de P(v) ouvest de la forme
Liste des efforts généralisées
Matrice de rigidité
Liste des déplacements généralisésou les fonctions de base et le champs admissible
sont choisis a prioriMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS26Méthode de Galerkin pour l'énergie potentielle
est une matrice carrée NxN, symétrique, définie positive (si suffisament CL en u sont imposées): a un et un seul minimum défini parREMARQUE IMPORTANTE:
par construction conduisant au déplacement généralisé optimalMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS27Méthode de Galerkin pour la forme faible
Formulation faible d'un problème d'élasticité linéaire Le choix de l'inconnue et du champ virtuel: conduit au même système linéaireMastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS28Méthode de Galerkin: Quelques propriétés importantes (1/2)
Définisons la solution ucommeu= uN+Δu
(Δu est ainsi l'"erreur" par rapport à la solution exact)Champ virtuel
Formulation faible (écrite pour la solution
exate u)Formulation faible (écrite pour la solution
approchée uN)L'erreur Δu est orthogonale
à tout champ virtuel appartenant à
l'ensemble où la solution approchée est cherchée (au sens de la norme "énergétique") Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSCalculons l'énergie de déformation de
Avec le champ cinématiquement admissible arbitraire 29Méthode de Galerkin: Quelques propriétés importantes (2/2)
Propriété de meilleure approximation: uNest la meilleure approximation de la solution exacte udans l'espace d'approximation choisi (au sens de la norme énergétique):(on a toujours ... u-uN= Δu)
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS30 Méthode de Galerkin pour l'énergie potentielle complémentaire La solution approchés (en terme de contrainte) est définie par En régle général, il ne peut pas être intégré et conduire à un champ cinématiquement admissibleBien plus compliqué !!!!!
Minimisation de pour des champs de la forme avec et choisi a priori Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSMéthode de Galerkin : version en "déplacement" Fonctions de base doivent être cinématiquement admissibles
== > assez facile à construire (régularité + énergie finie)Que choisir comme sous espace de dimension finie ?Méthode de Galerkin : Version en "contrainte"Les fonctions de bases doivent être statiquement admissible ( , .... )
== > bien plus diffile à construire 31Discussion
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS32Exemple 1: Fonctions de base définies sur tout le domaine
la convergence de est trés rapide (exponentiel versus le nombre de termes) siuest suffisamment régulière Peu adaptée au géométrie complexe et aux problèmes avec des singularités Très peu utilisé en mécanique du solide mais ... beaucoup plus en mécanique des fluides (méthodes spectrales) Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 33Exemple 2 : La sphère creuseSphère creuse (Rayon interne r = R1, rayon externe r = R2) Soumise à une pression interne et un déplacement u(R
2)= d sur sa surface externe
Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS34Exemple 3: Fonctions de base à support locale
== > introduction aux éléments finisDifficulté des approches "globale"
Principe de base de la Méthode des Eléments Finis (MEF): Méthode de Galerkin avec des fonctions de base ayant un "petit" supportPeu adapté aux géométries complexes
Difficulté pour imposer des conditions aux limites en déplacement Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS Chapitre 2: Eléments finis isoparamétriques1. Exemple : déformation plane - élément linéaire triangulaire2. Eléments finis isoparamétriques3. Maillage - Maillage conforme - Régularité 4. Structure de données - code octave/matlab
35Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS36
Exemple : Hypothèse des déformations planes
La solution est invariante par rapport à x
3Le champ de déplacement est de la forme:
conduisant à :u 3=0; u1et u2ne dépendent pas de x3
Autre cas: contrainte plane
s13= s23= s33= 0 Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMSWDiscrétisation du domaine
Maillage
d h = max (d) elementDécomposition de Ω en des
éléments
triangulaire (sans recouvrement) partageant entre eux des noeuds == > Construction de Ωh1. Ω htend vers Ω quand h -- > 02. Ω
h= Ω si Ω à bord droit par morceau Whélément
noeud Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 38Le maillage est construit en
prenant en compte le problème à résoudre (conditions aux limites ...)Maillage x1x 2vLigne bleu = discrétisation de S
u(zone des déplacements imposés) Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 39Maillage & Interpolationd'un champ scalaire
Valeurs nodales imposées (connue sur Su)
x1x2vOn dessine les "valeursnodales" du champConsidérons donc un champ scalaire
Exemple :
une composante du champ de déplacement, le champ de temperature Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 40Maillage & Interpolationd'un champ scalaire
La surface polygonale bleue
représente un champ cinématiquement "admissible" (imposition approchée des conditions aux limites en déplacement) Champ continu... puis interpolation linéaire sur chaque élémentValeurs nodales imposées (connue sur S
u) x1x 2v Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS 41Les trois valeurs nodales
définissent complétement le champ dans l'élémentInterpolation locale •le champ de déplacement est continu •sa restriction sur chaque triangle est linéaire et dépend seulement des valeurs nodales x1x 2v x(k) x(l) x(m) v(k) v (l)v (m) C'est seulement une façon particulière d'écrire un champs linéaire! Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures - DMS42Interpolation locale •le champ de déplacement est continu •sa restiction sur chaque triangle est linéaire et dépend seulement des valeurs nodales == > conséquence directe de l'interpolation linéaire x(k) x(l) x(m) v(k) v(l) v(m)Nk, Nl, et Nmsont appelées
fonctions de forme , elles sont:1. linéaire en (x
1,x2)2. satisfont la propriété "du Kronecker»: Nk(x(l))=
dkl Les fonctions de forme s'écrivent sous la forme:Les coefficients c
0(p), c1(p)et c2(p)dépendent uniquement
des coordonnées (x1(p), x2(p))p=k,l,mdes noeuds de l'élémentsRemarque : Le tenseur des déformations e[vh] associé à est
constantquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] approximation de fonction par polynome
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